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电磁场理论 静电场 第2章静电场 电磁场是物质存在的一种形态 它弥漫在空间 并具有波动性和叠加性 因此 对电磁场运动状态的描述与宏观质点的描述具有根本不同的方法 在电磁场运动中 存在着电荷与电场 电流与磁场 电荷与电流 电场与磁场四对基本关系 其中由静止电荷产生的电场 称为静电场 本章从静电现象的实验定律出发 对静电场中给出的场的叠加原理 库仑定律 高斯定理和环路定理等电荷与电场的基本关系进行概括 提高 得到静电场的基本方程 静电场 静电场的基本规律 2 1静电场的基本规律 电荷与电场 电荷 电荷 ElectricCharge 电荷是实物物质的固有属性之一 自然界中不存在脱离物质而独立存在的电荷 在古代人们就发现摩擦可以使物体带电的现象 并认识到自然界中只存在正负两种电 同种相斥 异种相吸 由于当时缺乏对电本质的认识 所以认为电是附着在物体上的 故称之为电荷 并把显示出这种排斥或吸引的物体称为带电体 习惯上 有时也把带电体本身简称为电荷 静电场 静电场的基本规律 电量 ElectricQuantity 电量是物体荷电多少的量度 用其可以表示带电物体所带电荷的数量 1909年 美国芝加哥大学教授密立根采用油滴法对数千个带电油滴进行了精确测量 发现 油滴所带电量均是某一基元电荷电量的整数倍 即 在国际单位中 电量的单位的库仑 用C表示 静电场 静电场的基本规律 上式中 基元电荷电量在数值上等于一个电子所带的电量 即 密立根油滴实验说明 物体所带电量是不连续的 即自然界中的电荷是量子化的 现代科学实验证明 任何物体都由大量的原子构成 而原子则由带正电的原子核和带负电的电子组成 通常 同一个原子中正负电量数值相等 因而整个物体呈现电中性 当它们因为某种原因 例如摩擦 受热 化学变化等失去一部分电子时 则表现为正电性 当获得额外电子时 则呈现负电性 静电场 静电场的基本规律 电荷守恒定律 ConservationLawofCharge 从以上一些事实可以总结出如下规律 显然 物体带电是电子迁移的结果 即电子从一个物体迁移到另一个物体 或从物体的一个部分迁移到另一个部分 电荷既不能被创造 也不能被消灭 它们只能从一个物体转移到另一个物体 或者从物体的一个部分转移到另一个部分 即 在任何物理过程中 电荷的代数和是守恒的 这个规律称为电荷守恒定律 它不仅在一切宏观过程中成立 也是一切微观过程所普遍遵守的基本规律 静电场 静电场的基本规律 电场 电场 ElectricField 电场是带电体或变化磁场在其周围所激发的一种物质形态 电场是一种客观存在的物质 它最基本的特征是对位于电场中的带电体施以作用力 这种作用力称为电场力 与一般的实物物质不同 实物通常是定域在空间的确定区域内 而电场则弥漫于空间且满足场的叠加原理 静电场 静电场的基本规律 电场强度 ElectricFieldStrength 电场强度是表征电场对位于场中带电体作用力的物理量 它是一个矢量 常用符号E表示 电场中某一点的电场强度数值等于位于该点单位电荷所受到的作用力 方向与位于该点的正电荷所受作用力方向相同 即 静电场 静电场的基本规律 由于电场是作为空间中的某种分布而存在的物质形态 因此电场强度的数值和方向应随时间和空间而变化 是时间和空间位置的函数 即 电场强度不随时间变化的电场 称为静电场 场中各点电场强度的数值和方向均相等的电场 称为均匀电场 而电场强度不随时间变化的均匀电场 称为匀强电场 静电场 静电场的基本规律 库仑定律 库仑定律 Coulomb sLaw 1785年 法国物理学家库仑通过扭秤实验 得出两静止点电荷之间作用力遵从平方反比规律的结论 这一结论称为库仑定律 其表述为 真空中两个静止点电荷之间的作用力正比于它们电量的乘积 反比于它们之间距离的平方 作用力的方向沿它们的联线方向 同号电荷相斥 异号电荷相吸 即 静电场 静电场的基本规律 在MKSA单位制中 由于上式所有物理量单位均已确定 所以比例系数k的值由实验测定 为了使由库仑定律推得的公式具有更简单的形式 通常将比例系数写成 在高斯单位制中 比例系数定义为 式中 为电介质的介电常数 是一个无量纲的纯数 在真空条件下取1 静电场 静电场的基本规律 库仑定律只是给出了两个电荷之间作用力的计算公式 并没有说明相互作用的物理本质 实验证明 两个电荷之间的相互作用是通过电场来传递的 即 按照这一观点 下面从库仑定律出发 给出静电场的场强分布 一个电荷并不是把作用力直接施加于另一个电荷 而是首先在该电荷周围激发出一种物质形态 电场 电场对另一个电荷施加一作用力 电场力 静电场 静电场的基本规律 静电场的场强 由实验可知 多个电荷所激发的电场等于每个电荷所激发电场的矢量和 即 点电荷的电场分布 上式即是电场的叠加原理 对于一个由多个点电荷构成的电荷系统 场点的电场强度为 静电场 静电场的基本规律 在许多情况下 电荷连续分布于某一区域内V 连续带电体的电场分布 设在区域V内 某点x 处体积元dV 内的电荷密度为 x 由x 点到场点的距离为r 则场点P x 的电场强度为 静电场 静电场的基本规律 例题1 求电偶极子中垂线和延长线上距离中心较远处一点的场强 解 静电场 静电场的基本规律 电偶极子中垂线上距离中心较远处一点的场强 与电偶极子的电矩成正比 与该点离中心的距离的三次方成反比 方向与电矩方向相反 静电场 静电场的基本规律 时 有 电偶极子延长线上一点的场强与电偶极子电矩的二倍成正比 与该点离中心的距离的三次方成反比 方向与电矩方向相同 静电场 静电场的基本规律 例题2 求均匀带电细棒中垂面上一点的场强 静电场 静电场的基本规律 静电场 静电场的基本规律 静电场 静电场的基本规律 解 由对称性可知 p点场强只有X分量 例题3均匀带电圆环轴线上一点的场强 静电场 静电场的基本规律 例题4均匀带电圆盘轴线上一点的场强 静电场 静电场的基本规律 静电场 静电场的基本规律 静电场的散度和旋度 静电场的散度 高斯定理 GaussTheorem 根据库仑定律 我们可推得静电场的高斯定理 即 通过一个任意闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围所有电荷电量的代数和除以 0 与闭合曲面外的电荷无关 静电场的高斯定理可以写成 式中 V是以S为边界的区域体积 静电场 静电场的基本规律 为了得到电荷与电场的局域关系 根据矢量场散度定义 由上式 有 电场的散度 即得 静电场 静电场的基本规律 上式是高斯定理的微分形式 它是电场的一个基本微分方程 它表明 只有在静电情况下 远处的电场才能以库仑定律形式表示 而在一般运动电荷情况下 应以上述局域关系式表示 空间某点处电场的散度只与该点电荷密度有关 而与其它各点的电荷分布无关 电荷只能直接激发其邻近的电场 而远处的场则是通过电场本身的内部作用传递出去的 静电场 静电场的基本规律 静电场的旋度 环路定理 从库仑定律和场强叠加原理出发 可以证明 静电场力所作的功与路径无关 静电场力是保守力 这一性质可以用下式表示 式中 为静电场力 静电场 静电场的基本规律 静电场的保守力性质也可以用另一个等价形式表示 即 上式表明 在静电场中 电场强度沿任意闭合环路的线积分恒等于零 通常 将某一个量沿任意闭合环路的线积分称为该物理量的环流 于是上式又可以表述为 在静电场中 电场强度的环流为零 这一结论称为静电场的环路定理 它是静电场的基本规律之一 静电场 静电场的基本规律 根据矢量场旋度定义 由上式 有 电场的旋度 即得 静电场 静电场的基本规律 矢量场旋度所反映的是场的环流性质 其直观图象是力线具有自行闭合的旋涡状结构 上述公式给出了电荷激发电场以及电场内部联系的基本规律 它们表明 根据上式可知 静电场的旋度为零 即 静电场中不存在涡旋状的电力线 电荷是电场的源 电力线从正电荷发出而终止于负电荷 在自由空间中连续通过 在静电场中 电场没有旋涡状结构 静电场 静电场的基本规律 例题5半径为a的球中充满密度为 r 的体分布电荷 已知 求 电荷密度为 r 解 由高斯定理 在球内有 静电场 静电场的基本规律 解得 又考虑在球外 有 即求得电荷密度 静电场 电势及静电势能 2 2电势及静电势能 电势 电势差 静电场环路定理说明 电场力移动电荷所作的功只与电荷的始末位置有关 而与具体的路径无关 因此可以用一个位置函数 x y z 描述电场力电荷所作的功 即 定义 当把单位正电荷由r1点移动到r2点时 电场力所作的功等于两点的电势差 静电场 电势及静电势能 电势梯度 对应无限小过程 有 上式又可以写成 静电场 电势及静电势能 两式比较 有 对势函数 x y z 取全微分 得 即 电场强度为电势的负梯度 静电场 电势及静电势能 一般地 在电荷分布是有限情况下 常令 在实际计算中 常选取某个参考点并规定其上电势为零 则空间的电势就单值地确定 则得 静电场 电势及静电势能 给定电荷分布激发的电势 一个静止的 带电量为Q的点电荷 在周围空间激发的电势可以写成 下面给出各种电荷分布所激发的电势 点电荷的电势 式中 r是源点到场点的距离 静电场 电势及静电势能 根据电场强度的叠加原理 多个电荷激发的电势等于每个电荷激发的电势之和 即 点电荷体系的电势 式中 ri是点电荷Qi到场点的距离 静电场 电势及静电势能 对于连续带电体 若电荷密度为 x 则场点x处的电势为 连续带电体的电势 式中 r是由源点到场点的距离 静电场 电势及静电势能 例题6求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布 静电场 电势及静电势能 由此例看出 当电荷分布扩展到无穷远时 电势零点不能再选在无穷远处 静电场 电势及静电势能 例题7计算电偶极子场中任一点P的电势 静电场 电势及静电势能 静电场 电势及静电势能 例题8从偶极子的电势公式出发 证明在电矩为p的偶极子电场中 1 电场为 2 在以偶极子处为原点 z轴和p平行的球坐标中电场强度三个分量 3 电力线和矢径r间的夹角 满足tg tg 2 4 沿轴方向和偶极子相距r处的电场是垂直轴向同样距离处电场的2倍 静电场 电势及静电势能 证 1 由电偶极子电势可得其梯度为 静电场 电势及静电势能 静电场 电势及静电势能 静电场 电势及静电势能 例题9两异性点电荷Q1和Q2分别位于源点和x L处 试证明电势等于零的曲面为一球面 其中心坐标为 半径为 静电场 电势及静电势能 证 根据电势叠加原理 两个点电荷到零电势面的距离满足关系 或写成 其中 为零电势面任意点的位置矢量 静电场 电势及静电势能 根据三角形的余弦定理 有 整理上式 得 上式即零电势面的曲面方程 静电场 电势及静电势能 设在线度为l区域V 内有电荷分布 r 此电荷体系在空间激发的电势为 对电荷分布在一个小区域的系统所产生的电场 通常用级数展开的方法来处理 式中符号如图所示 电多极矩 电势的多极展开 静电场 电势及静电势能 将上式在x 0点展开 因为 且 静电场 电势及静电势能 所以得 静电场 电势及静电势能 分别为电荷体系的总电量 电偶极矩和电四极矩 令 静电场 电势及静电势能 所以得 这就是电势的多极展开式 第一项 相当于将电荷体系视为处于原点的点电荷所激发的电势 静电场 电势及静电势能 第二项 相当于处于原点的电矩为p的电偶极子所激发的电势 电偶极势 第三项 相当于处于原点的电四极子所激发的电势 电四极势 静电场 电势及静电势能 电多极矩 小区域电荷系统在远处所产生的电势 可表示为一系列位于原点的电多极子所产生的电势的叠加 对于连续分布的电荷体系 其电矩为 由一对电荷组成的电荷系统 称为电偶极子 电偶极子的电矩 称为电偶极矩 电偶极矩 静电场 电势及静电势能 一般地 电矩与电荷分布 坐标系原点的选择有关 只有中性电荷体系 电偶极矩才与坐标系原点的选择无关 一个体系电荷分布如果对原点对称 则这个电荷体系的电偶极矩为零 对由点电荷组成的电荷体系 其电矩为 静电场 电势及静电势能 由一对电偶极子组成的电荷系统 称为电四偶极子 其电矩称为电四极矩 电四极矩是一个三维对称张量 其定义为 为三维单位张量 其中 电四极矩 静电场 电势及静电势能 此外 由张量 可得 即 电四极矩张量只有五个独立分量 静电场 电势及静电势能 电四极矩与体系的电荷分布和坐标系原点的选择有关 当电荷分布对原点对称时 电荷体系的电偶极矩和电四极矩均为零 当电荷分布偏离球对称时 将会出现电四极矩 显然 电四极矩的出现 标志着电荷体系对球对称的偏离 所以 通过测量远场的电四极势 可以对电荷分布的形状作出一定推断 由点电荷组成的电四极矩可定义为 静电场 电势及静电势能 静电场 电势及静电势能 例题10一电荷系统有三个点电荷 Q1 q 处于 0 d 0 点 Q2 2q 处于 0 0 0 点 Q3 q 在 0 d 0 点 试求 电荷体系的电四极矩及远场的电势 解 1 由图可知 静电场 电势及静电势能 所以得 即 静电场 电势及静电势能 2 根据定义 有 所以电荷体系在远场的电势为 静电场 电势及静电势能 将电四极矩代入 得 静电场 电势及静电势能 例题11一个均匀带电的旋转椭球体 半长轴为a 半短轴为b 所带电量为Q 试求 椭球的电四极矩及远场的电势 解 1 取z轴为旋转轴 则椭球方程为 椭球的电荷密度为 静电场 电势及静电势能 由对称性可得 即 又由于 静电场 电势及静电势能 和 即 静电场 电势及静电势能 所以得椭球的电四极矩 静电场 电势及静电势能 2 根据定义 有 电荷体系在远场的电势可以写成 静电场 电势及静电势能 电四极势为 静电场 电势及静电势能 所以得远场电势 静电场 电势及静电势能 静电势能 电荷在外电场中的静电势能 静电场环路定理说明 电场力是保守力 当把电荷q由r1点移动到r2时 电场力所作的功等于两点的电势能 同电势定义比较 即得点电荷的电势能 一个电荷在外电场中的电势能是属于该电荷与产生电场的电荷系所共有 点电荷的静电势能 静电场 电势及静电势能 电偶极子在外电场中的静电势能 上式表明 电偶极子取向与外电场一致时 电势能最低 取向相反时 电势能最高 即 在外电场作用下 电偶极子总是力图转向与外电场一致的方向 一个电矩为Pe ql的电偶极子 在匀强电场中的静电势能为 静电场 电势及静电势能 带电系统的静电能 设有n个电荷组成的系统 将各电荷从现有位置彼此分开到无限远时 他们之间的静电力所做的功定义为电荷系在原来状态的静电能 两个点电荷系统 将q2从q1的电场中移到无穷远 电场力做的功为 静电场 电势及静电势能 将q1从q2的电场中移到无穷远 电场力做的功为 因为 所以 静电场 电势及静电势能 三个点电荷系统 对三个点电荷 分别将q1 q2和q3移到无穷远 电场力做的功为 静电场 电势及静电势能 n个点电荷系统 由此可以得出 n个点电荷组成的电荷系统的静电能为 连续带电系统 对电荷连续分布的带电系统 其静电能为 静电场 电势及静电势能 例题12求半径为R 电荷体密度为 的均匀带电球的静电能 静电场 电势及静电势能 静电场 静电场中的导体和电介质 静电场 静电场中的导体和电介质 导体内部和表面都无电荷定向移动的状态称为静电平衡状态 显然 若导体内电场强度不为零 则自由电荷将能移动 外电场与自由电荷移动后的附加场E 之和为总场强 静电平衡条件是由导体的电结构特征和静电平衡的要求所决定的 与导体的形状无关 静电场 静电场中的导体和电介质 导体内部场强处处为零 导体是等势体 导体的静电性能 静电平衡下的导体内部各处净余电荷为零 电荷只能分布在表面 导体表面邻近处的场强必定和导体表面垂直 高斯面 无净电荷 静电场 静电场中的导体和电介质 导体表面电荷面密度与表面邻近处的场强成正比 高斯面 孤立导体处于静电平衡时 其表面各处面电荷密度与表面曲率有关 曲率大处 面电荷密度也大 静电场 静电场中的导体和电介质 空腔导体的静电性能 第一类空腔 空腔内部没有带电体的导体空腔 称为第一类空腔 空腔内表面不带任何电荷 空腔内部及导体内部电场强度处处为零 即它们是等电势 腔外带电体与腔外表面电荷在腔内场强总贡献为零 静电场 静电场中的导体和电介质 第二类空腔 空腔内部有带电体的导体空腔 称为第二类空腔 空腔内表面有感应电荷 内表面所带总电量与空腔内带电体的电量相等 符号相反 导体空腔是等势体 腔内场强不为零 不等电位 空腔外表面上的感应电荷的电量与内表面上的电量之和 空腔外表面上的电荷分布与腔内带电体的位置无关 只取决于导体外表面的形状 静电场 静电场中的导体和电介质 例如高压设备都用金属导体壳接地做保护 它起静电屏蔽作用 内外互不影响 静电场 静电场中的导体和电介质 静电场中的电介质 电介质对电场的影响 电介质是由大量电中性分子组成的绝缘体 紧束缚正负电荷在外场中要发生变化 同时也影响外电场 如图所示 插入电介质后两极板间的电压为 r称为相对介电常数 静电场 静电场中的导体和电介质 上述实验表明 插入电介质后两极板之间电压减少 说明两极板间电场减弱了 即 电场减弱的原因可以用电介质与外电场的相互影响 从微观结构来解释 E0 E 静电场 静电场中的导体和电介质 电介质的极化 电介质有两类 一类介质的正电中心和负电中心重合 称为无极分子电介质 另一类介质的正电中心和负电中心不重合 称为有极分子电介质 无极分子 Nonpolarmolecule 在无外场作用下整个分子无电矩 有极分子 Polarmolecule 在无外场作用下存在固有电矩 因无序排列对外不呈现电性 电子云的正电中心 静电场 静电场中的导体和电介质 无极分子电介质在外场作用下 正负电中心发生相对位移 形成分子电偶极矩 这些感应分子电偶按照一定的规律 形成宏观电偶极矩分布 从而电介质内部或表面出现束缚电荷 介质的这种极化方式 称为电子位移极化 位移极化 静电场 静电场中的导体和电介质 有极分子电介质中存在固有的分子电偶极矩 但是 由于分子热运动的无规则性 介质内的平均电偶极矩为零 因而没有宏观电偶极矩分布 转向极化 在外场作用下 有极分子电介质中的固有分子电偶极矩 按照一定规律发生取向并形成宏观电偶极矩分布 从而电介质内部或表面出现束缚电荷 介质的这种极化方式 称为固有分子电偶极矩的取向极化 静电场 静电场中的导体和电介质 在外电场中 均匀介质内部各处仍呈电中性 但在介质表面要出现电荷 这种电荷不能离开电介质到其它带电体 也不能在电介质内部自由移动 称为束缚电荷或极化电荷 它不象导体中的自由电荷能用传导方法将其引走 在外电场中 电介质表面出现束缚电荷的现象 称为电介质的极化 静电场 静电场中的导体和电介质 电极化强度 Polarization 宏观电偶极矩分布一般用电极化强度矢量描述 它定义为单位体积内分子电偶极矩的矢量和 即 由于电介质极化 在体积 V内可能出现束缚电荷分布 其电荷密度与电极化强度之间满足下述关系 式中 p为束缚电荷密度 静电场 静电场中的导体和电介质 与上式对应的微分形式为 上式表明 在介质中 通过闭合曲面的电极化强度通量等于闭合曲面内负的束缚电荷之和 一般地 非均匀介质极化后 整个内部都出现束缚电荷 且满足上式 但是 对于均匀介质内 束缚电荷只出现在自由电荷附近及其界面处 两介质分界面上的束缚电荷与电极化强度之间满足下述关系 静电场 静电场中的导体和电介质 电位移矢量 ElectricDisplacementVector 在电介质内部 电场使其极化而产生束缚电荷分布 而这些束缚电荷所激发的电场又改变了原有电场的分布 外电场和激发电场相互制约 宏观电场就是二者的叠加 根据高斯定理 介质内部的电场强度与总电荷密度满足关系 式中 p为束缚电荷密度 f为自由电荷密度 静电场 静电场中的导体和电介质 由于在介质中 通过闭合曲面的电极化强度通量等于闭合曲面内负的束缚电荷之和 所以得 引入一个辅助场量 电位移矢量 其定义为 则得 即 在介质中任意场点处 电位移矢量的散度等于该点自由电荷密度 这一结论 称为电介质中的高斯定理 静电场 静电场中的导体和电介质 电介质的静电性能 实验表明 在电介质内部 极化强度与电场强度成正比 即 其中 比例系数 e称为电极化率或极化率 代入电位移定义 于是得 静电场 静电场中的导体和电介质 例题13证明 均匀介质内部的体电荷密度与自由电荷体密度之间满足下面关系 证 因为 而 静电场 静电场中的导体和电介质 所以得 即证 静电场 静电场中的导体和电介质 例题14有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球 其电容率为 使介质内均匀带静止自由电荷 f 求 解 1 利用高斯定理 有 1 空间各点的电场分布 2 极化体电荷与极化面电荷密度分布 静电场 静电场中的导体和电介质 即得 静电场 静电场中的导体和电介质 2 因为 所以有 静电场 静电场的边值问题 2 4静电场的边值问题 静电势的微分方程 泊松方程 在均匀各向同性线性介质中 因为 且有 代入高斯定理 静电场 静电场的边值问题 得 即 上式是静电势满足的基本微分方程 称为泊松方程 静电场 静电场的边值问题 对于没有自由电荷的区域 由于 则泊松方程可以写成 上式称为拉普拉斯方程 如此 求解静电场问题 归结为求解电势的泊松方程或拉普拉斯方程的解 它使求解电场的矢量方程大为简化 静电场 静电场的边值问题 例题15设真空中电势按照下面规律分布 求对应的电荷分布 求 由泊松方程 有 静电场 静电场的边值问题 和 于是得电荷分布 静电场 静电场的边值问题 例题16在无界空间 电荷分布 所产生的电势为 试求 解 由泊松方程 得 静电场 静电场的边值问题 因为 静电场 静电场的边值问题 和 静电场 静电场的边值问题 所以得 静电场 静电场的边值问题 在实际问题中经常遇到介质分区情况 电势除满足泊松方程或拉普拉斯方程 还需满足边界条件 静电场的边界条件 由高斯定理可得 上式表明 电极化矢量的跃变与束缚电荷面密度相关 电位移矢量的跃变与自由电荷面密度相关 电场强度的跃变则与总电荷面密度相关 静电场 静电场的边值问题 由环路定理可得 静电场边界条件 静电场 静电场的边值问题 电势的边界条件 下面将电场的边值关系转化为电势的边值关系 两介质界面上的边界条件 利用电场强度和电势的关系 可以将上述边界条件用电势表示出来 即 上式就是电势所满足的边界条件 静电场 静电场的边值问题 在静电问题中 经常遇到存在导体的情况 由于导体的特殊性质 决定了导体表面处具有特殊的边界条件 在静电平衡时 导体内部电场强度为零 电荷只分布于导体表面 导体成为等势体 由电势的边界条件可得导体与介质分界面处满足关系 导体表面处的边界条件 静电场 静电场的边值问题 在稳恒电流情况下 在两种均匀导电介质分界面处 根据电势的边界条件和稳恒电流条件 可将边界写成 上面给出了静电势问题中 各种情况下的边界条件 两种导体表面处的边界条件 静电场 静电场的边值问题 例题17半径为a的球中充满密度为 r a2 r2的体分布电荷 求任意点的电场强度和电势 求 由泊松方程可得 静电场 静电场的边值问题 方程的解为 考虑到源点处电势有限 无穷远处电势为零 则必有 静电场 静电场的边值问题 即 根据边界条件 在r a处有 静电场 静电场的边值问题 即 解上式可得 静电场 静电场的边值问题 于是可得电势 利用电势梯度与电场强度的关系即可以求得电场强度分布 静电场 静电场的边值问题 例题18一个半径为a的电介质球含有均匀分布的自由电荷 f 证明其中心点的电势为 求 由泊松方程可得 静电场 静电场的边值问题 方程的解为 考虑到源点处电势有限 无穷远处电势为零 则必有 静电场 静电场的边值问题 即 根据边界条件 在r a处有 静电场 静电场的边值问题 即 解上式可得 静电场 静电场的边值问题 于是可得电势 即得球心处电势为 静电场 静电场的边值问题 例题19证明 当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时 电场线的曲折满足 其中 1和 2分别为界面两侧电场线与法线的夹角 证 由边界条件 有 静电场 静电场的边值问题 对于电场线 或写成 代入 得 静电场 静电场的边值问题 例题20试用边界条件证明 在绝缘介质与导体的分界面上 静电情况下 导体外的电场线总是垂直于导体表面 证 在静电情况下 导体内电场强度为零 即 根据边界条件 有 即 在介质一侧的电场强度切线分量为零 电场线垂直于导体表面 静电场 静电场的边值问题 唯一性定理 设区域V内给定自由电荷分布 x 在V的边界S上给定条件 则区域V内的电场唯一地确定 或 上述即为静电问题的唯一性定理 静电场 静电场的边值问题 静电场 静电场的边值问题 分离变量法 适用情况 分离变量法是求解静电场的一种常用解析方法 求解区域中介质分区均匀 满足拉普拉斯方程 且区域表面和分界面的形状规则 求解区域中自由电荷具有某种对称性 用高斯定理等方法能够找到泊松方程的特解 根据电势叠加原理 总电势为 式中 为界面面电荷所激发的电势 满足拉普拉斯方程 静电场 静电场的边值问题 例题21在高为h 宽为d矩形空腔 在z方向为无限长 若腔内为真空 且除在x 0处电势为 1 另三个腔壁上电势均为零 试求 腔内的电势 静电场 静电场的边值问题 因为y 0和y h时 0 故Y应该是周期性函数 所以 令 则方程可以写成 其解为 静电场 静电场的边值问题 因为y 0和y h时 Y 0 所以有 即得 此时 有方程 静电场 静电场的边值问题 其解为 因为X d 0 所以上式可简化为 于是 拉普拉斯方程的解可以写成 下面确定系数 静电场 静电场的边值问题 由上式可得 左边积分当x 0时 为 静电场 静电场的边值问题 右边积分为 静电场 静电场的边值问题 于是有 即得 静电场 静电场的边值问题 将系数代入 得拉普拉斯方程的解 静电场 静电场的边值问题 用分离变量法求解的步骤 根据表面和分界面的形状 选择恰当的坐标系 分区列出拉普拉斯方程 用分离变量法求出方程的级数解 剔除不合理的解 用定解条件 边界条件 确定级数解中的待定系数 静电场 静电场的边值问题 常用坐标系中的普遍解 二维直角坐标系 拉普拉斯方程 普遍解 静电场 静电场的边值问题 平面极坐标系 拉普拉斯方程 普遍解 静电场 静电场的边值问题 球坐标系 拉普拉斯方程 普遍解 静电场 静电场的边值问题 当问题具有轴对称性时 拉普拉斯方程 普遍解 静电场 静电场的边值问题 柱坐标系 拉普拉斯方程 普遍解 静电场 静电场的边值问题 当问题具有轴对称性时 拉普拉斯方程 普遍解 静电场 静电场的边值问题 例题22真空中有均匀电场Eo 将半径为R的导体球放在电场中 已知球的电势为 S 求 球外的电场和球上的电荷 解 取电场方向为对称轴 球心为坐标原点 则 在无穷远处 静电场 静电场的边值问题 在球面上 所以 所以 静电场 静电场的边值问题 即 所以 静电场 静电场的边值问题 上式中的电势来源于三个部分 其各项的物理意义为 代入上式 即得 第一项 来自原电场的电势 静电场 静电场的边值问题 第二项 是球电势所引起的 即 球上原来带的电荷所产生的电势 第三项 是导体球在均匀电场中出现的感应电荷所引起的电势 静电场 静电场的边值问题 1 电场强度 根据公式 即得球外电场强度 静电场 静电场的边值问题 2 电荷面密度 则球面上的总电荷为 所以有 静电场 静电场的边值问题 例题23将半径为R 电容率为 的介质球放在电场中 求 电场 极化电荷和电偶极矩 解 取电场方向为对称轴 球心为坐标原点 则 静电场 静电场的边值问题 球内为的电势通解为 静电场 静电场的边值问题 所以有 在无穷远处 电势为原电场电势 即 所以 球外电势可以写成 静电场 静电场的边值问题 在球心处 电势为有限值 所以必有 于是 球内电势可以写成 根据边值关系 在球面上满足 静电场 静电场的边值问题 即 静电场 静电场的边值问题 所以有 和 静电场 静电场的边值问题 即得 静电场 静电场的边值问题 即得球内外的电势分布 静电场 静电场的边值问题 根据电势分布可得电场强度 其球内为 1 电场强度 静电场 静电场的边值问题 球外为 静电场 静电场的边值问题 电极化强度为 2 极化电荷 所以得球内极化电荷为 静电场 静电场的边值问题 介质球的总电偶极矩为 3 电偶极矩 该偶极矩所产生的电势为 静电场 静电场的边值问题 例题24半径为R的不带电导体球壳放在电场Eo中 设想球壳被垂直电场的平面分成两个半球壳 为了不使两壳分开 需要加多大的外力 解 导体球壳放在电场中将感应出一层电荷 该电荷受到电场力作用使两个半球分开 为了不致使两半球壳分开 所加外力至少要与电场大小相等 方向相反 为简单起见 假设原电场在球心处电势 球壳电势均为零 静电场 静电场的边值问题 球壳外表面上的感应电荷面密度为 根据球坐标系通解公式 球壳外的电势为 静电场 静电场的边值问题 在本题中 因为面电荷处电场强度等于该面两侧电场强度极限之和的一半 即 所以面电荷处的电场强度为 静电场 静电场的边值问题 因此得半球所受到的电场力即 显然 为使两个半球壳不分开 必须在它们上面大小相等方向相反的外力 其大小即是半个球壳所受的电场力 静电场 静电场的边值问题 例题25在半径为R的均匀介质球心放置一个点电荷Q 球的电容率为 若球外为真空 试求空间的电势 解 由于空间各点的电势是点电荷Q激发的电势与球面极化电荷所产生的电势之和 即 其中 静电场 静电场的边值问题 所以有 在无穷远处 电势为零 即 所以 球外电势可以写成 静电场 静电场的边值问题 在球心处 电势为有限值 所以必有 于是 球内电势可以写成 根据边值关系 在球面上满足 静电场 静电场的边值问题 即 静电场 静电场的边值问题 所以有 和 静电场 静电场的边值问题 即得 静电场 静电场的边值问题 所以 电势分布可以写成 静电场 静电场的边值问题 电像法 电像法 在求解区域内只有一个或几个点电荷 且区域边界是规则的导体或介质面的静电问题时 一般采用电像法 电像法的实质是 用放置于区域外的虚电荷 像电荷 来等效地代替导体分界面上的感应电荷 或介质分界面上的极化电荷 只要原电荷与虚电荷一起产生的场能够满足给定场方程 边界条件及其边值关系 则根据唯一性定理 这些虚电荷同原电荷所激发的电势之和 就是总电势的唯一解 静电场 静电场的边值问题 电像法的具体步骤 用电像法解决静电问题的关键是 确定像电荷的位置 个数和电量 写出基本方程和定解条件 用电像法解静电问题的具体步骤 找出满足基本方程和定解条件的尝试解 利用定解条件 解决尝试解的待定系数 确定像电荷的位置和电量 为了满足基本方程的要求 像电荷应放在求解区域以外 对所得解进行分析 讨论 静电场 静电场的边值问题 例题26在真空中有一个点电荷Q 距Q为a处有无限大接地导体平面 试求 空间的电势分布 解 空间各点的电势是点电荷Q同导体平面感应电荷共同激发的 由于静电屏蔽 左半空间电场强度为零 故只需求右半空间的电势分布 需要满足的边界条件为 静电场 静电场的边值问题 静电场 静电场的边值问题 静电场 静电场的边值问题 例题27设电容率为 1和 2的两种均匀介质 以无穷大平面为界 在介质1中有点电荷Q 试求 空间的电势分布 静电场 静电场的边值问题 静电场 静电场的边值问题 静电场 静电场的边值问题 静电场 静电场的边值问题 所以得 在界面处 根据边界条件 有 静电场 静电场的边值问题 于是得 式中 静电场 静电场的边值问题 例题28在真空中有一半径为R的接地导体球 距球心为a处有一个点电荷Q 试求 空间的电势分布 静电场 静电场的边值问题 静电场 静电场的边值问题 静电场 静电场的边值问题 例题29一无穷大导体平面外有一电矩为p的电偶极子 p与导体平面平行 距导体平面距离为a 以知 导体电势为零 试求 1 导体外的电场强度 3 电偶极子受到的电场力 p 0az 2 电偶极子与导体的相互作用能量 静电场 静电场的边值问题 静电场 静电场的边值问题 静电场 静电场的边值问题 所以得P点的电场强度 静电场 静电场的边值问题 静电场 静电场的边值问题 3 电偶极子受到的电场力为 将电偶极子在任意场点的电势能 代入 即得 静电场 静电场的边值问题 例题30M P两个点电荷相距为6a 所带电量分别为Q和3Q 有一半径为a的接地导体球 球心距P点为2a 距M点为4a 试求 作用在P点电荷上的力 解 在球内 M P的像电荷分别为 静电场 静电场的边值问题 A点的场强为 和 MB0AP 静电场 静电场的边值问题 作用在P点的力为 MB0AP 静电场 静电场的边值问题 例题31一半径为R的金属球接近一个接地的无穷大导体平板 球心距导体平板距离为D 试求 该系统的电容 静电场 静电场的边值问题 静电场 静电场的边值问题 各点电荷的电量和位置如下表所示 其中 静电场 静电场的边值问题 显然 金属球的总电量应为 由于r 1 所以此级数收敛 因为 Q1和Q2 Q2和Q3 对金属球面电势的贡献为零 所以 金属球的电势仅取决于Q1 为 静电场 静电场的边值问题 于是 金属球与无穷大平板系统的电容为 同金属球电容相比可知 由于平板的存在 将使金属球的电容增大 静电场 静电场的边值问题 例题32一球形放电器由两个金属球构成 球的半径均为2 0cm 球心相距为10 0cm 已知空气介电强度为30kV cm 问两球之间的电压达到何值时 空气会被击穿 试估算到一级近似 静电场 静电场的边值问题 两球的电势差为 此时在两球内侧 电场强度和电势为 静电场 静电场的边值问题 由上两式得 于是得零级近似为 静电场 静电场的边值问题 静电场 静电场的边值问题 在两球的内侧 4个点电荷产生的电场强度为 静电场 静电场的边值问题 电势为 于是得一级近似 静电场 静电