初中数学三角形有关的线段讲解及习题

第 1 页 共 页 11 111 1 与三角形有关的线段与三角形有关的线段 1 三角形 1 定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 2 构成 如图所示 三角形 ABC 有三条边 三个内角 三个顶点 边 组成三角形的线段叫做三角形的边 角 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角 简称三角形的角 顶点 相邻两边的公共端点是三角形的顶点 3 表示 三角形用符号 表示 三角形 ABC 用符号表示为 ABC 注 顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示 顶点 B 所对的边 AC 用 b 表示 顶点 C 所对的边 AB 用 c 表示 4 分类 三角形按角分类如下 三角形Error 三角形按边的相等关系分类如下 破疑点破疑点 等边三角形和等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形 即等边 三角形是底边和腰相等的等腰三角形 例 1 如图所示 图中有几个三角形 分别表示出来 并写出它们的边和角 分析 分析 根据三角形的定义及构成得出结论 解 解 图中有三个三角形 分别是 ABC ABD ADC ABC 的三边是 AB BC AC 三个内角分别是 BAC B C ABD 的三边是 AB BD AD 三个内角分别是 BAD B ADB ADC 的三边是 AD DC AC 三个内角分别是 ADC DAC C 2 三角形的三边关系 1 三边关系 三角形两边的和大于第三边 用字母表示 a b c c b a a c b 三角形两边的差小于第三边 用字母表示为 c b a b a c c a b 2 作用 利用三角形的三边关系 在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范 围 根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形 两点之间线段最短 是三边关系得出的理论依据 破疑点破疑点 三角形三边关系的理解 三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两 边之和都大于第三边 即 a b c c b a a c b 三个不等式同时成立 例 2 下列长度的三条线段 单位 厘米 能组成三角形的是 A 1 2 3 5 B 4 5 9 第 2 页 共 页 C 5 8 15 D 6 8 9 解析 解析 选择最短的两条线段 计算它们的和是否大于最长的线段 若大于 则能构成 三角形 否则构不成三角形 只有 6 8 14 9 所以 D 能构成三角形 答案 答案 D 3 三角形的高 1 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形的高 2 描述方法 高的描述方法有三种 这三种方法都能得出 AD 是 BC 边上的高 如图 所示 AD 是 ABC 的高 AD BC 垂足为 D D 在 BC 上 且 ADB ADC 90 3 性质特点 因为高是通过作垂线得出的 因而有高一定有垂直和直角 常用关系 式为 因为 AD 是 BC 边上的高 所以 ADB ADC 90 三角形的三条高 所在直线 交于一点 当是锐角三角形时 这点在三角形内部 当是直角三角形时 这点在三角形直角顶点上 当是钝角三角形时 这点在三角形外 部 如图所示 破疑点破疑点 三角形的高线的理解 三角形的高是线段 不是直线 它的一个端点是三角 形的顶点 另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上 例 3 三角形的三条高在 A 三角形的内部B 三角形的外部 C 三角形的边上D 三角形的内部 外部或边上 解析 解析 三角形的三条高交于一点 但有三种情况 当是锐角三角形时 这点在三角形 内部 当是直角三角形时 这点在三角形直角顶点上 当是钝角三角形时 这点在三角形 外部 所以只有 D 正确 答案 答案 D 4 三角形的中线 1 定义 三角形中 连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 2 描述方法 三角形中线的描述方法有两种方式 如图 直接描述 AD 是 BC 边上的中线 间接描述 D 是 BC 边上的中点 3 性质特点 第 3 页 共 页 由三角形中线定义可知 有中线就有相等的线段 如上图中 因为 AD 是 BC 边上 的中线 所以 BD CD 或 BD BC DC BC 1 2 1 2 如下图所示 一个三角形有三条中线 每条边上各有一条 三角形的三条中线交于 一点 不论是锐角三角形 直角三角形 还是钝角三角形 三角形的三条中线都交于三角 形内部一点 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 破疑点破疑点 三角形的中线的理解 三角形的中线也是线段 它是一个顶点和对边中点的 连线 它的一个端点是三角形的顶点 另一个端点是这个顶点的对边中点 例 4 如图 AE 是 ABC 的中线 EC 6 DE 2 则 BD 的长为 A 2 B 3 C 4 D 6 解析 解析 因为 AE 是 ABC 的中线 所以 BE EC 6 又因为 DE 2 所以 BD BE DE 6 2 4 答案 答案 C 5 三角形的角平分线 1 定义 三角形中 一个内角的平分线与它的对边相交 这个角的顶点与交点之间的 线段叫做三角形的角平分线 2 描述方法 角平分线的描述有三种 如图 直接描述 AD 是 ABC 的角平分线 在 ABC 中 1 2 且 D 在 BC 上 AD 平分 BAC 交 BC 于点 D 3 性质特点 由三角形角平分线的定义可知 有角平分线就有相等的角 如上图中 因为 AD 是 ABC 的角平分线 所以 1 2 或 1 2 BAC 或 BAC 2 1 2 2 一个三角形有三条角平分线 三角形的三条角平分线交于一点 不论是锐角三角形 直角三角形 还是钝角三角形 这个交点都在三角形内部 解技巧解技巧 三角形的角平分线的理解 三角形的角平分线也是一条线段 角的顶点是一 个端点 另一个端点在对边上 例 5 下列说法正确的是 平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 三角形的中线 角平分线都是线段 而高是直线 每个三角形都有三条中线 高和角平分线 三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 A B C D 第 4 页 共 页 解析 解析 任何一个三角形都有三条高 中线和角平分线 并且它们都是线段 不是射线 或直线 因此只有 正确 故选 B 答案 答案 B 6 三角形的稳定性 1 定义 三角形的三边确定后 这个三角形的大小 形状就确定不变了 三角形的这 个性质叫做三角形的稳定性 2 理解 解 三角形的稳定性指的是三角形的大小和形状不变 这说明一个三角形确定后 它的附属性质也不变 这不同于四边形 因而在实际生活中 都是用三角形做支架的 例 6 在建筑工地我们常可看见如图所示 用木条 EF 固定矩形门框 ABCD 的情 形 这种做法根据 A 两点之间线段最短B 两点确定一条直线 C 三角形的稳定性D 矩形的四个角都是直角 解析 解析 这是三角形稳定性在日常生活中的应用 C 正确 答案 答案 C 解技巧解技巧 三角形的稳定性的理解 三角形稳定性的问题都是以实际生活为原型 说明 这样做的道理 一般较为简单 7 三角形三边关系的应用 三角形中 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 这是三角形中最基本的三边 关系 这里的 两边之和 指的是 任意两边的和 满足这一关系是三条线段能否构成 三角形的前提 三角形三边关系的运用主要有两方面 一是在已知两边的情况下确定第三边的取值范 围 二是根据所给三条线段的长度判断这三条线段能否构成三角形 解技巧解技巧 三角形三边关系的应用 当线段 a b c 满足最短的两条线段之和大于最 长的线段时就可构成三角形 已知两条线段 可根据第三条线段大于这两边之差 小于 这两边之和 来确定第三条线段的取值范围 例 7 1 以下列长度的三条线段为边 能组成三角形吗 1 6 cm 8 cm 10 cm 2 三条线段长之比为 4 5 6 3 a 1 a 2 a 3 a 0 分析 分析 根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形 选择较短的两 条线段 看它们的和是否大于第三条线段 即可判断能否组成三角形 解 解 1 因为 6 8 10 所以长为 6 cm 8 cm 10 cm 的三条线段能组成三角形 2 设这三条线段长分别为 4x 5x 6x x 0 因为 4x 5x 大于 6x 所以三条线段长之比 为 4 5 6 时 能组成三角形 3 因为 a 1 a 2 2a 3 当 a 0 时 2a 3 a 3 所以 a 1 a 2 a 3 a 0 长的线段能组成三角形 例 7 2 已知三角形的两边长分别为 5 cm 和 8 cm 则此三角形的第三边的长 x 的取值范围是 解析 解析 根据三角形三边关系可知 第三条边的长 x 应大于已知两边之差且小于已知两 边之和 所以 3 cm x 13 cm 答案 答案 3 cm x 13 cm 8 三角形的高 中线 角平分线的画法 第 5 页 共 页 三角形是最基本的图形 也是应用最多的图形 因此画出它们高 中线 角平分线经 常用到 是必须掌握的基本技能 1 高的画法 类似于垂线的画法 用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线 交对边于一点 所得到的垂线段就是这条边上的高 2 中线的画法 取一边中点 连接这点和这边相对的顶点的线段 就是所求中线 3 角平分线的画法 类似于画角平分线 作三角形一个角的平分线 交对边于一点 这点和角的顶点之间的线段就是所求的角平分线 9 三角形高的应用 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三角 形的高 因为三角形的高是通过作垂线得到的 既有直角 又有垂线段 因此它的应用方向主 要有两方面 一是求面积问题 高是垂线段 也是点到直线的距离 是求三角形的面积所 必须知道的长度 二是直角 高是垂线段 因而一定有直角 根据所有直角都相等或互余 关系进行解题是三角形的高应用的另一方向 解技巧解技巧 巧证直角背景下两锐角相等 图形中含有高时 经常用 同角 或等角 的余 角相等 来证明角相等 这既是一种方法 也是一个规律 例 8 如图 1 已 知 ABC 画出 ABC 中 BC 边上的高 中线和 BAC 的平 分线 图 1 图 2 分析 分析 因为三角形的高 中线 角平分线都是描述性定义 它们的定义就蕴含了它们 的画法 根据总结的画法画出图形即可 如图 2 解 解 画法如下 1 过 A 作 BC 的垂线 垂足为 D AD 即为 BC 边上的高 2 取 BC 的中点 E 连接 AE AE 即为 BC 边上的中线 3 作 BAC 的平分线 交 BC 于点 F 连接 AF AF 即为 ABC 中 BAC 的平分线 例 9 如图 在 ABC 中 AD BE 分别是边 BC AC 上的高 试说明 DAC 与 EBC 的关系 分析 分析 因为有三角形中的高就有垂直 直角 所以 ADC BEC 都是直角 根据小 学所学三角形的内角和为 180 所以 DAC C 90 EBC C 90 根据同角的 余角相等 即可得出 DAC EBC 解 解 DAC EBC 因为 AD BE 分别是边 BC AC 上的高 所以 ADC 90 BEC 90 所以 DAC C 90 EBC C 90 所以 DAC EBC 10 三角形中线应用拓展 三角形的中线是三角形中的一条重要线段 它最大的特点是已知三角形的中线 图中 第 6 页 共 页 一定含有相等线段 由此延伸出中线的应用 1 面积问题 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形 如图 在 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 则 S ABD S ACD S ABC 1 2 因为 BD CD ABD 和 ADC 等底同高 所以面积相等 因此通过作三角形的中 线可将三角形分成面积相等的两部分 2 周长问题 如图所示 AD 是 BC 边上的中线 ABD 和 ACD 的周长之差实质上 就是 AB 与 AC 的差 这也是三角形中线中常出现的问题 例 10 有一块三角形优良品种试验基地 如图所示 由于引进四个优良品种进行 对比试验 需将这块土地分成面积相等的四块 请你制定出两种以上的划分方案供选择 画图说明 分析 分析 根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分的特征 先把原三角形分为两 个面积相等的三角形 然后再依次等分 解 解 答案不唯一 如方案 1 如图 1 在 BC 上取点 D E F 使 BD DE EF FC 连接 AD AE AF 方案 2 如图 2 分别取 AB BC CA 的中点 D E F 连接 DE EF DF 方案 3 如图 3 分别取 BC 的中点 D CD 的中点 E AB 的中点 F 连接 AD AE DF 方案 4 如图 4 分别取 BC 的中点 D AB 的中点 E AC 的中点 F 连接 第 7 页 共 页 AD DE DF 11 等腰三角形中的三边关系 等腰三角形是特殊的三角形 它最大的特点是两条边相等 所以反映在三边关系中 就是底与腰的关系 只要两腰之和大于底就一定能构成三角形 在等腰三角形中 底 的取值范围是大于 0 且小于两腰之和 因为等腰三角形的特殊性 所以在涉及等腰三角形问题时 只要不明确哪是底 哪是 腰 就必须分情况讨论 并且要验证是否能构成三角形 如一个等腰三角形的两边长是 2 cm 和 5 cm 它的周长是多少 情况一 当腰是 2 cm 底是 5 cm 时 因为 2 2 5 两边之和小于第三边 所以此等腰 三角形不存在 情况二 当腰是 5 cm 底是 2 cm 时 5 2 5 所以此等腰三角形存在 此时周长为 12 cm 解技巧解技巧 利用三边关系求等腰三角形的边长 根据两边之和大于第三边 结合底和腰 的关系先判断等腰三角形是否存在是求解的前提 例 11 1 等腰三角形的两边长分别为 6 cm 和 9 cm 则腰长为 解析 解析 两种情况 一是腰长为 6 cm 时 底边就是 9 cm 此时 6 6 9 此三角形存 在 所以腰长可以是 6 cm 二是腰长为 9 cm 此时 9 6 9 此三角形也存在 所以腰长 也可以是 9 cm 故腰长为 6 cm 或 9 cm 答案 答案 9 cm 或 6 cm 例 11 2 已知等腰三角形的周长是 24 cm 1 腰长是底边长的 2 倍 求腰长 2 若其中一边长为 6 cm 求其他两边长 分析 分析 1 可以通过设未知数 利用周长作为相等关系 列出方程 通过求方程的解从 而求出答案 2 因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边 要分两种情况考虑 并 且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边 解 解 1 设底边长为 x cm 则腰长为 2x cm 根据题意 得 x 2x 2x 24 解得 x 4 8 所以腰长为 2x 2 4 8 9 6 cm 2 当长为 6 cm 的边为腰时 则底边为 24 6 2 12 cm 因为 6 6 12 两边之和等于第三边 所以 6 cm 长为腰不能组成三角形 故腰长不 能为 6 cm 当长为 6 cm 的边为底边时 则腰长为 24 6 2 9 cm 因为 6 cm 9 cm 9 cm 可以组成三角形 所以等腰三角形其他两边长均为 9 cm 12 与三角形有关的线段易错点分析 在本节内容中 易错点主要表现在以下三个方面 1 三角形的高 中 线 角平分线都是线段 它们都有长度 这与前面所学的垂线是 直线 角平分线是射线容易混淆 2 画钝角三角形的高时易出错 如下图三种画法都是错误的 三种情况错误的原因都是对三角形的高的定义理解不透彻 图 1 中 BE 不垂直于边 AC 错因是受锐角三角形的影响 误认为高的垂足必落在对边上 图 2 错在没有过点 B 画 AC 的垂线段 图 3 错在把三角形的高与 AC 边上的垂线混淆 把线段画成了射线 正 确的作法是过点 B 向对边 AC 所在的直线画垂线 垂足为 E 因为三角形是钝角三角形 所 以垂足落在 CA 的延长线上 如下图所示 第 8 页 共 页 3 运用三角形三边关系时出错 只有两边之和大于第三边 才能构成三角形 才能进 行其他运算 这是前提 特别是等腰三角形在没指明哪是底哪是腰时更易出错 一