利用导数解决恒成立能成立问题

利用导数解决恒成立能成立问题利用导数解决恒成立能成立问题 一利用导数解决恒成立问题一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式 常应用函数方程 思想和 分离变量法 转化为最值问题 也可抓住所给不等式的结构特征 利 用数形结合法 1 1 恒成立问题恒成立问题 若不等式 Axf 在区间D上恒成立 则等价于在区间D上 minf xA 若不等式 Bxf 在区间D上恒成立 则等价于在区间D上 maxf xB 1 若在 x 1 上恒成立 则 a 的取值范围是 2 若不等式 x4 4x3 2 a 对任意实数 x 都成立 则实数 a 的取值范围 3 设 a 0 函数 若对任意的 x1 x2 1 e 都有 f x1 g x2 成立 则 a 的取值范围为 4 若不等式 ax3 lnx 1 对任意 x 0 1 都成立 则实数 a 取值范围是 15 设函数 f x 的定义域为 D 令 M k f x k 恒成立 x D N k f x k 恒成 立 x D 已知 其中 x 0 2 若 4 M 2 N 则 a 的范围是 6 f x ax3 3x a 0 对于 x 0 1 总有 f x 1 成立 则 a 的范围为 7 三次函数 f x x3 3bx 3b 在 1 2 内恒为正值 则 b 的取值范围是 8 不等式 x3 3x2 2 a 0 在区间 x 1 1 上恒成立 则实数 a 的取值范围是 9 当 x 0 时 函数 f x ex的图象始终在直线 y kx 1 的上方 则实数 k 的取 值范围是 10 设函数 f x ax3 3x 1 x R 若对于任意的 x 1 1 都有 f x 0 成立 则实数 a 的值为 11 若关于 x 的不等式 x2 1 kx 在 1 2 上恒成立 则实数 k 的取值范围是 12 已知 f x ln x2 1 g x x m 若 x1 0 3 x2 1 2 使得 f x1 g x2 则实数 m 的取值范围是 A B C D 13 已知 若对任意的 x1 1 2 总存在 x2 1 2 使得 g x1 f x2 则 m 的取值范围是 A 0 B 0 C D 1 二利用导数解决能成立问题二利用导数解决能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式 Axf 成立 则 等价于在区间D上 maxf xA 若在区间D上存在实数x使不等式 Bxf 成立 则等价于在区间D上的 minf xB 如如 14 已知集合 A x R 2 集合 B a R 已知函数 f x 1 lnx x0 0 使 f x0 0 成立 则 A B A x x B x x 或 x 1 C x x 或 x 1 D x x 或 x 1 15 设函数 p 是实数 e 为自然对数的底数 1 若 f x 在其定义域内为单调函数 求 p 的取值范围 2 若在 1 e 上至少存在一点 x0 使得 f x0 g x0 成立 求 p 的取值范围 16 若函数 y f x x D 同时满足下列条件 1 在 D 内的单调函数 2 存在实数 m n 当定义域为 m n 时 值域为 m n 则称此函数为 D 内可等射函 数 设 a 0 且 a 1 则当 f x 为可等射函数时 a 的取值范围是 17 存在 x 0 使得不等式 x2 2 x t 成立 则实数 t 的取值范围是 18 存在实数 x 使得 x2 4bx 3b 0 成立 则 b 的取值范围是 19 已知存在实数 x 使得不等式 x 3 x 2 3a 1 成立 则实数 a 的取值范围是 20 存在实数 a 使不等式 a 2 x 1在 1 2 成立 则 a 的范围为 21 若存在 x 使成立 则实数 a 的取值范围为 22 设存在实数 使不等式 成立 则实数 t 的取值 范围为 23 若存在实数 p 1 1 使得不等式 px2 p 3 x 3 0 成立 则实数 x 的取值范围为 24 若存在实数 x 使成立 求常数 a 的取值范围 25 等差数列 an 的首项为 a1 公差 d 1 前 n 项和为 Sn 其中 a1 1 1 2 I 若存在 n N 使 Sn 5 成立 求 a1的值 II 是否存在 a1 使 Sn an对任意大于 1 的正整数 n 均成立 若存在 求出 a1的值 否 则 说明理由 参考答案参考答案 1 若在 x 1 上恒成立 则 a 的取值范围是 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数恒成立问题 专题 综合题 分析 把等价转化为 lnx a 1 得到 lnx a 1 从而原题等价转化为 y x 在 x 1 上的最小值不小于 a 1 由此利用 导数知识能够求出 a 的取值范围 解答 解 a 1 lnx a 1 在 x 1 上恒成立 y x 在 x 1 上的最小值不小于 a 1 令 0 得 x 1 或 x 1 舍 x 1 时 0 y x 在 x 1 上是增函数 当 x 1 时 y x 在 x 1 上取最小值 1 故 所以 a 故答案为 点评 本题考查实数的取值范围的求法 具体涉及到分离变量法 导数性质 等价转化 思想等知识点的灵活运用 解题时要关键是在 x 1 上恒成立等价转化为 y x 在 x 1 上的最小值不小于 a 1 2 若不等式 x4 4x3 2 a 对任意实数 x 都成立 则实数 a 的取值范围 29 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数恒成立问题 专题 计算题 分析 不等式恒成立 即较大的一边所取的最小值也大于较小的一边的最大值 因此记不 等式的左边为 F x 利用导数工具求出它的单调性 进而得出它在 R 上的最小值 最后解右边 2 a 小于这个最小值 即可得出答案 解答 解 记 F x x4 4x3 x4 4x3 2 a 对任意实数 x 都成立 F x 在 R 上的最小值大于 2 a 求导 F x 4x3 12x2 4x2 x 3 当 x 3 时 F x 0 故 F x 在 3 上是减函数 当 x 3 时 F x 0 故 F x 在 3 上是增函数 当 x 3 时 函数 F x 有极小值 这个极小值即为函数 F x 在 R 上的最小值 即 F x min F 3 27 因此当 2 a 27 即 a 29 时 等式 x4 4x3 2 a 对任意实数 x 都成立 故答案为 29 点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值 函数恒成立问题等等知识点 属于中 档题 3 设 a 0 函数 若对任意的 x1 x2 1 e 都有 f x1 g x2 成立 则 a 的取值范围为 e 2 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数恒成立问题 专题 综合题 分析 求导函数 分别求出函数 f x 的最小值 g x 的最大值 进而可建立不等关系 即可求出 a 的取值范围 解答 解 求导函数 可得 g x 1 x 1 e g x 0 g x max g e e 1 令 f x 0 a 0 x 当 0 a 1 f x 在 1 e 上单调增 f x min f 1 1 a e 1 a e 2 当 1 a e2 f x 在 1 上单调减 f x 在 e 上单调增 f x min f e 1 恒成立 当 a e2时 f x 在 1 e 上单调减 f x min f e e e 1 恒成立 综上 a e 2 故答案为 e 2 点评 本题考查导数知识的运用 考查函数的最值 解题的关键是将对任意的 x1 x2 1 e 都有 f x1 g x2 成立 转化为对任意的 x1 x2 1 e 都有 f x min g x max 4 若不等式 ax3 lnx 1 对任意 x 0 1 都成立 则实数 a 取值范围是 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数恒成立问题 专题 综合题 导数的综合应用 分析 令 g x ax3 lnx 求导函数 确定函数的单调性 从而可求函数的最小值 利 用最小值大于等于 1 即可确定实数 a 取值范围 解答 解 显然 x 1 时 有 a 1 a 1 或 a 1 令 g x ax3 lnx 当 a 1 时 对任意 x 0 1 g x 在 0 1 上递减 g x min g 1 a 1 此时 g x a g x 的最小值为 0 不适合题意 当 a 1 时 对任意 x 0 1 函数在 0 上单调递减 在 上单调递增 g x 的最小值为 1 解得 实数 a 取值范围是 点评 本题考查导数知识的运用 考查函数的单调性与最值 考查分类讨论的数学思想 正确求导是关键 5 设函数 f x 的定义域为 D 令 M k f x k 恒成立 x D N k f x k 恒成立 x D 已知 其中 x 0 2 若 4 M 2 N 则 a 的范围是 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数恒成立问题 专题 计算题 导数的概念及应用 分析 由题意 x 0 2 时 确定的 最值 即可求得 a 的范围 解答 解 由题意 x 0 2 时 令 则 g x x2 x x x 1 x 0 2 函数在 0 1 上单调递减 在 1 2 上单调递增 x 1 时 g x min g 0 0 g 2 g x max 2 a 且 4 a 故答案为 点评 本题考查新定义 考查导数知识的运用 考查学生分析解决问题的能力 属于中档 题 6 f x ax3 3x a 0 对于 x 0 1 总有 f x 1 成立 则 a 的范围为 4 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 专题 计算题 分析 本题是关于不等式的恒成立问题 可转化为函数的最值问题来求解 先对 x 分类 讨论 x 0 与 x 0 当 x 0 即 x 0 1 时 得到 构造函数 只需需 a g x max 于是可以利用导数来求解函数 g x 的最值 解答 解 x 0 1 总有 f x 1 成立 即 ax3 3x 1 0 x 0 1 恒成立 当 x 0 时 要使不等式恒成立则有 a 0 当 x 0 1 时 ax3 3x 1 0 恒成立 即有 在 x 0 1 上恒成立 令 必须且只需 a g x max 由 0 得 所以函数 g x 在 0 上是增函数 在 1 上是减函数 所以 4 即 a 4 综合以上可得 a 4 答案为 4 点评 本题考查函数的导数 含参数的不等式恒成立为题 方法是转化为利用导数求函 数闭区间上的最值问题 考查了分类讨论的数学思想方法 7 三次函数 f x x3 3bx 3b 在 1 2 内恒为正值 则 b 的取值范围是 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数恒成立问题 专题 计算题 转化思想 分析 方法 1 拆分函数 f x 根据直线的斜率观察可知在 1 2 范围内 直线 y2与 y1 x3相切的斜率是 3b 的最大值 求出 b 的取值范围 方法 2 利用函数导数判断函数的单调性 再对 b 进行讨论 比较是否与已知条 件相符 若不符则舍掉 最后求出 b 的范围 解答 解 方法 1 可以看作 y1 x3 y2 3b x 1 且 y2 y1 x3的图象和 x2类似 只是在一 三象限 由于 1 2 讨论第一象限即可 直线 y2过 1 0 点 斜率为 3b 观察可知在 1 2 范围内 直线 y2与 y1 x3相切的斜率是 3b 的最大值 对 y1求导得相切的斜率 3 x2 相切的话 3b 3 x2 b 的最大值为 x2 相切即是有交点 y1 y2 3x2 x 1 x3 x 1 5 则 b 的最大值为 x2 9 4 那么 b 9 4 方法 2 f x x 3 3bx 3b f x 3x 3b b 0 时 f x 在 R 上单调增 只需 f 1 1 0 显然成立 b 0 时 令 f x 0 x b f x 在 b 上单调增 在 b b 上 单调减 如果 b 1 即 b 1 只需 f 1 1 0 显然成立 如果 b 2 即 b 4 只需 f 2 8 3b 0 b 8 3 矛盾舍去 如果 1 b 2 即 1 b 4 必须 f b b b 3b b 3b 0 b 2 b 3 0 b 3 2 b 9 4 即 1 b 9 4 综上 b 9 4 点评 考查学生的解题思维 万变不离其宗 只要会了函数的求导就不难解该题了 8 不等式 x3 3x2 2 a 0 在区间 x 1 1 上恒成立 则实数 a 的取值范围 2 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数的单调性与导数的关系 专题 计算题 分析 变形为 x3 3x2 2 a 在闭区间 1 1 上恒成立 从而转化为三次多项式函数在 区间上求最值的问题 可以分两步操作 求出 f x x3 3x2 2 的导数 从 而得出其单调性 在单调增区间的右端求出函数的极大值或区间端点的较大 函数值 得出所给函数的最大值 实数 a 要大于这个值 解答 解 原不等式等价于 x3 3x2 2 a 区间 x 1 1 上恒成立 设函数 f x x3 3x2 2 x 1 1 求出导数 f x 3x2 6x 由 f x 0 得 x 0 或 2 可得在区间 1 0 上 f x 0 函数为增函数 在区间 0 1 上 f x 0 函数为减函数 因此函数在闭区间 1 1 上在 x 0 处取得极大值 f 0 2 并且这个极大值也 是最大值 所以实数 a 2 故答案为 2 点评 本题利用导数工具研究函数的单调性从而求出函数在区间上的最值 处理不等 式恒成立的问题时注意变量分离技巧的应用 简化运算 9 当 x 0 时 函数 f x ex的图象始终在直线 y kx 1 的上方 则实数 k 的 取值范围是 1 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 专题 常规题型 分析 构造函数 G x f x y ex kx 1 求函数的导数 根据导数判断函数的单调性 求出最小值 最小值大于 0 时 k 的范 围 即 k 的取值范围 解答 解 G x f x y ex kx 1 G x ex k x 0 G x 单调递增 当 x 0 时 G x 最小 当 x 0 时 G x 1 k 当 G x 0 时 G x f x y ex kx 1 单调递增 在 x 0 出去最小值 0 所以 1 k 0 即 k 1 故答案为 1 点评 构造函数 利用导数求其最值 根据导数的正负判断其增减性 求 k 值 属于简单 题 10 设函数 f x ax3 3x 1 x R 若对于任意的 x 1 1 都有 f x 0 成立 则实 数 a 的值为 4 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 专题 计算题 分析 弦求出 f x 0 时 x 的值 进而讨论函数的增减性得到 f x 的最小值 对于 任意的 x 1 1 都有 f x 0 成立 可转化为最小值大于等于 0 即可求出 a 的 范围 解答 解 由题意 f x 3ax2 3 当 a 0 时 3ax2 3 0 函数是减函数 f 0 1 只需 f 1 0 即可 解得 a 2 与已知矛盾 当 a 0 时 令 f x 3ax2 3 0 解得 x 当 x 时 f x 0 f x 为递增函数 当 x 时 f x 0 f x 为递减函数 当 x 时 f x 为递增函数 所以 f 0 且 f 1 0 且 f 1 0 即可 由 f 0 即 a 3 1 0 解得 a 4 由 f 1 0 可得 a 4 由 f 1 0 解得 2 a 4 综上 a 4 为所求 故答案为 4 点评 本题以函数为载体 考查学生解决函数恒成立的能力 考查学生分析解决问题的 能力 属于基础题 11 若关于 x 的不等式 x2 1 kx 在 1 2 上恒成立 则实数 k 的取值范围是 2 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 专题 计算题 分析 被恒等式两边同时除以 x 得到 k x 根据对构函数在所给的区间上的值域 得 到当式子恒成立时 k 要小于函数式的最小值 解答 解 关于 x 的不等式 x2 1 kx 在 1 2 上恒成立 k x 在 1 2 上的最小值是当 x 2 时的函数值 2 k 2 k 的取值范围是 2 故答案为 2 点评 本题考查函数的恒成立问题 解题的关键是对于所给的函数式的分离参数 写出要 求的参数 再利用函数的最值解决 12 已知 f x ln x2 1 g x x m 若 x1 0 3 x2 1 2 使得 f x1 g x2 则实数 m 的取值范围是 A B C D 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 专题 计算题 分析 先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围 再比较其最值即可求实数 m 的取值范围 解答 解 因为 x1 0 3 时 f x1 0 ln4 x2 1 2 时 g x2 m m 故只需 0 m m 故选 A 点评 本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用 考查计算能力和分析问题的 能力 属于中档题 13 已知 若对任意的 x1 1 2 总存在 x2 1 2 使得 g x1 f x2 则 m 的取值范围是 A 0 B 0 C D 1 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 特称命题 专题 综合题 分析 根据对于任意 x1 1 2 总存在 x2 1 2 使得 g x1 f x2 得到函数 g x 在 1 2 上值域是 f x 在 1 2 上值域的子集 然后利用求函数值域的方 法求函数 f x g x 在 1 2 上值域 列出不等式 解此不等式组即可求得实 数 a 的取值范围即可 解答 解 根据对于任意 x1 1 2 总存在 x2 1 2 使得 g x1 f x2 得到函 数 g x 在 1 2 上值域是 f x 在 1 2 上值域的子集 求导函数可得 f x x2 1 x 1 x 1 函数 f x 在 1 1 上单调减 在 1 2 上单调增 f 1 f 1 f 2 f x 在 1 2 上值域是 m 0 时 函数 g x 在 1 2 上单调增 g x 在 1 2 上值域是 m 2m m 且 2m 0 m m 0 时 g x 满足题意 m 0 时 函数 g x 在 1 2 上单调减 g x 在 1 2 上值域是 2m m 2m 且 m m 0 综上知 m 的取值范围是 故选 C 点评 本题主要考查了函数恒成立问题 以及函数的值域 同时考查了分类讨论的数学思 想 属于中档题 14 已知集合 A x R 2 集合 B a R 已知函数 f x 1 lnx x0 0 使 f x0 0 成立 则 A B A x x B x x 或 x 1 C x x 或 x 1 D x x 或 x 1 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 交集及其运算 专题 计算题 分析 解分式不等式求出集合 A 根据集合 B 可得 a x xlnx 在 0 上有解 利用 导数求得 h x x xlnx 的值域为 1 要使不等式 a xlnx 在 0 上 有解 只要 a 小于或等于 h x 的最大值即可 即 a 1 成立 故 B a a 1 由此求得 A B 解答 解 集合 A x R 2 x x x x 1 2x 1 0 且 2x 1 0 x x 或 x 1 由集合 B 可知 f x 的定义域为 x x 0 不等式 1 lnx 0 有解 即不等式 a x xlnx 在 0 上有解 令 h x x xlnx 可得 h x 1 lnx 1 lnx 令 h x 0 可得 x 1 再由当 0 x 1 时 h x 0 当 x 1 时 h x 0 可得当 x 1 时 h x x xlnx 取得最大值为 1 要使不等式 a x xlnx 在 0 上有解 只要 a 小于或等于 h x 的最大值 即可 即 a 1 成立 所以集合 B a a 1 所以 A B x x 或 x 1 故选 C 点评 本题主要考查集合的表示方法 分式不等式的解法 利用导数判断函数的单调性 根据函数的单调性求函数的值域 两个集合的交集的定义和求法 属于中档题 15 设函数 p 是实数 e 为自然对数的底数 1 若 f x 在其定义域内为单调函数 求 p 的取值范围 2 若在 1 e 上至少存在一点 x0 使得 f x0 g x0 成立 求 p 的取值范围 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数研究函数的单调性 专题 计算题 分析 1 求导 f x 要使 f x 为单调增函数 转化为 f x 0 恒成立 再转化为 p 恒成立 由最值法求解 同理 要使 f x 为单调减函数 转化为 f x 0 恒成立 再转化为 p 恒成立 由最值法求解 最后两个结果取并集 2 因为 在 1 e 上至少存在一点 x0 使得 f x0 g x0 成立 要转化 为 f x max g x min 解决 易知 g x 在 1 e 上为减函数 所以 g x 2 2e 当 p 0 时 f x 在 1 e 上递减 当 p 1 时 f x 在 1 e 上递增 当 0 p 1 时 两者作差比较 解答 解 1 f x 要使 f x 为单调增函数 转化为 f x 0 恒成立 即 p 恒成立 又 所以当 p 1 时 f x 在 0 为单调增函数 同理 要使 f x 为单调减函数 转化为 f x 0 恒成立 再转化为 p 恒成立 又 所以当 p 0 时 f x 在 0 为单 调减函数 综上所述 f x 在 0 为单调函数 p 的取值范围为 p 1 或 p 0 2 因 g x 在 1 e 上为减函数 所以 g x 2 2e 当 p 0 时 由 1 知 f x 在 1 e 上递减 f x max f 1 0 2 不 合题意 当 p 1 时 由 1 知 f x 在 1 e 上递增 f 1 2 又 g x 在 1 e 上为减函数 故只需 f x max g x min x 1 e 即 f e p e 2lne 2 p 当 0 p 1 时 因 x 0 x 1 e 所以 f x p x 2lnx x 2lnx e 2lne 2 不合题意 综上 p 的取值范围为 点评 本题主要考查用导数法研究函数的单调性 基本思路是 当函数为增函数时 导数大于等于零 当函数为减函数时 导数小于等于零 已知单调性求参数的 范围往往转化为求相应函数的最值问题 16 若函数 y f x x D 同时满足下列条件 1 在 D 内的单调函数 2 存在实数 m n 当定义域为 m n 时 值域为 m n 则称此函数为 D 内可等射函 数 设 a 0 且 a 1 则当 f x 为可等射函数时 a 的取值范围是 0 1 1 2 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数的定义域及其求法 函数的值域 专题 新定义 分析 求导函数 判断函数为单调增函数 根据可等射函数的定义 可得 m n 是方程 的两个根 构建函数 g x 则函数 g x 有两个零点 分类讨论 即可确定 a 的取值范围 解答 解 求导函数 可得 f x ax 0 故函数为单调增函数 存在实数 m n 当定义域为 m n 时 值域为 m n f m m f n n m n 是方程的两个根 构建函数 g x 则函数 g x 有两个零点 g x ax 1 0 a 1 时 函数的单调增区间为 0 单调减区间为 0 g 0 0 函数有两个零点 故满足题意 a 1 时 函数的单调减区间为 0 单调增区间为 0 要使函数有两个零点 则 g 0 0 a 2 1 a 2 综上可知 a 的取值范围是 0 1 1 2 故答案为 0 1 1 2 点评 本题考查新定义 考查导数知识的运用 考查函数的单调性 考查分类讨论的数学 思想 正确理解新定义是关键 17 存在 x 0 使得不等式 x2 2 x t 成立 则实数 t 的取值范围是 2 考点 绝对值不等式 专题 计算题 分析 本题利用纯代数讨论是很繁琐的 要用数形结合 原不等式 x2 2 x t 即 x t 2 x2 分别画出函数 y1 x t y2 2 x2 这个很明确 是一个开口向下 关于 y 轴对称 最大值为 2 的抛物线 要存在 x 0 使不等式 x t 2 x2成立 则 y1的 图象应该在第二象限 x 0 和 y2的图象有交点 再分两种临界讲座情况 当 t 0 时 y1的右半部分和 y2在第二象限相切 当 t 0 时 要使 y1和 y2在第二象 限有交点 最后综上得出实数 t 的取值范围 解答 解 不等式 x2 2 x t 即 x t 2 x2 令 y1 x t y1的图象是关于 x t 对称的一个 V 字形图形 其象位于第一 二象限 y2 2 x2 是一个开口向下 关于 y 轴对称 最大值为 2 的抛物线 要存在 x 0 使不等式 x t 2 x2成立 则 y1的图象应该在第二象限和 y2的图象 有交点 两种临界情况 当 t 0 时 y1的右半部分和 y2在第二象限相切 y1的右半部分即 y1 x t 联列方程 y x t y 2 x2 只有一个解 即 x t 2 x2 即 x2 x t 2 0 1 4t 8 0 得 t 此时 y1恒大于等于 y2 所以 t 取不到 所以 t 0 当 t 0 时 要使 y1和 y2在第二象限有交点 即 y1的左半部分和 y2的交点的位于第二象限 无需联列方程 只要 y1与 y 轴的交点小于 2 即可 y1 t x 与 y 轴的交点为 0 t 所以 t 2 又因为 t 0 所以 0 t 2 综上 实数 t 的取值范围是 t 2 故答案为 2 点评 本小题主要考查函数图象的应用 二次函数 绝对值不等式等基础知识 考查运 算求解能力 考查数形结合思想 化归与转化思想 属于基础题 18 存在实数 x 使得 x2 4bx 3b 0 成立 则 b 的取值范围是 b 或 b 0 考点 函数恒成立问题 专题 计算题 转化思想 分析 先把原命题等价转化为存在实数 x 使得函数 y x2 4bx 3b 的图象在 X 轴下方 再 利用开口向上的二次函数图象的特点 转化为函数与 X 轴有两个交点 对应判别 式大于 0 即可解题 解答 解 因为命题 存在实数 x 使得 x2 4bx 3b 0 成立的等价说法是 存在实数 x 使得函数 y x2 4bx 3b 的图象在 X 轴下方 即函数与 X 轴有两个交点 故对应的 4b 2 4 3b 0 b 0 或 b 故答案为 b 0 或 b 点评 本题主要考查二次函数的图象分布以及函数图象与对应方程之间的关系 是对函数 知识的考查 属于基础题 19 已知存在实数 x 使得不等式 x 3 x 2 3a 1 成立则实数 a 的取值范围是 考点 绝对值不等式 专题 数形结合 转化思想 分析 由题意知这是一个存在性的问题 须求出不等式左边的最大值 令其大于等于 3a 1 即可解出实数 a 的取值范围 解答 解 由题意借助数轴 x 3 x 2 5 5 存在实数 x 使得不等式 x 3 x 2 3a 1 成立 5 3a 1 解得 5 3a 1 5 即 a 2 故答案为 点评 本题考查绝对值不等式 求解本题的关键是正确理解题意 区分存在问题与恒成立 问题的区别 本题是一个存在问题 解决的是有的问题 故取 3a 1 5 即小于等于 左边的最大值即满足题意 本题是一个易错题 主要错误就是出在把存在问题当成 恒成立问题求解 因思维错误导致错误 20 存在实数 a 使不等式 a 2 x 1在 1 2 成立 则 a 的范围为 4 考点 指数型复合函数的性质及应用 专题 计算题 分析 由 x 的范围可得 1 x 的范围 由此得到 2 x 1 的范围 从而得到 a 的范围 解答 解 由于 1 x 2 1 1 x 2 2 x 1 4 存在实数 a 使不等式 a 2 x 1在 1 2 成立 a 4 故 a 的范围为 4 故答案为 4 点评 本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用 属于中档题 21 若存在 x 使成立 则实数 a 的取值范围为 考点 正弦函数的图象 函数的图象与图象变化 专题 计算题 分析 根据正弦函数的单调性 分别求出当 0 x 和 x 0 时 sinx 的范围 进而 推知 x 时 sinx 的最大值 进而可知要使成立 只 需 小于其最大值即可 解答 解 当 0 x 时 0 sinx sinx 当 x 0 时 0 sinx sinx 即当 x 0 sinx 要使成立 则需 即 故答案为 点评 本题主要考查了正弦函数的单调性 属基础题 22 设存在实数 使不等式 成立 则实数 t 的取 值范围为 t 考点 函数恒成立问题 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 考虑关键点 x 1 处 分为以下两端 x 1 时 t x 1 3 时 t 综上所述 t 解答 解 考虑关键点 x 1 处 分为以下两端 x 1 时 x 0 lnx 0 于是