动点问题题型方法归纳

1 x AOQ P B y 动点问题题型方法归纳动点问题题型方法归纳 动态几何特点 问题背景是特殊图形 考查问题也是特殊图形 所以要把握好一般与 特殊的关系 分析过程中 特别要关注图形的特性 特殊角 特殊图形的性质 图形的特 殊位置 动点问题一直是中考热点 近几年考查探究运动中的特殊性 等腰三角形 直角三角形 相似三角形 平行四边形 梯形 特殊角或 其三角函数 线段或面积的最值 下面就此问题的常见题型作简单介绍 解题方法 关键给以点拨 一 三角形边上动点一 三角形边上动点 1 2009 年齐齐哈尔市 直线与坐标轴分别交于两点 动点同 3 6 4 yx AB PQ 时从点出发 同时到达点 运动停止 点沿线段运动 速度为每秒 1 个单OAQOA 位长度 点沿路线 运动 POBA 1 直接写出两点的坐标 AB 2 设点的运动时间为 秒 的面积为 求出与 之间的函数关系式 QtOPQ SSt 3 当时 求出点的坐标 并直接写出以点为顶点的平行四边形的 48 5 S POPQ 第四个顶点的坐标 M 提示 第 2 问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类 第 3 问是分类讨论 已知三定点 O P Q 探究第四点构成平行四边形时按已 知线段身份不同分类 OP 为边 OQ 为边 OP 为边 OQ 为对角线 2 图 3 AB C OE F A B C OD 图 1 AB O E F C 图 2 OP 为对角线 OQ 为边 然后画出各类的图形 根据图形性质求顶点坐标 2 2009 年衡阳市 如图 AB 是 O 的直径 弦 BC 2cm ABC 60 1 求 O 的直径 2 若 D 是 AB 延长线上一点 连结 CD 当 BD 长为多少时 CD 与 O 相切 3 若动点 E 以 2cm s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动 同时动点 F 以 1cm s 的速度 从 B 点出发沿 BC 方向运动 设运动时间为 连结 EF 当 为何值时 20 tstt BEF 为直角三角形 注意 第 3 问按直角位置分类讨论 3 x y M C D P QO A B P Q A B C D 3 2009 重庆綦江 如图 已知抛物线经过点 抛 1 23 3 0 ya xa 2 A 0 物线的顶点为 过作射线 过顶点平行于轴的直线交射线于点DOOMAD DxOM 在轴正半轴上 连结 CBxBC 1 求该抛物线的解析式 2 若动点从点出发 以每秒 1 个长度单位的速度沿射线运动 设点运动的POOMP 时间为 问当 为何值时 四边形分别为平行四边形 直角梯形 等腰梯形 t stDAOP 3 若 动点和动点分别从点和点同时出发 分别以每秒 1 个长度OCOB PQOB 单位和 2 个长度单位的速度沿和运动 当其中一个点停止运动时另一个点也随之OCBO 停止运动 设它们的运动的时间为 连接 当 为何值时 四边形的面积t sPQtBCPQ 最小 并求出最小值及此时的长 PQ 注意 发现并充分运用特殊角 DAB 60 当 OPQ 面积最大时 四边形 BCPQ 的面积最小 二 二 特殊四边形边上动点特殊四边形边上动点 4 2009 年吉林省 如图所示 菱形的边长为 6 厘米 从初始时刻开ABCD60B 始 点 同时从点出发 点以 1 厘米 秒的速度沿的方向运动 点PQAPACB 以 2 厘米 秒的速度沿的方向运动 当点运动到点时 两QABCD QDPQ 点同时停止运动 设 运动的时间为秒时 与重叠部分的面积为PQxAPQ ABC 平方厘米 这里规定 点和线段是面积为的三角形 解答下列问题 yO 1 点 从出发到相遇所用时间是 秒 PQ 2 点 从开始运动到停止的过程中 当是等边三角形时的值是 PQAPQ x 秒 3 求与之间的函数关系式 yx 4 O M BH A C x y 图 1 O M BH A C x y 图 2 提示 第 3 问按点 Q 到拐点时间 B C 所有时间分段分类 提醒 高相等的两个三 角形面积比等于底边的比 5 2009 年哈尔滨 如图 1 在平面直角坐标系中 点 O 是坐标原点 四边形 ABCO 是菱 形 点 A 的坐标为 3 4 点 C 在 x 轴的正半轴上 直线 AC 交 y 轴于点 M AB 边交 y 轴于点 H 1 求直线 AC 的解析式 2 连接 BM 如图 2 动点 P 从点 A 出发 沿折线 ABC 方向以 2 个单位 秒的速度向终 点 C 匀速运动 设 PMB 的面积为 S 0S 点 P 的运动时间为 t 秒 求 S 与 t 之间的 函数关系式 要求写出自变量 t 的取值范围 3 在 2 的条件下 当 t 为何值时 MPB 与 BCO 互为余角 并求此时直线 OP 与 直线 AC 所夹锐角的正切值 注意 第 2 问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类 第 3 问发现 MBC 90 BCO 与 ABM 互余 画出点 P 运动过程中 MPB ABM 的两种情况 求出 t 值 利用 OB AC 再求 OP 与 AC 夹角正切值 5 6 2009 年温州 如图 在平面直角坐标系中 点 A 0 B 3 2 33 C 0 2 动点 D 以每秒 1 个单位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动 同时动点 E 以每 秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动 过点 E 作 EF 上 AB 交 BC 于点 F 连结 DA DF 设运动时间为 t 秒 1 求 ABC 的度数 2 当 t 为何值时 AB DF 3 设四边形 AEFD 的面积为 S 求 S 关于 t 的函数关系式 若一抛物线 y x2 mx 经过动点 E 当 S 2时 求 m 的取值范围 写出答案即可 3 注意 发现特殊性 DE OA 7 07 黄冈 已知 如图 在平面直角坐标系中 四边形 ABCO 是菱形 且 AOC 60 点 B 的坐标是 点 P 从点 C 开始以每秒 1 个单位长度的速度在线 0 8 3 段 CB 上向点 B 移动 同时 点 Q 从点 O 开始以每秒 a 1 a 3 个单位长度的速度沿 射线 OA 方向移动 设秒后 直线 PQ 交 OB 于点 D 08 tt 1 求 AOB 的度数及线段 OA 的长 2 求经过 A B C 三点的抛物线的解析式 3 当时 求 t 的值及此时直线 PQ 的解析式 4 3 3 3 aOD 4 当a为何值时 以 O P Q D 为顶点的三角形与相似 当a 为何值时 OAB 以 O P Q D 为顶点的三角形与不相似 请给出你的结论 并加以证明 OAB 6 8 08 黄冈 已知 如图 在直角梯形中 以为原点建立平面直COABOCAB O 角坐标系 三点的坐标分别为 点为线段的中ABC 8 0 810 0 4 ABC DBC 点 动点从点出发 以每秒 1 个单位的速度 沿折线的路线移动 移动的时POOABD 间为 秒 t 1 求直线的解析式 BC 2 若动点在线段上移动 当 为何值时 四边形的面积是梯形面POAtOPDCCOAB 积的 2 7 3 动点从点出发 沿折线的路线移动过程中 设的面积为 请POOABDOPD S 直接写出与 的函数关系式 并指出自变量 的取值范围 Stt 4 当动点在线段上移动时 能否在线段上找到一点 使四边形为PABOAQCQPD 矩形 请求出此时动点的坐标 若不能 请说明理由 P B ACD P O Q x y A B D C OPx y A B D C Ox y 此题备用 7 9 09 年黄冈市 如图 在平面直角坐标系xoy中 抛物线与x轴的交点 2 14 10 189 yxx 为点 A 与 y 轴的交点为点B 过点B作x轴的平行线BC 交抛物线于点C 连结AC 现有 两动点P Q分别从 O C两点同时出发 点P以每秒 4 个单位的速度沿OA向终点A移动 点 Q以每秒 1 个单位的速度沿CB向点B移动 点P停止运动时 点Q也同时停止运动 线段 OC PQ相交于点D 过点D作DE OA 交CA于点E 射线QE交x轴于点F 设动点P Q 移动的时间为t 单位 秒 1 求A B C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标 2 当t为何值时 四边形PQCA为平行四边形 请写出计算过程 3 当 0 t 时 PQF 的面积是否总为定值 若是 求出此定值 若不是 请说明理由 9 2 4 当t为何值时 PQF为等腰三角形 请写出解答过程 提示 第 3 问用相似比的代换 得 PF OA 定值 第 4 问按哪两边相等分类讨论 PQ PF PQ FQ QF PF 8 y O x C N B P MA 三 三 直线上动点直线上动点 8 2009 年湖南长沙 如图 二次函数 的图象与轴交于 2 yaxbxc 0a x 两点 与轴相交于点 连结两点的坐标分别为 AB yCACBCAC 3 0 A 且当和时二次函数的函数值相等 03 C 4x 2x y 1 求实数的值 abc 2 若点同时从点出发 均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿边运动 MN BBABC 其中一个点到达终点时 另一点也随之停止运动 当运动时间为 秒时 连结 将tMN 沿翻折 点恰好落在边上的处 求 的值及点的坐标 BMN MNBACPtP 3 在 2 的条件下 二次函数图象的对称轴上是否存在点 使得以为项QBNQ 点的三角形与相似 如果存在 请求出点的坐标 如果不存在 请说明理由 ABC Q 提示 第 2 问发现 特殊角 CAB 30 CBA 60 特殊图形四边形 BNPM 为菱形 第 3 问注意到 ABC 为直角三角形后 按直角位置对应分类 先画出与 ABC 相似的 BNQ 再判断是否在对称轴上 9 2009 眉山 如图 已知直线与轴交于点 A 与轴交于点 D 抛物线 1 1 2 yx yx 9 与直线交于 A E 两点 与轴交于 B C 两点 且 B 点坐标为 1 0 2 1 2 yxbxc x 求该抛物线的解析式 动点 P 在 x 轴上移动 当 PAE 是直角三角形时 求点 P 的坐标 P 在抛物线的对称轴上找一点 M 使的值最大 求出点 M 的坐标 AMMC 提示 第 2 问按直角位置分类讨论后画出图形 P 为直角顶点 AE 为斜边时 以 AE 为直径画圆与 x 轴交点即为所求点 P A 为直角顶点时 过点 A 作 AE 垂线交 x 轴于点 P E 为直角顶点时 作法同 第 3 问 三角形两边之差小于第三边 那么等于第三边时差值最大 10 2009 年兰州 如图 正方形 ABCD中 点A B的坐标分别为 0 10 8 4 点C在第一象限 动点P在正方形 ABCD的边上 从点A出发沿A B C D匀速运动 同 时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动 当P点到达D点时 两点同时停止运动 设运 动的时间为t秒 1 当P点在边AB上运动时 点Q的横坐标 长度单位 关于运动时间t 秒 的函数x 图象如图 所示 请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度 2 求正方形边长及顶点C的坐标 3 在 1 中当t为何值时 OPQ的面积最大 并求此时P点的坐标 10 4 如果点P Q保持原速度不变 当点P沿A B C D匀速运动时 OP与PQ能否相等 若能 写出所有符合条件的t的值 若不能 请说明理由 注意 第 4 问按点 P 分别在 AB BC CD 边上分类讨论 求 t 值时 灵活运用等腰三 角形 三线合一 11 2009 年北京市 如图 在平面直角坐标系中 ABC 三个顶点的坐标分别为xOy 延长 AC 到点 D 使 CD 过点 D 作 DE AB 交 6 0A 6 0B 0 4 3C 1 2 AC BC 的延长线于点 E 1 求 D 点的坐标 2 作 C 点关于直线 DE 的对称点 F 分别连结 DF EF 若过 B 点的直线将四ykxb 边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形 确定此直线的解析式 3 设 G 为 y 轴上一点 点 P 从直线与 y 轴的交点出发 先沿 y 轴到达 G 点 ykxb 再沿 GA 到达 A 点 若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍 试确 定 G 点的位置 使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短 要求 简述确定 G 点位 置的方法 但不要求证明 提示 第 问 平分周长时 直线过菱形的中心 第 问 转化为点 到 的距离加 到 中直线的距离和最小 发现 中直线 与 轴夹角为 见 最短路线问题 专题 11 A D P CB Q 图 1 DA P C B Q 图 2 图 3 C A D P B Q 12 2009 年上海市 已知 ABC 90 AB 2 BC 3 AD BC P 为线段 BD 上的动点 点 Q 在射线 AB 上 且满足 如 AB AD PC PQ 图 1 所示 1 当 AD 2 且点与点重合时 如图 2 所示 求线段的长 QBPC 2 在图 8 中 联结 当 且点在线段上时 设点之间的距离为 AP 3 2 AD QABB Q x 其中表示 APQ 的面积 表示的面积 求关于的函 APQ PBC S y S APQ S PBC S PBC yx 数解析式 并写出函数定义域 3 当 且点在线段的延长线上时 如图 3 所示 求的大小 ADAB QABQPC 注意 第 2 问 求动态问题中的变量取值范围时 先动手操作找到运动始 末两个位 置变量的取值 然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围 当 PC BD 时 点 Q B 重合 x 获得最小值 当 P 与 D 重合时 x 获得最大值 第 3 问 灵活运用 SSA 判定两三角形相似 即两个锐角三角形或两个钝角三角形可 用 SSA 来判定两个三角形相似 或者用同一法 或者证 BQP BCP 得 B Q C P 四点共圆也可求解 13 08 宜昌 如图 在 Rt ABC 中 AB AC P 是边 AB 含端点 上的动点 过 P 作 BC 的垂线 PR R 为垂足 PRB 的平分线与 AB 相交于点 S 在线段 RS 上存在一点 T 若以线 段 PT 为一边作正方形 PTEF 其顶点 E F 恰好分别在边 BC AC 上 1 ABC 与 SBR 是否相似 说明理由 2 请你探索线段 TS 与 PA 的长度之间的关系 3 设边 AB 1 当 P 在边 AB 含端点 上运动时 请你探索正方形 PTEF 的面积 y 的最 12 AC B P Q E D 小值和最大值 提示 第 3 问 关键是找到并画出满足条件时最大 最小图形 当 p 运动到使 T 与 R 重合时 PA TS 为最大 当 P 与 A 重合时 PA 最小 此问与上题中求取值范围类似 14 2009 年河北 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 3 AB 5 点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动 到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回 点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动 伴随着 P Q 的运动 DE 保持垂直平分 PQ 且交 PQ 于点 D 交折线 QB BC CP 于点 E 点 P Q 同时出发 当点 Q 到达点 B 时停止运动 点 P 也随之停止 设点 P Q 运动的时间是 t 秒 t 0 1 当 t 2 时 AP 点 Q 到 AC 的距离是 2 在点 P 从 C 向 A 运动的过程中 求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式 不必写出 t 的取值范围 3 在点 E 从 B 向 C 运动的过程中 四边形 QBED 能否成为直角梯形 若能 求 t 的 值 若不能 请说明理由 4 当 DE 经过点 C 时 请直接写出 t 的值 提示 按哪两边平行分类 按要求画出图形 再结合图形性质求出 t 值 有二种成 立的情形 按点 P 运动方向分类 按要求画出图形再结合图形性质求出 t 值 有二种情形 t 时 时 第 13 题 T P S R E A B CF 第 13 题 T P S R E A B CF 13 15 2009 年包头 已知二次函数 的图象经过点 2 yaxbxc 0a 10 A 直线 与轴交于点 2 0 B 02 C xm 2m xD 1 求二次函数的解析式 2 在直线 上有一点 点在第四象限 使得为顶点的xm 2m EEEDB 三角形与以为顶点的三角形相似 求点坐标 用含的代数式表示 AOC Em 3 在 2 成立的条件下 抛物线上是否存在一点 使得四边形为平行四边形 FABEF 若存在 请求出的值及四边形的面积 若不存在 请说明理由 mABEF 提示 第 2 问 按对应锐角不同分类讨论 有两种情形 第 3 问 四边形 ABEF 为平行四边形时 E F 两点纵坐标相等 且 AB EF 对第 2 问中两种情形分别讨论 四 四 抛物线上动点抛物线上动点 16 2009 年湖北十堰市 如图 已知抛物线3 2 bxaxy a 0 与x轴交于点 A 1 0 和点 B 3 0 与 y 轴交于点 C 1 求抛物线的解析式 2 设抛物线的对称轴与x轴交于点 M 问在对称轴上是否存在点 P 使 CMP 为等腰三 角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 若点 E 为第二象限抛物线上一动点 连接 BE CE 求四边形 BOCE 面积的 最大值 并求此时 E 点的坐标 注意 第 2 问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P 坐标 C 为 顶点时 以 C 为圆心 CM 为半径画弧 与对称轴交点即为所求点 P M 为顶点时 以 M 为圆心 MC 为半径画弧 与对称轴交点即为所求点 P P 为顶点时 线段 MC 的垂直 平分线与对称轴交点即为所求点 P 14 O y x B E A D C F 第 3 问方法一 先写出面积函数关系式 再求最大值 涉及二次函数最值 方法二 先求与 BC 平行且与抛物线相切点的坐标 涉及简单二元二次方程组 再求面积 17 2009 年黄石市 正方形在如图所示的平面直角坐标系中 在轴正半轴上 ABCDAx 在轴的负半轴上 交轴正半轴于交轴负半轴于 抛物线DyAByEBC xF1OE 过三点 2 4yaxbx ADF 1 求抛物线的解析式 2 是抛物线上间的一点 过点作平行于轴的直线交边于 交QDF QxADM 所在直线