多元函数微分学总结

第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8 18 1 基本知识点要求基本知识点要求 1 理解多元函数的概念 理解二元函数的几何意义 2 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质 3 理解多元函数偏导数和全微分的概念 会求全微分 了解全微分存在的 必 要条件和充分条件 了解全微分形式的不变性 4 理解方向导数与梯度的概念 并掌握其计算方法 5 熟练掌握多元复合函数一阶 二阶偏导数的求法 6 了解隐函数存在定理 熟练掌握多元隐函数偏导数的求法 7 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念 熟练掌握 它们的方程的求法 8 了解二元函数的二阶泰勒公式 9 理解多元函数极值和条件极值的概念 掌握多元函数极值存在的必要条 件 掌握二元函数极值存在的充分条件 并会求二元函数的极值 会用拉格朗 日乘数法求条件极值 会求简单多元函数的最大值和最小值 并会解决一些简 单的应用问题 8 28 2 基本题型及解题思路分析基本题型及解题思路分析 题型题型 1 1 与多元函数极限 连续 偏导数和可微的概念及其之间的关系有关与多元函数极限 连续 偏导数和可微的概念及其之间的关系有关 的题的题 1 1 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算 1 基本概念 二元函数极限的定义 设的定义域为 是的 f Pf x y D 000 P xyD 聚点 若常数 对于 总 使得当时 A 0 0 0 P x yDU P 都有成立 则称为函数当时 f PAf x yA A f x y 00 x yxy 的极限 记作 000 lim lim x yxyPP f x yAf PA 或 二元函数的连续 设的定义域为 为的聚点 f Pf x y D 000 P xyD 且 若 则称在点连续 0 PD 00 00 lim x yxy f x yf xy f x y 000 P xy 2 关于二元函数极限的解题思路 注意 在二元函数存在的定义中 方式任意 正是由 0 lim PP f PA 0 PP 于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态 在学习过程中注意比较 总结和体会二者之间的不同 证明二元函数的极限不存在 若的 0 PP以两种不同的方式趋于时 f P 极 限不同 则一定不存在 见例 1 0 lim PP f P 求二元函数的极限 可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二 元函数的极限 比如 极限的局部有界性 局部保号性 四则运算法则 夹逼 准则 两个重要的极限 变量代换法则 等价无穷小代换 分子分母有理化 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量 连续性等 见例 2 例例 1 1 证明 在原点的极限不存在 2 24 xy f x y xy 0 0 分析分析 观察分子 分母中变量观察分子 分母中变量的各次幂的特点 可考虑选择路径 x y 2 xky 证明 证明 22 24 242442 000 lim limlim 1 yyy x kyx ky xykyk f x y xyk yyk 故不存在 k 不同 极限值就不同 0 0 lim x y f x y 评注评注 证明二元函数的极限不存在是个难点 关键是选择适当的 的路径 注意总结其选择路径的规律 0 PP 例例 2 2 0 0 1 cos lim 21 xyx y xy e 分析分析 此题此题既可以直接利用等价无穷小代换 也可以先将分母有理化 再进行等价无穷小代换 解 解 0 0 0 0 1 cos1 cos limlim 211 1 1 xyxyx yx y xyxy ee 0 0 0 0 2 limlim1 12 xy x yx y xy xy exy 评注评注 二元函数的极限有与一元函数的极限类似的性质与运算法则 求法一般不难 这里不再多举例子 例例 3 3 设 证明函数在点连续 32 22 0 0 0 0 0 xy x y f x y xy x y yxf 0 0 分析分析 通过观察分子 分母中变量的各次幂的特点 可以看出 x y 在点的极限存在且为 但不易利用例 2 中的评注直接求解 可以 yxf 0 0 0 考虑将点转化成极坐标来表示 x y 证明 32 22 0 0 0 0 lim lim x yx y xy f x y xy 232 0 cossin cos sinlim0 0 0 xyf 在点连续 f x y 0 0 2 2 偏导数的概念偏导数的概念 二元函数的偏导数的概念 设在点的某一邻域内有定义 zf x y 00 xy 如果极限 存在 则称此极限为函数在点 x yxfyxxf x lim 0000 0 zf x y 处对x的偏导数 记作 或 00 xy 0 0 yy xx x z 0 0 yy xx x f 0 0 yy xxx z 00 yxfx 如果极限存在 则称此极限为函数在点 y yxfyyxf y lim 0000 0 zf x y 处对y 的偏导数 记作 或fy x0 y0 00 xy 0 0 yy xx y z 0 0 yy xx y f 0 0 yy xxy z 例例 4 4 设则函数在原点偏导数存在的情况是 24 xy f x ye A 0 0 0 0 xy ff 存在存在 B 0 0 0 0 xy ff 存在不存在 C 0 0 0 0 xy ff 不存在存在 D 0 0 0 0 xy ff 不存在不存在 研 解 解 应选 C 24 0 00 11 0 0 limlim 00 xx x xx ee f xx 因为 00 11 limlim1 00 xx xx ee xx 0 1 lim1 0 x x e x 故 所以 00 11 limlim 00 xx xx ee xx 0 0 x f 不存在 242 02 000 11 0 0 limlimlim0 00 yy y yyy eey f yyy 所以 故选 C 0 0 y f 存在 评注评注 开算数根也即含绝对值也即为分段函数 必要时需要用偏导数定 义 讨论偏导数 与一元函数类似 是重要考点 例例 5 5 设 则 22 0 0 34 lim2 x y f x yxy xy 2 0 0 0 0 xy ff 2008 北京赛 分析分析 为了利用偏导数的定义求出和 需要写出函数的表 0 0 x f 0 0 y f 达式 为此要想到利用结论 其中 0 lim PP f PAf PA 0 0lim PP 解 解 22 0 0 34 lim2 x y f x yxy xy 其中 22 34 2 f x yxy xy 0 0 lim0 x y 从而 2222 342 f x yxyxyxy 22 00 0 0 0 0 320 0 0 limlim3 0 x xx fxfxxx f xx 22 00 0 0 0 0 420 0 0 limlim4 0 y yx fyfyyy f yy 故 2 0 0 0 0 642 xy ff 评注评注 此例中这种把极限表示式转化为极限值加无穷小量 是有关极限 分析过程中常用的思想 3 3 全微分概念及以上几个概念之间的关系全微分概念及以上几个概念之间的关系 二元函数全微分的概念 如果函数在点 x y 的全增量 zf x y 可表示为 zf xx yyf x y 则称函数在点 x y 可 22 zA xB yoxy zf x y 微分 而称A x B y为函数在点 x y 的全微分 记作dz 即 zf x y dzA xB y 关系 偏导连续可微偏导存在 可微连续 但偏导存在可微 可微 连续连续偏导存在 评注 一元函数微分学的有些结论不能搬到多元函数微分学中 例例 6 6 设 1 在 0 0 点 0 0 0 0 0 1 sin 22 yx yx yx xy yxf yxf 是否连续 2 求 3 在 0 0 点是否可微 4 x fx y yxf 在 0 0 点是否连续 天津工业大学竞赛题 x fx y 分析分析 讨论分段函数在分段点的偏导数及全微分必须利用偏导数和全微 分的定义 解 1 由夹逼准则 22 1 0 sinf x yxyxy xy 故 0 0 lim 0 0 0 x y f x yf 因此 0 0f x y 在 点连续 2 当时 0 0 x y 222222 11 2 sincos x x fx yx xyxyxy 当 利用偏导数的定义得 0 0 x y 00 0 0 0 0 0 0 0 limlim0 x xx fxf f xx 故 222222 11 2 sincos 0 0 0 0 0 x x xx y fx yxyxyxy x y 同理可得 222222 11 2 sincos 0 0 0 0 0 y y yx y fx yxyxyxy x y 3 为了考察在点是否可微 我们来考察 yxf 0 0 是否为的高阶无穷小 因为 0 0 0 0 xy zfxfy 22 xy 22 22 1 sin 0 0 0 0 0 2 xy x y zfxfyxy x y x yxy 0 0 0 2 x y xy 故 即 0 0 0 0 0 lim0 xy zfxfy 0 0 0 0 xy zfxfyo 所以在点可微 yxf 0 0 4 由于 不存在 所以 222222 0 0 0 0 11 lim lim 2 sincos x x yx y x fx yx xyxyxy x fx y 在 0 0 点不连续 评注评注 1 1 利用偏导数和全微分的定义讨论函数偏导数的存在性和可微性 既是重点也是难点 需掌握 评注评注 2 2 若在点连续 且偏导数存在 则判别在 yxf 0 0 yxf 点是否可微 需考察是否为0 0 0 0 0 0 xy zfxfy 的高阶无穷小 22 xy 评注评注 3 3 此例验证了偏导数连续是可微的充分条件 而非必要条件 评注评注 4 4 注意这几个概念之间的关系与一元函数的有关结论的不同之处 例例 7 7 设函数 其中在点 0 0 的一个邻域内连 f x yxyx y x y 续 证明 在点 0 0 处可微的充要条件为 2007 天津赛 f x y 0 0 0 证明 证明 必要性 已知在点 0 0 处可微 故与都存在 x yf 00 fx 00 fy 而 00 0000 00 0 0limlim x xx xx xx f xx 其中由于存在 故 00 0 0 lim 0 0 lim 0 0 xx xxxx xx 00 fx 000 充分性 已知 类似于必要性的过程容易推出 000 欲证在点 0 0 处可微 只需证 0 0 0 0 0 0 xy ff x yf 2222 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim lim0 xy x yx y f x yffxfy xyx y xyxy 注意到 222222 2 xyxy xyxyxy 所以 22 02 xyx y x y xy 又 由夹逼定理知 0 0 lim0 00 x y x y 22 0 0 lim0 x y xyx y xy 从而在点 0 0 处可微 并且 x yf 0d x yf 评注评注 此题是一元函数中的重要结论 设在点连续 则 x xa 在可导的 在多元函数中的推广 但证明过 f xxax xa 0a 程要比一元函数复杂的多 题型题型 2 2 多元函数的偏导数的计算多元函数的偏导数的计算 1 1 复合函数求导复合函数求导 例例 8 8 设函数 则 2011 研 2 0 sin 1 xy t F x y zdt t 2 2 0 2 x y F x 解 解 为了计算简便 由偏导数的定义 可得 2 sin 1 Fyxy xxy 22 2222 0 0 0 2 2sin24 14 cos216 sin2 4 14 14 x x x y Fxxxxx xxx 评注评注 同时 0 0 00 x x xx y y fxyfx y 0 00 x df x y fxy dx 同时 0 0 00 x xyy y y fxyfx y 0 00 y df xy fxy dy 利用后者往往可以大大简化计算 此例的解答就是利用的后者 例例 9 9 设 其中 f 具有二阶连续偏导数 g 具有二阶连续 x y g y x xy fz 导数 求 2005 天津赛 yx z x z 2 2 2 分析分析 本题是典型的利用复合函数求导法则求二阶偏导数的常规题 解 解 g x y f y yf x z 2 21 1 g x y g x y f y ffy g x y g x y f y yf y f y yfy x z 4 2 3 22 2 2111 2 4 2 3 22122111 2 2 21 2 2111 g x y g x f y x xyff y f g x y g x f y x xf y f y f y x xfyf yx z 32 22 3 112 2 1 32 22 2 212 2 12 2 111 2 11 111 评注评注 1 1 多元复合函数的求导法则是重点 应理解链式法则的内涵 常多元复合函数的求导法则是重点 应理解链式法则的内涵 常 见的链式法则有 见的链式法则有 zf u ux y zdzuzdzu xduxyduy zf u v ux vx dzz duz dv dxu dxv dx zf u v ux y vx y x v v z x u u z x z y v v z y u u z y z z f u x y 且u x y x u u z x z dy dv v z y u u z y z 其它情形可以此类推 此例中就涉及到 和 评注评注 2 2 若 f 具有二阶连续偏导数 则 2112 ff 注意将此两项进行合并 例例 1010 设 2 2 xxyfz 这里 f 可导且 具有连续偏导数 求 y z x z 解 xyxxyf x xxyf x z 22 2 2 21 22 2 2 2 21 xxyfyx 02 2 2 21 22 xxxyf y xxyf y z 2 2 2 1 xxyfx 评注评注 注意区分何时该用全导数记号 何时该用偏导数记号 例例 1111 设 x u zxttxyzyxfu 求 又 u z 解 解 由上述表达式可知为自变量 所以 x z xtyxyxxtxyxyx fffff x y ff x u yzytzzytzz uy ffffff zz 评注评注 类似于一元函数 对于多层的复合关系 先要分清变量间的关系 然后逐层利用复合函数的链式法则即可 例例 1212 设变换把方程化为 试 yxv yaxu 2 0 2 1 2 2 2 2 y z y z y x z 2 0 z u v 确定 2003 天津赛 a 分析分析 利用变量替换 借助求解多元复合函数的偏导数使方程变形 是 常见题型 这里注意把握好与中间变量及自变量的树形关系 zz z xy u v x y 解 解 计算一 二阶偏导数 v z u z x v v z x u u z x z v z u za yyv z y a u z y v v z y u u z y z 2 11 2 2 22 2 2 2 2 2 v z vu z u z x z yv z y a vu z y a u z yv z u za y y z1 4 1 22 1 2 222 2 2 2 3 2 2 代入方程 得到0 2 1 2 2 2 2 y z y z y x z 0 2 4 1 2 1 2 2 22 2 2 2 2 vu z a u za y z y z y x z 以题意有 所以 02 0 4 1 2 a a 2 a 例例 1313 设二元函数具有二阶偏导数 且 证明 x yu 0 x yu 的充要条件为 2009 天津赛 ygxfx yu y u x u yx u u 2 证明 证明 必要性 若 ygxfx yu 则 显然有 ygxf yx u ygxf y u ygxf x u 2 y u x u yx u u 2 充分性 若 则 y u x u yx u u 2 0 uuu u yxxy 由于 所以 0 x yu 0 2 u y u x u x u y u u u x u y 即 因此不含 故可设 从而有0 ln x u yx u ln y lnu x x y xxu dln dd eee xx yxx y u 即 ygxfx yu 评注评注 此题的难点在充分性的证明上 注意是涉及到了关于商的偏导数 运算法则的逆运算 看似简单 实际上非常能考察大家的基本功 2 2 隐函数求导隐函数求导 例例 1414 设有三元方程 根据隐函数存在定理 存在点 1ln xz eyzxy 的一个邻域 在此邻域内该方程 0 1 1 A 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 yxzz B 可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 zyxx yxzz C 可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 zxyy yxzz D 可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 2005 研 zyxx zxyy 解 解 应选 D 令 ln1 xz F x y zxyzye 显然在点的一个邻域内具有连续的偏导 ln1 xz F x y zxyzye 0 1 1 数导数 且 而0 1 1F 0 0 1 1 1 1 20 xz x Fyze 0 0 1 1 1 1 10 y z Fx y 0 0 1 1 1 1 ln0 xz z Fyxe 0 故可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 zyxx zxyy 评注评注 本题考查了对隐函数存在定理的三个条件及结论的理解 例例 1515 设是由所确定的二元函数 求 x yzz xyz z e 2010 天津赛 2 2 x z y 2 x z 分析分析 此例是最基本的隐函数求导问题 可以直接利用隐函数的求导公 式 也可以方程两边分别对x y求偏导数 z x F F x z z y F F y z 0 x y zF 解解 1 1 利用隐函数的求导公式 令 则由隐函数的求导公式得 z ezF x y zxy 11 x zz z Fzyy xee F 11 y zz z F zxx yee F 3 2 22 2 e1 e e1 e z z z z y x z y x z 32 2 e1 e e1 1 e1 ee1 z z z z zz xyy z y yx z 解解 2 2 将等式两边分别对x y求偏导数 xyz z e y x z x z z e z y x z e1 x y z y z z e z x y z e1 3 2 22 2 e1 e e1 e z z z z y x z y x z 32 2 e1 e e1 1 e1 ee1 z z z z zz xyy z y yx z 评注评注 一般地 若利用 求隐函数的二阶偏导数时 z x F F x z z y F F y z 应注意到仍然是的函数 需进一步利用复合函数的求导法则去求 这是难z x y 点 例例 1616 设函数是由方程确定的隐函数 其中 zz x y 11 0F zz xy 具有连续的二阶偏导数 且求证 和F 0 uv F u vF u v 22 0 zz xy xy 2011 北京赛 222 33 22 0 zzz xxy xyy xx yy 解 解 令 则由隐函数的求导公式得 11 G x y zF zz xy 1 2 1 2 1212 1 x z F GFz x x GFFxFF 由于 2 2 2 2 1212 1 y z F G Fzy y GFFyFF 0 uv F u vF u v 所以 2222 1212 22 121212 0 FFFFzz xyxy xy xFFyFFFF 将等式两边分别对求偏导数 得到 22 0 zz xy xy x y 即 22 22 2 20 zzz xxy xxy x 22 22 2 2 zzz xyx xy xx 即 22 22 2 20 zzz xyy x yyy 22 22 2 2 zzz xyy x yyy 将上面的第一个式子两边同乘第二个式子两边同乘 然后相加并注意到 xy 和 得到 22 0 zz xy xy 22 zz x yy x 222 33 22 0 zzz xxy xyy xx yy 评注评注 在证明第二个等式时 若先利用的表达式去求三个二阶偏 zz xy 导数 再代入待证明的等式的左端 显然很麻烦 而设法利用第一问的结果 两边同时对求偏导 问题便迎刃而解了 x y 例例 1717 设 其中具有连续的一 zyxfu 0 2 zyx xysin f 阶偏导数 且 求 2002 天津赛 0 z dx du 分析分析 在求导之前要先分析清楚变量之间的关系 对于此题 变量 都为的一元函数 u y zx 解 解 三式两端同时对求全导数得 x dx dz f dx dy ff dx du 321 02 321 dx dz dx dy x x dx dy cos 整理可得 3 21 cos2 xx dx dz 3 3 21 21 cos2 cosf xx fxf dx dy 评注评注 分清函数关系后 此题也可以视为是利用方程组求导数的方法求 得的隐函数的导数 例例 1818 设 2y vxugv yvuxfu 其中gf 具有一阶连续偏导数 求 x v x u 分析分析 这是典型的由方程组组成的隐函数的求导问题 方程组两边直接 对求偏导数即可 x 解 方程组两端同时对x求偏导得 2 1 21 21 x v yvg x u g x v x v fu x u xf x u 由此可知 当0 12 1 1221 gfyvgxf时有 1221 1221 12 1 12 gfgyvf x gfgyv f u x u 1221 111 12 1 1 gfgyvf x f u f xg x v 题型题型 3 3 多元函数微分学在几何中的应用多元函数微分学在几何中的应用 1 1 空间曲线的切线和法平面方程空间曲线的切线和法平面方程 例例 1919 曲线在点处的切线方程为 02 4 3 444 222 zyx zyx 1 1 1 M 2003 天津赛 解 解 方程组两边对求全导数得 解之得 x 0 1 20 xyyzz yz 2 2 2 zx y yy yx z yz 从而 故 1 1 1 1 1 1 0 1yz 1 0 1 T 评注评注 一般地 若 则在处 xt yt zt 0 tt 000 Tttt 若 则在处 切向量 yy x zz x 0 xx 00 1 Ty xz x 若 则在点 注意条 0 0 F x y z G x y z 0000 Mxyz 00 1 Ty xz x 件 此例题属第三种情形 例例 2020 螺旋线上与平面平行的切线有 cos sin 02 x y z 0 xyz A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 2012 天津赛 解 解 应选 B sin cos 1 T 1 1 1 n 依题意 即 故 Tn sincos10 11 2 所以 12 1 0 1 0 1 1 TT 故切线方程为 11 2 101011 z xyxyz 评注评注 此题的切向量属例 19 评注 中的第一种情形 例例 2121 设函数在点附近有定义 且 yxf0 0 0 0 3 0 0 1 xy ff 则 0 0 3 x f 0 0 3A dzdxdy 曲面 B 0 0 0 0 3 1 1zf x yf 在点的法向量为 曲线在点处的切向量为 C 0 y yxfz 0 0 0 0 f 1 0 3 曲线在点处的切向量为 2001 研 D 0 y yxfz 0 0 0 0 f 3 0 1 解 解 应选 C 函数在点的两个偏导数存在 并不一定能保证函数在 yxf 0 0 yxf 点可微 因此不正确 0 0 A 由于偏导数存在不一定能保证曲面在相应点处存在切平面 即 zf x y 便切平面存在 其 故不正确 0 0 0 0 3 1 1f在点的法向量也应为 B 曲线的参数方程为 从而其切向量为 故 0 y yxfz 0 0 xx y zf x 1 0 3 正确 C 评注评注 此题的概念性很强 所涉及的知识点也较多 易犯的典型错误是 选 A 2 2 空间曲面的切平面和法线方程空间曲面的切平面和法线方程 例例 2222 曲面与平面平行的切平面的方程是 22 yxz 042 zyx 2003 研 分析分析 待求平面的法矢量为 因此只需确定切点坐标即可求 1 4 2 n 出平面方程 而切点坐标可根据曲面切平面的法矢量与 22 yxz 平行确定 1 4 2 n 解解 令 则 22 yxzzyxF xFx2 yFy2 1 z F 设切点坐标为 则切平面的法矢量为 其与已知 000 zyx 1 2 2 00 yxn 平面平行 因此有042 zyx 1 1 4 2 2 2 00 yx 可解得 相应地有 2 1 00 yx 5 2 0 2 00 yxz 故所求的切平面方程为 即 0 5 2 4 1 2 zyx542 zyx 评注评注 1 1 两平面平行 则它们的法向量成比例 但并不一定相等 评注评注 2 2 一般地 若曲面方程为 则在点 切 0F x y z 0000 Mxyz 平面的法向量 000000000 xyz nF xyzF xyzF xyz 例例 2323 求曲面 在处的切平面方程 vz vuy vux S 2 sin cos 2 4 uv 分析分析 S 为曲面的参数方程 分别将代人曲面 S 的方程中 2 4 uv 得在曲面上过点的两条空间曲线方程 这两条曲线在点 2 2 2 的切线所确定的平面就是所求的切平面 2 2 2 解 将解 将代人 S 的方程 得曲面上一点 2 4 uv 2 2 2 将代人曲面方程得在曲面上的一条空间曲线的参数方程 2u 2cos 2sin 2 xv yv zv 其切向量为 将代人曲面方程得在曲面上的另一条空间曲 1 2 2 2 T 4 v 线的参数方程 其切向量为 从而切平面的法向量为 2 2 2 2 2 xu yu z 2 22 0 22 T 故所求的切平面方程为 12 220 2 2 2 2 1 22 2 22 ijk nTT 即 2 2 2 2 0 2 xyz 224 2 xyz 例例 2424 在椭球面上求一切平面 它在坐标轴的正半轴截取1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 相等的线段 2009 天津赛 分析分析 只需按题设要求一步一步去做即可 关键是建立完切平面方程后 应注意到切点满足椭球面方程 最好把切平面方程化简成平面的截距式方程 解解 设 切点为 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x x y zF 000 xyz 2 0 2 a x Fx 故该点处切平面的法向量为 2 0 2 b y Fy 2 0 2 c z Fz 000 222 222 xyz n abc 切平面方程为 即 0 222 0 2 0 0 2 0 0 2 0 zz c z yy b y xx a x 1 0 2 0 2 0 2 z c y b x a zyx 依题意 有截距 即 0 0 2 0 2 0 2 kk z c y b x a k c z k b y k a x 2 0 2 0 2 0 由于切点在椭球面上 故有 即 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c k c b k b a k a 1 2 2 2 2 2 2 k c k b k a 从而解得 222 cbak 于是有 222 2 0 222 2 0 222 2 0 cba c z cba b y cba a x 切平面方程为 222 cbazyx 题型题型 4 4 与函数的全微分 方向导数和梯度有关的题与函数的全微分 方向导数和梯度有关的题 例例 2525 设函数可微 且 则在点 1 2 处的全微 f u 1 0 2 f 22 4zfxy 分 研 1 2 dz 解解 22 1 2 1 2 1 8 4 84 2 z x fxy x 22 1 2 1 2 2 4 2 z y fxy y 1 2 1 2 1 2 d42 zz zdxdyxdy xy 评注评注 一般地 若则 zf x y 00 00 1 2 d xy xy zz zdxdy xy 若则 uf x y z 000 000000 000 du xyz xyzxyz xyz uuu dxdydz xyz 例例 26 26 设函数由方程所确定 则 yxzz 2 xyz xexyz 2006 天津赛 dz 解解 1 1 令 则由隐函数的求导公式得 2 z y x F x y zzyxxe 11 11 z y xz y xz y xz y x x z y xz y x z Fzexeexe xxexe F 11 1 11 z y xz y x y z y xz y x z F zxexe yxexe F 故 1 d 1 z y xz y x z y x zzexe zdxdydxdy xyxe 解解 2 2 由全微分形式不变性 得 故 0 z y xz y x dzdydxedxxedzdydx 1 d 1 z y xz y x z y x exe zdxdy xe 评注评注 求由隐函数所确定的函数的全微分时 既可以先利用隐函数的求 导方法求出偏导数 再利用全微分的计算公式得 也可以利用全微分形式不dz 变性得dz 例例 2727 函数在点处 沿点指向点方向 ln 22 zyxu 1 0 1 AA 2 2 3 B 的方向导数为 2005 天津赛 解 解 22 1 0 1 1 0 1 11 2 u x xyz 2222 1 0 1 1 0 1 1 0 uy y xyzyz 2222 1 0 1 1 0 1 11 2 uz z xyzyz 2 2 1 lAB 221 cos cos cos 333 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 coscoscos 2 fuuu lxyz 评注评注 一般地 00 0000 cos cos xy xy f fxyfxy l 其中 000 000000000 cos cos cos xyz xyz f fxyzfxyzfxyz l 是向量的方向余弦 cos cos cos l 例例 2828 函数在点处的梯度等于 arctan x f x y y 0 1 2008 研 解 解 2 22 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 x ffyy xx xy yy 所以 0 1 0 1 0 1 ff gradfiji xy 评注评注 一般地 000000 xy gradf xyfxyfxy 000000000000 xy gradf xyzfxy zfxyzf xyz 例例 289289 求的值 使函数在点处 a b c 232 f x y zaxybyzcx z 1 2 1 M 沿轴正方向的方向导数有最大值 64 z 解 解 2223 3 2 2 xyz fx y zaycx zfx y zaxybz fx y zbycx z 1 2 1 43 1 2 1 4 1 2 1 22 xyz fac fab fbc 设 则 1 0 0 l cos1 cos0 cos0 故 1 2 1 1 2 1 cos 1 2 1 cos 1 2 1 cos xyz f fff l 43ac 由方向导数与梯度的关系知 当的方向与梯度 1 0 0 l 的方向一致时 方向导数达到最大值 1 2 1 43 4 22 gradfacabbc 据题意有 故 4364 40 220 ac ab bc 4 16abc 评注评注 方向导数沿梯度的方向达到最大值 且其最大值为梯度的模 题型题型 5 5 与多元函数极值有关的题与多元函数极值有关的题 例例 3030 已知函数在点 0 0 的某个邻域内连续 且 f x y 则 222 0 0 lim1 x y f x yxy xy A 点 0 0 不是的极值点 B 点 0 0 是的极大值点 f x y f x y C 点 0 0 是的极小值点 D 无法判断点 0 0 是否为 f x y 的极值点 f x y 研 分析分析 由题设 容易推知 因此点 0 0 是否为的极 0 0 0f f x y 值 关键看在点 0 0 的充分小的邻域内是恒大于零 恒小于零还是变 f x y 号 解 解 应选 A 由知 分子的极限必为零 从而有 1 lim 222 0 0 yx xyyxf yx 0 0 0f 且 充分小时 于是 222222 f x yxyxyo xy yx 0 0 222222 yxoyxxyfyxf 特殊地 当且充分小时 而当且xy x04 0 0 42 xxfyxfxy 充分小时 故点 0 0 不是的极值点 x04 0 0 42 xxfyxf f x y 应选 A 评注评注 本题综合考查了多元函数的极限 连续和多元函数的极值概念 题型比较新 有一定难度 极限表示式转化为极限值加无穷小量 是有关极限 分析过程中常用的思想 见例 5 的评注 例例 3131 设函数 zf x y 的全微分为dzxdxydy 则点 0 0 A 不是 f x y 的连续点 B 不是 f x y 的极值点 C 是 f x y 的极大值点 D 是 f x y 的极小值点 解解 应选 D 因dzxdxydy 可得 zz xy xy 又在 0 0 处 0 0 zz xy 2 2 1 z A x 2 0 z B x y 2 2 1 z C y 2 10ACB 故 0 0 为函数 zf x y 的一个极小值点 10A 评注 此题主要考察了极值的充分条件 设函数 zf x y 在点 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又 00 xy 令 0000 0 0 xy fxyfxy 则 000000 xxxyyy fxyA fxyB fxyC AC B2 0 时具有极值 且当 A0 时有极小值 AC B2 0 时没有极值 AC B2 0 时可能有极值 也可能没有极值 例例 3232 设 z z x y 是由0182106 222 zyzyxyx确定的函数 求 yxzz 的极值点和极值 分析分析 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点 为此先求出一阶偏导数 再令其为零即可确定驻点 然后用二元函数极值的充分条件确定是否为极值点 是极大值点还是极小值点 并求出相应的极值 解 解 因为 0182106 222 zyzyxyx 方程两边分别对求导数 x y 得 02262 x z z x z yyx 0222206 y z z y z yzyx 令 0 0 y z x z 得 0103 03 zyx yx 故 3 yz yx 将上式代入0182106 222 zyzyxyx 可得 3 3 9 z y x 或 3 3 9 z y x 由于 02 222 2 2 2 2 2 x z z x z x z y 022226 22 yx z z x z y z yx z y x z 02 222220 2 2 2 2 2 y z z y z y z y y z y z 对于驻点 3 3 9 6 1 3 3 9 2 2 x z A 2 1 3 3 9 2 yx z B 3 5 3 3 9 2 2 y z C 故0 36 1 2 BAC 又0 6 1 A 从而点 9 3 是 z x y 的极小值点 极小值 为 z 9 3 3 对于驻点 类似地 由 3 3 9 6 1 3 3 9 2 2 x z A 2 1 3 3 9 2 yx z B 3 5 3 3 9 2 2 y z C 可知0 36 1 2 BAC 又0 6 1 A 从而点 9 3 是 z x y 的极大值点 极大值为 z 9 3 3 评注评注 本题讨论了隐函数求极值问题 关键是 求可能的极值点时应注 意满足原方程 当然也可以利用公式及求两个偏导 x y z x z Fz xF y z F z yF 数 但由于此题需要求出二阶偏导数在驻点处的偏导数值 故在求时 A B C 还是用此例的方法运算量小 例例 3333 设有二阶连续偏导数 且 yxf 22 yxefyxg xy 证明 在取得极值 判断此极 1 1 22 yxoyxyxf yxg 0 0 值是极大值还是极小值 并求出此极值 2008 北京赛 分析分析 为证明 在取得极值 必须找出在的各个 yxg 0 0 yxg 0 0 二阶导数 为此需求出在点的一阶偏导数 由已知条件自然会想到 f x y 1 0 利用微分的概念 解解 因为 1 1 22 yxoyxyxf 由全微分的定义知 0 0 1 f1 0 1 0 1 yx ff xfyefg xy x 2 21 yfxefg xy y 2 21 0 0 0 x g0 0 0 y g 2 1112121222 2 2 22 xyxyxyxy xx gfe yfx e yfe yfe yfxxf xyfxefexyefyeyfxefg xyxyxyxyxy xy 2 2 2 222111211 2 1112121222 2 2 22 xyxyxyxy yy gfe xfy e xfe xfe xfyyf 2 0 0 2 1 0 2 xx Agf 1 0 1 0 0 1 fgB xy 2 0 1 2 0 0 2 2 fgC y 且 故是极大值 03 2 BAC0 A0 0 1 0 0 fg 评注评注 此题考察了全微分的概念 复合函数的导数和极值的充分条件 是 概念性 综合性较强的题 当然在求二阶偏导数时 也可以利用偏导数的定义 事实上 这样做运算量会更小 例例 3434 设二元函数在有界闭区域上可微 在的边界曲线上 yxuDD 并满足 求的表达式 2005 天津赛 0 yxu yxu y u x u yxu 分析分析 此题乍看好像无从下手 但题设条件 在的边界曲线上D 给了我们思路 不妨大胆假设处处有 然后用反正法证之 0 yxu0 yxu 解 解 显然满足题目条件 下面用反证法证明只有满足0 yxu0 yxu 题目条件 事实上 假设不恒等于 0 则至少存在一点 使得 yxuDyx 11 不妨假设 由于在有界闭区域上可微 从而0 11 yxu0 11 yxu yxuD 在有界闭区域上连续 也必在内至少存在一点 使DD 00 yx 为在上的最大值 因为在上可微 所以必有0 00 Myxu yxuD yxuD 于是得到 然而 由题设知 00 00 0 yx yx y u x u 0 00 00 yx yx y u x u 因此应有 这与的假设矛盾 yxu y u x u 0 00 yxu0 00 Myxu 同理可证的情况 因此可知在 D 上 0 11 yxu0 yxu 评注评注 此题的理论性 概念性比较强 主要考察了函数可微与偏导数存 在 连续的关系及极值的必要条件 设函数 zf x y 在点具有偏导数 00 xy 且在点处有极值 则有 注意极值的必要 00 xy 00 0 x fxy 00 0 y fxy 条件是重要考点 例例 3535 设均为可微函数 且 已知是 f x yx y 与 0 y x y 00 xy 在约束条件下的一个极值点 下列选项正确的是 f x y 0 x y A 若 则 B 若 则 00 0 x fxy 00 0 y fxy 00 0 x fxy 00 0 y fxy C 若 则 D 若 则 00 0 x fxy 00 0 y fxy 00 0 x fxy 00 0 y fxy 2006 天津赛 分析分析 利用二元函数条件极值的拉格朗日乘子法 解 解 应选 D 作拉格朗日函数 并记对应的参数的 F x yf x yx y 00 xy 值为 则 0 即 000 000 0 0 x y Fxy Fxy 00000 00000 0 0 xx yy fxyxy fxyxy 因为 将代人第一个方程 得 0 y x y 00 0 00 y y fxy xy 000000 00 1 xyx y fxyfxyxy xy 因此若 则 故应选 D 00 0 x fxy 00 0 y fxy 评注评注 条件极值的拉格朗日乘子法是重要考点 一般它有以下几种情形 求函数在条件下取得极值的必要条件 zf x y 0 x y 可构造拉格朗日函数 L x yf x yx y 令 解之可得驻点 0 0 0 xxx yyy L x yfx yx y Lx yfx yx y Lx yx y 求函数在条件下取得极值的必要条件 uf x y z 0 x y z 可构造拉格朗日函数 L x y zf x y zx y z 求函数在条件下取得极值的必要条件 uf x y z t 0 0 x y z t x y z t 可构造拉格朗日函数 L x y z tf x y z tx y z tx y z t 例例 3636 在椭球面上求一点 使函数122 222 zyx 在该点沿方向的方向导数最大 2004 天津赛 222 zyxzyxf jil 解 解 函数的方向导数表达式为 zyxf coscoscos z f y f x f l f 其中 为方向 的方向余弦 因此 2 1 cos 2 1 cos 0cos l 2yx l f 由题意即求函数在条件下的最大值 2yx 122 222 zyx 设 122 2 222 zyxyxzyxF 令解之得以及 即得驻点为 222 240 240 20 2210 F x x F y y F z z F xyz 0 z 2 1 yx 与 因最大值一定存在 故只需比较 0 2 1 2 1 1 M 0 2 1 2 1 2 M 2 1 M l f 2 2 M l f 的大小 由此可知即为所求 1 11 0 22 M 评注评注 此例属于例 35 中的 评注 例例 3737 求2 22 yx在椭圆域 1 4 2 2 y xyxD上的最大值和 f x y 最小值 分析分析 在椭圆域上的最大值和最小值 可能在区域的内部达到 f x y 也可能在区域的边界上达到 且在边界上的最值又转化为求条件极值或一元函 数在闭区间上的最值问题 解解 令02 02 y y f x x f 得可能极值点为 而0 0 xy 0 0 2f 再考虑其在边界曲线1 4 2 2 y x上的情形 方法 1 利用拉格朗日函数乘子法 设 1 4 2 2 y xyxfyxF 令 01 4 0 2 1 2 2 0 1 22 2 2 y xF yy y y f F xx x f F y x 得可能极值点4 2 0 yx 4 2 0 yx 1 0 1 yx 1 0 1 yx 代入得 2 2 0 f 3 0 1 f 比较 f x y 0 0 2f 2 2 0 f3 0 1 f这三个值的大小 可得在区域 zf x y 1 4 2 2 y xyxD上的最大值为 3 最小值为 2 方法 2 将条件极值转化为非条件极值 问题化为求一元函数在闭区间上 的最值问题 将 22 44xy 代入 22 2f x yxy 得 222 44 252h xf x yxxx 11 x 令 得驻点 比较 得在 100h xx 0 x 0 2 1 3 1 3hhh f x y D 的边界上的最大值为 最小值为将这两个值再与 1 3 1 3hh 0 2 h 比较 可得在区域 1 4 2 2 y x