中考数学：代数综合题

中考数学复习专题中考数学复习专题 1111 代数综合题代数综合题 概述 概述 代数综合题是中考题中较难的题目 要想得高分必须做好这类题 这类题主要以方程 或函数为基础进行综合 解题时一般用分析综合法解 认真读题找准突破口 仔细分析各 个已知条件 进行转化 发挥条件整体作用进行解题 解题时 计算不能出差错 思维要 宽 考虑问题要全面 典型例题精析典型例题精析 例例 已知抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴交于点 C 与 x 轴交于点 A x1 O B x2 0 x10 合题意 将 m 2 代入 得 12 12 2 3 xx x x x12 2x1 3 1 2 3 1 x x 或 1 2 1 3 x x x1 x2 看清条件 一个不漏 全方位思考 x1 1 x2 3 A 1 0 B 3 0 2 求 y ax2 bx c 三个未知数 布列三个方程 将 A 1 0 B 3 0 代入解 析式 再由顶点纵坐标为 4 可得 设 y a x 3 x 1 两点式 且顶点为 M 1 4 代入上式得 4 a 1 3 1 1 a 1 y x 3 x 1 x2 2x 3 令 x 0 得 y 3 C 0 3 3 四边形 ACMB 是非规则图形 所以面积需用分割法 S四边形 ACMB S AOC S梯形 OCMN S NBM 1 2 AO OC 1 2 OC MN ON 1 2 NB MN 1 2 1 3 1 2 3 4 1 1 2 2 4 9 用分析法 假设存在 P x0 y0 使得 S PAB 2S四边形 ACMB 18 即 1 2 AB y0 18 1 2 4 y0 18 y0 9 将 y0 9 代入 y x2 2x 3 得 x1 1 13 x2 1 13 将 y0 9 代入 y x2 2x 3 得 0 无实数根 P1 1 13 9 P2 1 13 9 存在符合条件的点 P1 P2 中考样题训练中考样题训练 1 已知抛物线 y x2 m 4 x 2m 4 与 x 轴交于点 A x1 0 B x2 0 两点 与 y 轴 交于点 C 且 x10 1 求该抛物线的解析式 系数用含 a 的代数 式表示 2 已知点 A 0 1 若抛物线与射线 AB 相交于点 M 与 x 轴相交于点 N 异于原点 求 M N 的坐标 用含 a 的代数式表示 3 在 2 的条件下 当 a 在什么范围内取 值时 ON BN 的值为常数 当 a 在什么范围内取 值时 ON OM 的值也为常数 A B x y O 2 现计划把甲种货物 1240 吨和乙种货物 880 吨用一列货车运往某地 已知这列货车挂有 A B 两种不同规格的货车厢共 40 节 使用 A 型车厢每节费用为 6000 元 使用 B 型车厢每 节费用为 8000 元 1 设运送这批货物的总费用为 y 万元 这列货车挂 A 型车厢 x 节 试写出 y 与 x 的 函数关系式 2 如果每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35 吨或乙种货物 15 吨 每节 B 型车厢最多 可装甲种货物 25 吨或乙种货物 35 吨 装货时按此要求安排 A B 两种车厢的节数 那么 共有哪几种安排车厢的方案 3 在上述方案中 哪个方案运费最省 最少运费多少元 3 已知抛物线 y 1 2 x2 x k 与 x 轴有两个不同的交点 1 求 k 的取值范围 2 设抛物线与 x 轴交于 A B 两点 且点 A 在原点的左侧 抛物线与 y 轴交于点 C 若 OB 2 OC 求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标 3 在 2 的条件下 抛物线上是否存在点 P 点 D 除外 使得以 A B P 三点 为顶点的三角形与 ABD 相似 如果存在 求出 P 点坐标 如果不存在 请说明理由 4 在全国抗击 非典 的斗争中 黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战 终于研制出一 种治疗非典型肺炎的抗生素 据临床观察 如果成人按规定的剂量注射这种抗生素 注 射药物后每毫升血液中的含药量 y 微克 与时间 t 小时 之间的关系近似地满足如图 所示的折线 1 写出注射药液后每毫升血液中含药量 y 与时间 t 之间的函数关系式及自变量取 值范围 2 据临床观察 每毫克血液中含药量不少于 4 微克时 控制 非典 病情是有效的 如果病人按规定的剂量注射该药液后 那么这一次 注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效 这个 有效时间有多长 3 假若某病人一天中第一次注射药液是早上 6 点钟 问怎样安排此人从 6 00 20 00 注射药液 的时间 才能使病人的治疗效果最好 答案答案 中考样题看台中考样题看台 1 1 由 12 12 12 20 4 24 xx xxm x xm A m 4 2 4 2m 4 m2 32 0 得 m1 2 m2 7 舍去 x1 4 x2 2 得 A B C 坐标为 A 4 0 B 2 0 C 0 8 所求抛物线的解析式为 y x2 6x 8 2 y x2 6x 8 x 3 2 1 顶点 P 3 1 设点 H 的坐标为 x0 y0 BCD 与 HBD 的面积相等 y0 8 点 H 只能在 x 轴上方 故 y0 8 求得 H 6 8 直线 PH 解析式为 y 3x 10 2 1 当点 P 运动 2 秒时 AB 2cm 由 60 知 AE 1 PE 3 S APE 3 2 cm 2 2 当 0 t 6 时 点 P 与点 Q 都在 AB 上运动 设 PM 与 AD 交于点 G ON 与 AD 交于点 F 则 AQ t AF 2 t QF 3 2 t AP t 2 AG 1 2 t BG 3 2 t 此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S 3 2 t 3 2 当 6 t 8 时 点 P 在 BC 上运动 点 Q 仍在 AB 上运动 设 PM 与 DC 交于点 G QN 与 AD 交于点 F 则 AQ t AF 2 t DF 4 2 t QF 3 2 t BP t 6 CP 10 t PG 10 t 3 而 BD 43 故此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S 5 3 8 t2 103 343 当 8 t 10 时 点 P 和点 Q 都在 BC 上运动 设 PM 与 DC 交于点 G QN 与 DC 交于点 F 则 CQ 20 2t QF 20 2t 3 CP 10 t PG 10 t 3 此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S 3 3 2 t 303t 1503 故 S 关于 t 的函数关系式为 S 2 2 33 06 22 5 3 10 334 3 68 8 3 3 30 3150 3 810 2 tt ttt ttt 附加题 当 0 t 6 S 的最大值为 7 3 2 当 6 t 8 时 S 的最大值为 63 当 8 t 10 时 S 的最大值为 63 所以当 t 8 时 S 有最大值为 63 3 1 由题知 直线 y 3 4 x 与 BC 交于点 D x 3 把 y 3 代入 y 3 4 x 中得 x 4 D 4 3 2 抛物线 y ax2 bx 经过 D 4 3 A 6 0 两点 把 x 4 y 3 x 6 y 0 分别代入 y ax2 bx 中 得 1643 3660 ab ab 解之得 3 8 9 4 a b 抛物线的解析式为 y 3 8 x2 9 4 x 3 因 POA 底边 OA 6 S POA有最大值时 点 P 须位于抛物线的最高点 a 3 8 0 抛物线顶点恰为最高点 2 4 4 acb a 2 39 4 0 84 3 4 8 A 27 8 S 的最大值 1 2 6 27 8 81 8 4 抛物线的对称轴与 x 轴的交点 Q1 符合条件 CB OA Q1OM CDO Rt Q1OM Rt CDO x 2 b a 3 该点坐标为 Q1 3 0 过点 O 作 OD 的垂线交抛物线的对称轴于点 Q2 对称轴平行于 y 轴 Q2MO DOC Rt Q2OM Rt CDO 在 Rt Q2Q1O 与 Rt DCO 中 Q1O CO 3 Q2 ODC RtQ2Q1O Rt DCO CD Q1Q2 4 点 Q2位于第四象限 Q2 3 4 因此 符合条件的点有两个 分别是 Q1 3 0 Q2 3 4 4 1 由题意 得 0 930 3 abc abc c 解之 得 1 2 3 a b c y x2 2x 3 2 由 1 可知 y x 2 4 顶点坐标为 D 1 4 设其对称轴与 x 轴的交点为 E S AOC 1 2 AO OC 1 2 1 3 3 2 S梯形 OEDC 1 2 DC DE OE 1 2 3 4 1 7 2 S DEB 1 2 EB DE 1 2 2 4 4 S四边形 ABDC S AOC S梯形 OEDC S DEB 3 2 7 2 4 9 3 DCB 与 AOC 相似 证明 过点 D 作 y 轴的垂线 垂足为 F D 1 4 Rt DFC 中 DC 2 且 DCF 在 Rt BOC 中 OCB 45 BC 32 AOC DCB 90 DCBC AOCO 2 1 DCB AOC 考前热身训练考前热身训练 1 1 y 1 a x2 1 1 a x 2 M a 1 N a 1 0 3 ON a 1 BM a 1 ON BM a 1 a 1 2 01 2 1 a aa 当 00 1 2k 0 k 1 2 2 令 y 0 有 0 1 2 x2 x k x2 2x 2k 0 x 248 2 k 1 1 2k 点 A 在原点的左侧 B 1 1 2k 0 又令 x 0 有 y k C 0 k 由 OB 2OC 得 1 1 2k 2k 由 x1x2 0 得 k 0 1 2k 1 2k 2 k 3 2 y 1 2 x2 x 3 2 D 1 2 3 令 y 0 有 1 2 x2 x 3 2 0 x2 2x 3 0 x 3 x 1 0 x1 3 x2 1 A 1 0 B 3 0 由抛物线对称性知 ABD 为等腰三角形 P 点在抛物线上 D 点除外 由抛物线的特殊性不可能存在这样的 P 点 4 1 当 0 t 1 时 设 y k1t 则 k1 6 y 6t 当 0 t 10 时 设 y k2t b 2 2 6 010 kb kb 解得 2 2 3 20 3 k b y 2 3 t 20 3 y 6 01 220 110 33 tt tt 2 当 0 t 1 时 令 y 4 即 6t 4 t 2 3 或 6t 4 t 2 3 当 0 t 10 时 令 y 4 即 2 3 t 20 3 4 t 4 或 2 3 t 20 3 4 t 4 注射药液 2 3 小时后开始有效 有效时间为 4 2 3 10 3 小时 3 设第二次