惯性矩的计算方法

第第 1 1 节节 静矩和形心静矩和形心 4 14 1 静矩和形心静矩和形心 任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关 而且与构件截面的几何形状和尺寸有关 如 计算杆的拉 伸与压缩变形时用到截面面积 A 计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩 I等 A I等是从不同角度反映了 截面的几何特性 因此称它们为截面图形的几何性质 4 14 1 静矩和形心静矩和形心 设有一任意截面图形如图 4 1 所示 其面积为 A 选取直角坐标系 yoz 在坐标为 y z 处取一微小面积 dA 定 义微面积 dA 乘以到 y 轴的距离 z 沿整个截面的积分 为图形对 y 轴的静矩 S 其数学表达式 4 1a 同理 图形对 z 轴的静矩为 4 1b 图图 4 14 1 截面静矩与坐标轴的选取有关 它随坐标轴 y z 的不同而不同 所以静矩的数值可能是正 也可能是负或是零 静矩 的量纲为长度的三次方 确定截面图形的形心位置 图 4 1 中 C 点 4 2a 4 2b 式中 y z 为截面图形形心的坐标值 若把式 4 2 改写成 4 3 性质 若截面图形的静矩等于零 则此坐标轴必定通过截面的形心 若坐标轴通过截面形心 则截面对此轴的静矩必为零 由于截面图形的对称轴必定通过截面形心 故图形对其对称轴的静矩恒为零 4 工程实际中 有些构件的截面形状比较复杂 将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形 如矩形 圆形等 组 合而成的 对于这样的组合截面图形 计算静矩 S 与形心坐标 y z 时 可用以下公式 4 4 4 5 式中 A y z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值 n 为组成组合图形的简单图形个数 即 组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和 组合图形的形心坐标值等于组合图形对相 应坐标轴的静矩除以组合图形的面积 组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的 例 4 1 已知 T 形截面尺寸如图 4 2 所示 试确定此截面的形心坐标值 图图 4 24 2 解 1 选参考轴为 y 轴 z 轴为对称轴 2 将图形分成 I 两个矩形 则 3 代入公式 4 5 4 24 2 惯性矩 惯性积和惯性半径惯性矩 惯性积和惯性半径 设任一截面图形 图 4 3 其面积为 A 选取直角坐标系 yoz 在坐标为 y z 处取一微小面积 dA 定义此 微面积 dA 乘以到坐标原点 o 的距离的平方 沿整个截面积分 为截面图形的极惯性矩 I 微面积 dA 乘以到坐标轴 y 的 距离的平方 沿整个截面积分为截面图形对 y 轴的惯性矩 I 极惯性矩 惯性矩常简称极惯矩 惯矩 数学表达式为 极惯性矩 4 6 对 y 轴惯性矩 4 7a 同理 对 z 轴惯性矩 4 7b 图图 4 34 3 由图 4 3 看到所以有 即 4 8 式 4 8 说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩 在任一截面图形中 图 4 3 取微面积 dA 与它的坐标 z y 值的乘积 沿整个截面积分 定义此积分为截面图形对 y z 轴的惯性积 简称惯积 表达式为 4 9 惯性矩 极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方 I I I恒为正值 而惯性积 I其值能为正 可能为负 也可能为 零 若选取的坐标系中 有一轴是截面的对称轴 则截面图形对此轴的惯性积必等于零 当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时 称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴 对主惯性轴的惯性矩称为主惯性 矩 而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴 或称主形心惯轴 截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩 或 称主形心惯矩 例如 图 4 4 中若这对 yz 轴通过截面形心 则它们就是形心主惯性轴 对这两个轴的惯性矩即为形心主惯 性矩 图图 4 44 4 工程应用中 如压杆稳定中 有时将惯性矩表示成截面面积与某一长度平方的乘积 即 或写成 4 10 式中 i分别称为截面图形对 y 轴 z 轴的惯性半径 其量纲为长度的一次方 例 4 2 已知矩形截面的尺寸 b h 图 4 5 试求它的形心主惯性矩 解 取形心主惯性轴 即对称轴 y z 及 dA dy 代入公式 I 7a 得 同理 图图 4 54 5 例 4 3 设圆的直径为 D 图 4 6 试求图形对其形心轴的惯性矩及惯性半径值 解 1 求惯性矩 因为图形对称 y z 为对称轴 所以 I I 这是较简单的解法 本例也可取出图 4 6 上的微面积 dA 按积分法来求得 2 求惯性半径 图图 4 64 6 第第 3 3 节节 惯性矩 惯性积的平行移轴公式惯性矩 惯性积的平行移轴公式 4 34 3 惯性矩 惯性积的平行移轴公式惯性矩 惯性积的平行移轴公式 设任一截面图形 图 4 7 对其形心轴 Y Z的惯性矩已知 有另一对坐标轴 y z 分别平 行 y 轴 两平行轴间距分别为 a b 现讨论截面对这两平行坐标轴的惯性矩之间的关系 根据定义 截面对形心轴的惯性矩 惯性积分别为 同样 截面对 y z 轴的惯性矩 惯性积分别为 由图 4 7 可知 z z a 代入 b 的第一式 因为 则上式简化为 同理 4 11 公式 4 11 称为惯性矩 惯性积的平行移轴公式 即截面图形对某轴的惯性矩 等于它对与该轴平行的形心 轴的惯性矩 加上两轴间距离的平方乘以截面面积 截面圆形对任一正交轴系的惯性积 等于它对与该轴系平 行的形心轴系的惯性积 加上两坐标系轴间距的乘积再乘以截面面积 式 4 11 中前二式恒为正 第三 式中 a b 均为代数值 故 I可正 可负或为零 图图 4 74 7 组合截面图形的惯性矩和惯性积可用下面公式来计算 4 12 式中 I 分别表示每个简单图形对自身形心轴的惯性矩 惯性积 a分别表示每个简单 图形的形心坐标轴到组合图形 y z 轴的距离 A表示各简单图形的面积 例 4 4 已知截面图形尺寸如图 4 8 所示 试求图形对水平形心轴的惯性矩 I 解 1 将图形分成三个小矩形 2 选参考轴在 的形心上 3 由公式 I 5 求形心 124 89 因为 z 是对称轴 故 4 由公式 I 12 第一式计算 I 图图 4 84 8 4 44 4 惯性矩 惯性积的转轴公式惯性矩 惯性积的转轴公式 设任一截面图形 图 4 9 对坐标轴 y z 轴的惯性矩 惯性积为 I 若将坐标轴 y z 绕其原点 o 旋转一角 以逆时针转为正 顺时针转为负 图 4 9 的 为正 得到新的 坐标轴 y 此时 图形对 y轴的惯性矩与惯性积为 I 现研究 与 和 I之间的关系 图图 4 94 9 在图中任取一微面积 dA 它在 yoz 坐标系的坐标为 y z 在 y坐标系的坐标为 y 由图有几何关系 a 按定义 b 将 a 式分别代入 b 式 利用三角函数关系 整理后得到 4 13 4 13 式即为惯性矩和惯性积的转轴公式 它反映了惯性矩 惯性积随 a 而改变的规律 将式 1 13 的前两式相加 可得 这说明截面图形对正交轴系的惯性矩之和为一常数 现在我们来研究 4 13 的第三式 I随 a 而改变 当 0 时 相应的坐标轴为主惯性轴 用 y表示 即 c 由此求得 4 14 上式中的和表示了主轴的方位角 将关系式 4 14 代入转轴公式 4 13 第一 第二式 运算时利用三角函数关系 可以求得截面图形的主惯性矩 4 15 若将公式 4 13 的第一式对求一阶导数且令其为零 即可得到惯性矩的极值 即 可见 上式与 c 式一致 这说明由公式 4 15 求得的主惯性矩就是截面图形的最大或最小惯性矩 例 4 5 已知截面图形尺寸如图 4 10 所示 试求其形心主惯性矩 I 图图 4 104 10 解 1 确定形心位置 由于截面是反对称的 所以形心在其对称中心 C 点 以 C 点为原点 取坐标 轴 y z 如图所示 2 将截面