导数单元测试

1 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 一 选择题一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5分 共 60 分 1 若 0 3fx 则 00 0 3 lim h f xhf xh h A 3 B 6 C 9 D 12 2 函数 32 3922yxxxx 时 为增函数 所以 f 1 是函数 f x 在 0 上的最大值 又因为 a2 0 故 f a2 f 1 9 B 解析 解析 由题意得 解得则不等式组为 如图所示 阴影部分的面积即为所求 易知图中两锐角的正切值分别是 设两直线的夹角为 则 tan tan 1 所以 而圆的半径是 2 1 2 1 3 1 1 2 1 3 4 所以不等式组所确定的区域在圆内的面积 10 B 解析 解析 函数 f x x3 mx2 m 6 x 1 既存在极大值又存在极小值 所以方程有两个不同的实数根 由得 m 的取值范围为 二 填空题二 填空题 11 解析解析 设切点 P x0 y0 因为 所以 由题意知 x0 y0 1 0 y0 ax02 2ax0 1 由 解得 12 2 3bac 解析 解析 由题意知 2 320fxaxbxc 恒成立 已知则 即 13 解析 解析 7 14 3x y 11 0 解析 解析 因为 令切线的斜率 当 k 取最小值时 此 时切线的斜率为 3 切点为 1 14 切线方程为 即 三 解答题三 解答题 15 解 解 1 因为cbxaxxf 24 的图象经过点 0 1 所以1c 3 42 1 421fxaxbx kfab 由题意得切点为 1 1 则cbxaxxf 24 的图象经过点 1 1 得 联立 得 2 令得 当 x 变化时 x 0 0 0 0 由上表可知 函数的单调递增区间为 16 解解 1 由题设 f 1 2a 2 所以 a 1 此时 f 1 0 切线方程为 y 2 x 1 即 2x y 2 0 2 令 1 8a 当 a 时 0 f x 0 f x 在 0 单调递减 1 8 当 0 a 时 0 方程 1 0 有两个不相等的正根 1 8 不妨设 则当时 f x 0 当时 f x 0 这时 f x 不是单调函数 综上 a 的取值范围是 1 8 8 17 解解 1 由已知 1 2 0 fxx x 1 2 13 f 故曲线 yf x 在1x 处切线的斜率为3 2 11 0 ax fxax xx 当0a 时 由于0 x 故10ax 0fx 所以函数 f x的单调递增区间为 当0a 时 由 0fx 得 1 x a 在区间 1 0 a 上 0fx 在区间 1 a 上 0fx 所以函数 f x的单调递增区间为 单调递减区间为 3 由已知 转化为 maxmax f xg x max 2g x 由 2 知 当0a 时 函数 f x在 0 上单调递增 值域为 R 故不符合题意 或者举出反例 存在 33 e e32fa 故不符合题意 当0a 时 函数 f x在上单调递增 在上单调递减 故 f x的极大值即为最大值 11 1 ln 1 ln fa aa 所以21 ln a 解得 3 1 e a 18 解 由 1a 2 1 2e 2 x f xxx 3 1 e 2 f 所以 又 2exfxx 1 1 e f 所以所求切线方程为即 5 分 3 e 1 e 1 2 yx 2 1 e 210 xy 由已知 得 2 1 2e 2 x f xxxa 2exfxxa 因为函数在上是增函数 xfR 所以恒成立 即不等式 恒成立 9 分 0fx 2e0 x xa 整理得 令 11 分 2 ex x a 2 ex x g x 3 ex x g x 的变化情况如下表 x g x g x x 3 3 3 g x 0 g x 极小值 9 由此得的取值范围是 13 分 3 3 eaga 即 3 e 19 已知函数 1 23 bxxbxxf Rb 若函数在点处的切线与直线平行 求的值 xf 1 1 f03 yxb 在 的条件下 求在区间上的最值 xf 3 0 解 函数在点处的切线与直线平行bxbxxf 1 23 2 xf 1 1 f03 yx 解得 4 分 11231 bbf2 b 由 知 xxxxf23 23 令 263 2 xxxf0263 2 xxxf 解得 7 分 3 3 1 3 3 1 21 xx 在区间上 的变化情况如下 3 0 x x f xf x0 0 1 x 1 x 21 xx 2 x 3 2 x3 x f 0 0 xf0递增 9 32 递减 9 32 递增6 所以当3 时 当时 x6 max xf 3 3 1 x min xf 9 32 20 本小题满分 14 分 设函数 2 2 ln 0 a f xaxa x 已知曲线在点处的切线 的斜率为 求实数的值 yf x 1 1 fl23a a 讨论函数的单调性 f x 在 的条件下 求证 对于定义域内的任意一个 都有 x 3f xx 解 的定义域为 1 分 f x 0 x x 根据题意 2 2 2 aa fx xx 1 23fa 所以 即 解得 2 223aaa 2 210aa 1a 10 4 分 2 22 2 2 aaa xa fx xxx 1 当时 因为 所以 0a 0 x 20 xa 2 0a xa 所以 函数在上单调递减 6 分 0fx f x 0 2 当时 0a 若 则 函数在上单调递减 02xa 2 0a xa 0fx f x 0 2 a 若 则 函数在上单调递增 8 分2xa 2 0a xa 0fx f x 2 a 综上所述 当时 函数在上单调递减 当时 函数在上单调递减 在0a f x 0 0a f x 0 2 a 上单调递增 9 分 2 a 由 可知 2 lnf xx x 设 即 3 g xf xx 2 ln3g xxx x 10 分 2 222 122 1 2 1 0 xxxx g xx xxxx 当变化时 的变化情况如下表 x g x g x x 0 1 1 1 g x 0 g x A 极小值A 是在上的唯一极值点 且是极小值点 从而也是的最小值点 1x g x 0 g x 可见 13 分 1 0g xg 最小值 所以 即 所以对于定义域内的每一个 都有 0g x 3 0f xx x 3f xx 14 分 4 设 函数 a R 23 3 xaxxf 若是函数的极值点 求实数的值 2 x xfy a 若函数在上是单调减函数 求实数的取值范围 x g xe f x 2 0 a 解 2 363 2 fxaxxx ax 因为是函数的极值点 所以 即 2x yf x 2 0 f 6 22 0a 所以 经检验 当时 是函数的极值点 1a 1a 2x yf x 即 6 分1a 11 由题设 又 322 336 x g xe axxaxx 0 x e 所以 0 2 x 322 3360axxaxx 这等价于 不等式对恒成立 2 322 3636 33 xxx a x