平面向量整说课详解

平面向量整理平面向量整理 一 一 平面向量的本质 向量就是终点相对于起点的位置变化 平面向量的本质 向量就是终点相对于起点的位置变化 这里包含两点 这里包含两点 1 变化的距离 变化的距离 2 变化的方向 变化的方向 二 二 平面向量可以用有向线段来表示 但要注意有向线段不是向量 只是表示向量的手段 平面向量可以用有向线段来表示 但要注意有向线段不是向量 只是表示向量的手段 一个向量可以用不同的有向线段来表示 只要终点相对相对于起点的一个向量可以用不同的有向线段来表示 只要终点相对相对于起点的位置变化相同位置变化相同 需 需 要注意的是表示向量有向线段的起点 并不是向量实际意义上的起点 表示向量的有向要注意的是表示向量有向线段的起点 并不是向量实际意义上的起点 表示向量的有向 线段的终点 并不是向量实际意义上的终点 线段的终点 并不是向量实际意义上的终点 三 三 1 向量的模 向量的模 就是终点相对于起点变化的距离 就是终点相对于起点变化的距离 2 零向量 零向量 1 变化的距离为 变化的距离为 0 2 变化的方向是任意的 变化的方向是任意的 3 单位向量 单位向量 1 变化的距离为 变化的距离为 1 2 变化的方向不要求 变化的方向不要求 4 相等向量 相等向量 1 变化的距离相等 变化的距离相等 2 变化的方向相同 变化的方向相同 5 相反向量 相反向量 1 变化的距离相等 变化的距离相等 2 变化的方向相反 变化的方向相反 6 平行 共线 向量 平行 共线 向量 只要求变化的方向在一条直线上 对距离没要求只要求变化的方向在一条直线上 对距离没要求 四 向量的加减法四 向量的加减法 1 向量的加法 两向量相加表示经过两次位置变化后 终点相对于最初起点的位置变化 向量的加法 两向量相加表示经过两次位置变化后 终点相对于最初起点的位置变化 如 表示向东走 100 米 表示向东北 100 米 那么 a b 的和表示向东北走了 100米 ab2 由此不难得到两向量相加的三角形法则 即将被加的向量顺次首尾相接 连接起点和最后终点得到的向量 类似的 a b c 表示三次位置变化 向量的平行四边形法则实质上也是三角形法则 ACBCABADAB 2 向量的减法 向量的减法是加法的逆运算 如 如 a b表示表示a b 可将向量的减法转化为两向量相加 可将向量的减法转化为两向量相加 表现为两向量起点重合 连接两向量的终点并指向被减向量的向量表现为两向量起点重合 连接两向量的终点并指向被减向量的向量 a b a b A B C D a b a b b a b 五 数乘运算 数乘运算 不改变向量的直线方向 只改变距离 向量的平行 共线 即 向量共线则向量可以进行线性运算 两向量之间存在倍数关系 反过来 向量可以进 行线性运算 两向量之间存在倍数关系 则向量共线 六 平面向量基本定理 1 向量的加减法可以看作是向量合成 向量的分解可以看作是合成的逆运算 2 基底 先讲数轴 一维的 作好类比过渡 数轴上每个数都可以用单位 过表示 如 4 1 8 8 1 这里的单位 1 就可以看作是基底 当然用 2 也可以去度量任何一个实数 如 4 2 2 6 8 3 4 2 这里的 2 就可以看作是基底 所以说基底就是一个度量衡 3 如果我们讨论的向量终点相对于起点的位置变化在一条直线方向上 一维的情形 如图 我们可以规定一个方向向右的单位向量 叫它 i 那么其它向量就可以用它来度量 例如 方向向右 终点相对于起点变化的距离为 3 的向量 a 就可以表示为就可以表示为 3i 方向向左 终点相对于起点变化的距离为 4 5 的向量 b 就可以表示为就可以表示为 4 5i 类似于坐标 我们也可以记 a 3 b 4 5 那么 a b 3 4 5 1 5 表示方向向左 变化的距离为 1 5 的向量 2a 2 3 6 表示方向向左变化的距离 为 6 的向量 这一点与实数运算完全类似 4 平面向量是二维的 所以平面向量的基底 需要两个方向 如图 则 a b c 且这种分解是唯一的 在 且这种分解是唯一的 在 l m 直线方向上分别取非零向量直线方向上分别取非零向量 i j 则 则 c xi b yj 由共线向量基本定理 这 里的 x y 也是唯一的 任一向量 a 都可以分解为非零向量 i j 的线性表示 a xi yj 这里且是唯一的 这里Ryx 的非零向量非零向量 i j 就是基底就是基底 是平面向量的度量衡 并且 如果我们选取的非零向量非零向量 i j 是单位向量 我们就可以将向 量 a 记作 a x y 这里 我们相当于建立了一个斜坐标系 六 向量的坐标表示 向量作为一种工具 可以实现由代数的方法研究几何的问题 为此 我们需要把它代数化 这就需要引入参考系 坐标系 由以上讨论 可以选取两个垂直的单位向量 i j 为基底 把它们的起点固定在直角坐标系的原点上 实 现将向量有序数对表示 如图 如图 2 3 jiOA32 1 平面中的向量都可以看作是经过两次位置变化而得到的 一次是 x 轴方向的 水平的 另一次是 y 轴方向上的 竖直的 则就可以分解为两条直线方向上的位置变化 4 3 3 2 baba 而在每条直线方向上运算都是线性的 O1 l c m b a y x O 2 3A 2 3 Oi 2 向量变化的距离 由直角三角形得到 OA1332 22 向量变化的方向可以由来表示 2 3 tan x y 3 起点为 A 终点为 B 的向量表示 如图 可以看作是先由 A 到 C 再由 C 到 B 所以AB jiCBACAB 25 36 一般化一下 A x1 y1 B x2 y2 12121212 yyxxjyyixxAB 由直角三角形 ABC 也可以看到 AB 2 12 2 12 yyxx 七 向量的数量积 1 记住数量积的几何意义 如图 ab a b cos 表示 表示 a 与向量 与向量 b 在向量在向量 a 方向上的投影 方向上的投影 b cos 的积 这里 的积 这里 是两是两 向量的夹角 向量的夹角 实质为把两个向量的内积转化为两个实数的乘积 实质为把两个向量的内积转化为两个实数的乘积 180 0 2 向量的坐标表示 要从向量坐标的本质上推导 a x1 y1 x1i y1j b x2 y2 x2i y2j 这里向量 i j 表示两个垂直的单位向量 i j 推导从略 例题讲解 1 2009 广东 5 分 一质点受到平面上的三个力 F1 F2 F3 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知 F1 F2 成 60 角 且 F1 F2的大小分别为 2 和 4 则 F3的大小为 A 2 B 2 75 C 2 D 6 解析 本题实际上是求与的和向量 由余弦定理 2 2 1 OF 2 OF 3 OF 3 OF 1 OF 1 FG 2 2 cos OF1F3 4 16 2 2 4 28 1 OF 1 FG 1 2 2 故选 A 3 OF 7 答案 A 解析 平面向量问题一般要作图 质点处于平衡状态 则 F1 F2 F3 0 所以 所以 F3 F1 F2 表示向量 F1 x O 3 2A 3 2 B 6 5 C 6 5 a b O B A C F2两次变化可等价于一次变化的效果 OF1 F3表示其相反向量 于是就成了解三角形的问题 利用余弦定理求出 OF3的长度就行了 2 2010 浙江 4 分 在 ABC 中 M 是线段 BC 的中点 AM 3 BC 10 则 AB AC 解析 AB AC AM MB AM MC AM 1 2BC AM 1 2BC 9 100 16 2 AM 1 4 2 BC 1 4 答案 16 解析 画图 解决向量的点积问题 就是简化 考虑找到度量衡 基底 从而把它化成两个方向上的线性运算 我们选取向量 AM BC 为基底 因为这两个向量的信息是知道的 可得 AB AC AM MB AM MC 9 100 16 AM 1 2BC AM 1 2BC 2 AM 1 4 2 BC 1 4 3 2011 浙江 4 分 若平面向量 满足 1 1 且以向量 为邻边的平行四边形的面积为 则 1 2 与 的夹角 的取值范围是 解析 对于以向量 为邻边的平行四边形的面积 S0 sin 2 sin 因此 1 2 1 2 sin 1 因此 与 的夹角 的取值范围是 1 2 1 2 6 5 6 答案 6 5 6 解析 因 1 可以认为向量 的终点在单位圆周上 画个图 对于以向量 为邻边的平行四边形的面积 1 则 的终点落到圆内 S0 sin 2 sin 因此 sin 1 2 1 2 1 2 1 所以从反比例函数上可以得到 sin 1 1 2 画一个单位圆 如图 2 4 C A B M X y O y X O 6 5 6 终边落到阴影区域的角就是 的取值范围是 6 5 6 4 2010 浙江 4 分 已知平面向量 0 满足 1 且 与 的夹角为 120 则 的取值范围 是 解析 如图 设 则在 ABC 中 ACB 60 AC AB 根据正弦定理 即 sin ABC 由于 0 ABC 120 sin ABC sin60 sin ABC sin60 2 3 3 所以 0 sin ABC 1 故 0 2 3 3 答案 0 2 3 3 解析 解析 一般地 题目所给为向量表达 我们把它转化为几何表达 题目所给为几何表达 我们可以考虑转化向量表 达 1 即 向量变化的距离为 1 且 与 的夹角为 120 现在我们把题目中的向量表达转化为几何表达 如图 要注意 与 的夹角为 120 则 ACB 60 利用根据正弦定理 即 sin ABC sin60 sin ABC 由于 0 ABC 120 所以 0 sin ABC 1 故 0 sin ABC sin60 2 3 3 2 3 3 5 给出下列四个命题 若 a b 则 a b 若 a b 则 a b 若 a b 则 a b 若 a b 则 a b 其中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 选 A 中 当 a b 时 两向量不一定相等 不正确 中 当两向量模相等时 两 向量不一定共线 不正确 中 当向量相等时 模一定相等 正确 综上只有 正确 故选 A 解析 a b 只是 a 与 b 的方向在一条直线方向上 而 a b 要求变化的距离和方向都是相同 的 错 a b 只说明变化的距离相等 方向不一定相同 错 a b 只说明变化的距离 120 相等 但两向量的方向不一定在同一直线方向上 错 若 a b 则两向量方向相同 变化的 距离又相等 对 5 在四边形 ABCD 中 且 那么四边形 ABCD 为 AB DC AB BC A 平行四边形 B 菱形 C 长方形 D 正方形 解析 选 B 由 且 知 四边形 ABCD 为平行四边形且邻边相等 所以 AB DC AB BC 四边形 ABCD 为菱形 故选 B 解析 由 知两向量变化的距离相等 方向相同 所以四边形 ABCD 的对边 AB 与 AB DC CD 平行又相等 四边形 ABCD 为平行四边形 又 知这两个向量变化的距离相等 即 AB BC AB BC 所以平行四边形 ABCD 的邻边相等 四边形 ABCD 为菱形 故选 B 6 2014 西安模拟 设 a b 都是非零向量 下列四个条件中 使 成立的充分条件是 a a b b A a b B a b C a 2b D a b 且 a b 解析 1 选 C 表示与 a 同向的单位向量 表示与 b 同向的单位向量 只要 a 与 b 同 a a b b 向 就有 观察选择项易知 C 满足题意 a a b b 解析 表示的两个向量是相等的 即变化的距离相等 变化的方向相同 由于 a b 均 a a b b 为正数 根据数乘表示与 a 同向的单位向量 表示与 b 同向的单位向量 只要 a 与 b 同向 a a b b 就行了 只有 C 项表示 a 与 b 的方向相同 7 2013 江苏高考 设 D E 分别是 ABC 的边 AB BC 上的点 AD AB BE BC 若 1 2 1 2为 1 2 2 3 DE AB AC 实数 则 1 2的值为 解析 2 由题意作图如图 在 ABC 中 1 2 DE DB BE 1 2AB 2 3BC 1 2 1 2AB 2 3 AC AB 1 6AB 2 3AC AB AC 1 2 故 1 2 1 6 2 3 1 2 解析 先画图 问题的实质是将和作为基底 去表示 AB AC DE DE DB BE 1 2AB 2 3BC 1 2AB 2 3 AC AB 1 2 1 2 故 1 2 1 6AB 2 3AC AB AC 1 6 2 3 1 2 8 2013 重庆 5 分 在平面上 1 若 则 的 1 AB 2 AB 1 OB 2 OB AP 1 AB 2 AB OP 1 2 OA 取值范围是 A B 0 5 2 5 2 7 2 C D 5 2 2 7 2 2 解析 本题考查向量问题和圆中的最值问题 意在考查考生的转化化归以及逻辑思维能力 由题意得点 B1 B2在 以 O 为圆心的单位圆上 点 P 在以 O 为圆心半径为 的圆内 又 所以点 A 在以 1 2 1 AB 2 AB AP 1 AB 2 AB B1B2为直径的圆上 当 P 与 O 点重合时 最大 为 当 P 在半径为 的圆周上时 最小 为 故选 D OA 2 1 2 OA 7 2 答案 D 解析 本题是向量的表达转化为图形表达 1 点 B1 B2在以 O 为圆心的单位圆上 0 点 A 的坐标为 1 1 点 B 在抛物线 y x2上运动 点 Q 满足 经过点BQ QA Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M 点 P 满足 求点 P 的轨迹方程 QM MP 解析 本题中所给的是向量表示 应把其反译为几何表示 这里 0 几何表示为 B Q A 三点共线 且点 Q 在线段 BA 上 BQ QA 类似的 知 Q M P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上 且点 M 在线段 PQ 上 QM MP 以下是具体解法 由 知 Q M P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上 故可设 P x y Q x y0 M x x2 QM MP 则 x2 y0 y x2 即 y0 1 x2 y 再设 B x1 y1 由 即 x x1 y0 y1 1 x 1 y0 解得Error BQ QA 将 式代入 式 消去 y0 得 Error 又点 B 在抛物线 y x2上 所以 y1 x 再将 式代入 y1 x 得 1 2x2 1 y 1 x 2 2 12 1 1 2x2 1 y 1 2x2 2 1 x 2 2 1 x 1 y 1 0 因 0 两边同除以 1 得 2x y 1 0 故所求点 p 的轨迹方程为 y 2x 1 5 在 ABC 中 已知向量与满足 0 AB AC AB AB AC