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文档简介

1 巧用放缩法解题 放缩法是中学数学的常用解题技巧之一 特别适用于思维难度大 构造性强的题目 能全面而综合地考察学生的潜能和后续学习能力 本文归纳了运用放缩法解题的几种常 见情况 1 和三角形有关的放缩法 在和三角形有关的问题中 要用到三角形三个角的度数为正 且和为一个定值 再 结合放缩法解题 例 1 已知锐角三角形的三个内角度数为 A B C 并且满足 A B C 用 表示 A B B C 以及 90 A 中的最小者 则 的最大值是 分析 因为 A B C 是锐角三角形的三个内角度数 所以 A B B C 90 A 都大于 0 故 也大于 0 且不超过上面三个式子的值 利用这一点对 进行放缩 解 23 6 23 90 6 222703 6 270 6 ABBCA ABBCA ABC 因为 A B C 是三角形的三个内角度数 所以 A B C 180 所以原式 27018090 15 66 因此 的最大值是 15 小结 此题求的是 最小者 的最大值 充分体现了放缩法的灵活性 在解题过程 中 利用了三角形的内角和为 180 以及它们的非负性 从而得到答案 2 多个变量的放缩法 多变量的问题 由于变量较多且相互约束 学生解题时往往顾此失彼 感到难以入 手 这类问题有时可以用放缩法解决 例 2 已知 x y z 为 3 个非负数 且满足 3x 2y z 5 x y z 2 若 S 2x y z 则 S 的最大值与最小值的和为 A 5 B C D 23 4 27 4 35 4 2 分析 有多个未知数时 不可能对他们同时进行放缩 在这种情况下 一般先归结 为 1 个未知数 再对这 1 个未知数放缩 解 由已知 可得不定方程 小结 此题给了 3 个未知数 2 个方程 本质上是一个不定方程组 可以用一个未知 数表示其余 2 个未知数 从而把多个未知数的放缩归结为 1 个未知数的放缩 3 多重放缩法 有的问题不是一次放缩就能到位的 往往要经过多次放缩 在同一个题目中 这多 次放缩的原理往往是类似的 例 3 求方程的正整数解 1115 6xyz 分析 此题初看好像是一道解不定方程的题 有无数个解 但是 由于 x y z 都 是正整数 限定了范围 利用放缩法 结合正整数的离散型 可以得到此题的有限个数 的解 解 因为 x y z 都是正整数 3 同理 对 y 进行放缩 可得 3 y 6 因为 y 是正整数 所以 y 4 或 5 或 6 此 时相应的 x 值不难求出 当 x 3 时 同理可求得 y 3 或 4 z 值亦可求 综上 当 1 x y z 时 x y z 有 4 组解 2 4 12 2 6 6 3 3 6 3 4 4 由于 x y z 在原方程中的地位平等 将上面 x y z 的取值可以调换 实际上原 方程的解共有 15 组 小结 多元问题的解题途
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