指数函数习题精选精讲

指数函数指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数 有关指数函数的图象与性质的题目类型较多 同时也是学习后续数 学内容的基础和高考考查的重点 本文对此部分题目类型作了初步总结 与大家共同探讨 1 比较大小 例 1 已知函数满足 且 则与的大小关系是 2 f xxbxc 1 1 fxfx 0 3f x f b x f c 分析 先求的值再比较大小 要注意的取值是否在同一单调区间内 bc且 xx bc且 解 1 1 fxfx 函数的对称轴是 f x1x 故 又 2b 0 3f 3c 函数在上递减 在上递增 f x 1 且 1 且 若 则 0 x 321 xx 3 2 xx ff 若 则 0 x 321 xx 3 2 xx ff 综上可得 即 3 2 xx ff xx f cf b 评注 比较大小的常用方法有 作差法 作商法 利用函数的单调性或中间量等 对于含有参数的大小比较 问题 有时需要对参数进行讨论 2 求解有关指数不等式 例 2 已知 则x的取值范围是 2321 25 25 xx aaaa 分析 利用指数函数的单调性求解 注意底数的取值范围 解 22 25 1 441aaa 函数在上是增函数 2 25 xyaa 且 解得 x的取值范围是 31xx 1 4 x 1 4 且 评注 利用指数函数的单调性解不等式 需将不等式两边都凑成底数相同的指数式 并判断底数与 1 的大小 对 于含有参数的要注意对参数进行讨论 3 求定义域及值域问题 例 3 求函数的定义域和值域 2 16xy 解 由题意可得 即 2 160 x 2 61 x 故 函数的定义域是 20 x 2x f x 2 且 令 则 2 6xt 1yt 又 即 2x 20 x 2 061 x 01t 即 011t 01y 函数的值域是 01 且 评注 利用指数函数的单调性求值域时 要注意定义域对它的影响 4 最值问题 例 4 函数在区间上有最大值 14 则a的值是 2 21 01 xx yaaaa 且 11 且 分析 令可将问题转化成二次函数的最值问题 需注意换元后 的取值范围 x ta t 解 令 则 函数可化为 其对称轴为 x ta 0t 2 21 xx yaa 2 1 2yt 1t 当时 1a 11x 且 即 1 x aa a 1 ta a 当时 ta 2 max 1 214ya 解得或 舍去 3a 5a 当时 01a 11x 且 即 1 x aa a 1 at a 时 1 t a 2 max 1 1214y a 解得或 舍去 a的值是 3 或 1 3 a 1 5 a 1 3 评注 利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用 比如 换元法 整体代入等 5 解指数方程 例 5 解方程 22 3380 xx 解 原方程可化为 令 上述方程可化为 解得 2 9 3 80390 xx 3 0 x tt 2 98090tt 或 舍去 经检验原方程的解是 9t 1 9 t 39 x 2x 2x 评注 解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解 要注意验根 6 图象变换及应用问题 例 6 为了得到函数的图象 可以把函数的图象 935 x y 3xy A 向左平移 9 个单位长度 再向上平移 5 个单位长度 B 向右平移 9 个单位长度 再向下平移 5 个单位长度 C 向左平移 2 个单位长度 再向上平移 5 个单位长度 D 向右平移 2 个单位长度 再向下平移 5 个单位长度 分析 注意先将函数转化为 再利用图象的平移规律进行判断 935 x y 2 35 x t 解 把函数的图象向左平移 2 个单位长度 再向上平移 5 个单位长度 可 2 93535 xx y 3xy 得到函数的图象 故选 C 935 x y 评注 用函数图象解决问题是中学数学的重要方法 利用其直观性实现数形结合解题 所以要熟悉基本函数的图 象 并掌握图象的变化规律 比如 平移 伸缩 对称等 习题习题 1 比较下列各组数的大小 1 若 比较 与 2 若 比较 与 3 若 比较 与 4 若 且 比较a与b 5 若 且 比较a与b 分析 设 均为正数 则 即比较两个正数的大小 可比较它们的商与 1 的大小 掌握指 数函数的图象规律 还要掌握底的变化对图象形状的影响 这主要有两方面 其一是对 对 用语言叙述即在y轴右侧 底越大其图象越远离x轴 在y轴左侧 底越大 其 图象越接近x轴 这部分内容即本题 2 3 所说的内容 其二是当底均大于 1 时 底越大 其图象越接近y轴 当底均小于 1 时 底越小 其图象越接近y轴 一个便于记忆的方法是 若以离 1 远者为底 则其图象接近y轴 当 然这是指底数均大于 1 或均小于 1 这部分内容即本题 4 与 5 解 1 由 故 此时函数 为减函数 由 故 2 由 故 又 故 从而 3 由 因 故 又 故 从而 4 应有 因若 则 又 故 这样 又因 故 从而 这与已知 矛盾 5 应有 因若 则 又 故 这样有 又因 且 故 从而 这与已知 矛盾 小结 比较通常借助相应函数的单调性 奇偶性 图象来求解 2 1 指数函数 满足不等式 则它们的图象是 分析 此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性 再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线 解 由 可知 应为两条递减的曲线 故只可能是 或 进 而再判断 与 和 的对应关系 此时判断的方法很多 不妨选特殊点法 令 对应的函数值分别为 和 由 可知应选 2 曲线 分别是指数函数 和 的图象 则 与 1 的大小关系是 分析 首先可以根据指数函数单调性 确定 在 轴右侧令 对应的函 数值由小到大依次为 故应选 小结 这种类型题目是比较典型的数形结合的题目 第 1 题是由数到形的转化 第 2 题则是由图到数的翻译 它的 主要目的是提高学生识图 用图的意识 求最值 3 求下列函数的定义域与值域 1 y 2 2 y 4x 2x 1 1 3 1 x 解 1 x 3 0 y 2的定义域为 x x R 且 x 3 又 0 2 1 3 1 x 3 1 x 3 1 x y 2的值域为 y y 0 且 y 1 3 1 x 2 y 4x 2x 1 1 的定义域为 R 2x 0 y 4x 2x 1 1 2x 2 2 2x 1 2x 1 2 1 y 4x 2x 1 1 的值域为 y y 1 4 已知 1 x 2 求函数 f x 3 2 3x 1 9x的最大值和最小值 解 设 t 3x 因为 1 x 2 所以 且 f x g t t 3 2 12 故当 t 3 即 x 1 时 f x 取最大值 12 当9 3 1 t t 9 即 x 2 时 f x 取最小值 24 5 设 求函数 的最大值和最小值 分析 注意到 设 则原来的函数成为 利用闭区 间上二次函数的值域的求法 可求得函数的最值 解 设 由 知 函数成为 对称轴 故 函数最小值为 因端点 较 距对称轴 远 故函数的最大值为 6 9 分 已知函数在区间 1 1 上的最大值是 14 求a的值 1 12 2 aaay xx 解 换元为 对称轴为 1 12 2 aaay xx 1 12 2 at a tty 1 t 当 即x 1 时取最大值 略1 aat 解得 a 3 a 5舍去 7 已知函数 且 1 求 的最小值 2 若 求 的 取值范 围 解 1 当 即 时 有最小值为 2 解得 当 时 当 时 8 10分 1 已知是奇函数 求常数m的值 mxf x 13 2 2 画出函数的图象 并利用图象回答 k为何值时 方程 3 k无 13 x y 解 有一解 有两解 解 1 常数m 1 2 当k 0时 直线y k与函数的图象无交点 即方程无解 13 x y 当k 0或k1时 直线y k与函数的图象有唯一的交点 所以方程有一解 13 x y 当 0 k0 且 a 1 1 1 x x a a 1 求 f x 的定义域和值域 2 讨论 f x 的奇偶性 3 讨论 f x 的单调性 解 1 易得 f x 的定义域为 x x R 设 y 解得 ax ax 0 当且仅当 0 时 方程 有解 解 0 得 1 y1 时 ax 1 为增函数 且 ax 1 0 为减函数 从而 f x 1 为增函数 2 当 0 a 1 时 类似地可得 f x 为减函 1 2 x a1 2 x a1 1 x x a a 1 1 x x a a 数 15 已知函数f x a a R 12 2 x 1 求证 对任何a R f x 为增函数 2 若f x 为奇函数时 求 a 的值 1 证明 设x1 x2 f x2 f x1 0 21 21 22 2 21 12 xx xx 故对任何a R f x 为增函数 2 又f x 为奇函数xR 得到 即 0 0f 10a 1a 16 定义在 R 上的奇函数有最小正周期为 2 且时 xf 1 0 x 14 2 x x xf 1 求在 1 1 上的解析式 2 判断在 0 1 上的单调性 xf xf 3 当为何值时 方程 在上有实数解 xf 1 1 x 解 1 x R 上的奇函数 0 0 f 又 2 为最小正周期 0 1 1 12 1 ffff 设 x 1 0 则 x 0 1 14 2 14 2 xfxf x x x x 14 2 x x xf 2 设 0 x1 x21 的图像是 分析 本题主要考查指数函数的图像和性质 函数奇偶性的函数图像 以及数形结合思想和分类讨论思想 解法 1 分类讨论 去绝对值 可得 y 0 1 0 x a xa x x 又 a 1 由指数函数图像易知 应选 B 解法 2 因为 y a x 是偶函数 又 a 1 所以当 x 0 时 y ax是增函数 x 0 时 y a x是减函数 应选 B 学习指数函数定义的两个注意点 指数函数施我们学习的基本函数之一 对于指数函数的学习 概念非常重要 因此一定要弄懂指数函数的定义 指数函数的定义 函数叫做指数函数 其中 x 是自变量 函数定义域是 R 10 aaay x 且 注意点 1 为什么要规定呢 01aa 且 若 则当时 当当时 无意义 0a 0 x 0 x a 0 x x a 若 则对于的某些数值 可使无意义 如 这时对于 等等 在实数0a x x a x 2 1 4 x 1 2 x 范围内函数值不存在 若 则对于任何 是一个常量 没有研究的必要性 1a xR 1 x a 为了避免上述各种情况 所以规定 在规定以后 对于任何 都有意义 且 01aa 且xR x a0 x a 因此指数函数的定义域是 值域是 R 0 注意点 2 函数是指数函数吗 x y32 指数函数的解析式中 的系数是 1 x ya x a 有些函数貌似指数函数 实际上却不是 如 有些函数看起来不像指数 x yak 01aa 且kZ 函数 实际上却是 如 因为它可以化为 其中 且 x ya 01aa 且 1 x y a 1 0 a 1 1 a 以上两点在学习中经常会碰到 希望大家在学习中能引起注意 真正理解指数函数的定义 是的 又到春分时分 今日已是昼夜平分春色 这也意味着 我们的春天 转眼已经走到一半 不禁 有了些许淡淡的怅然 这岁序更迭啊 从来不会给任何人眷恋的机会 我们甚至来不及感叹 便匆匆走向 下一个节气 不经意间 我们走着走着 便把春天走成了姹紫嫣红 草长莺飞 此时正是 春风又绿江南岸 万紫千红总是春 是春风花草香 又把新桃换旧符 那些走过的时光 随手握一把 满是春天新鲜的味道 沁 满春日阳光的暖 这春风啊 总是来的那么急 那么声势浩荡 带着泥土松软的芳香 带着小河流水的哗哗声 还有桃花杏花梨花的艳 我们无需刻意寻芳 自有满眼的春色 惊艳了原本平淡的生活 这就是春天 无论走着 还是睡着 一抬头 就会遇见一树花开 一低眉 便会遇见一行青柳 那些匆匆擦肩的路人 已是换了薄薄的春衫 令你眼前一亮 心情也随之明媚起来 沿河缓缓行走 总会有姹紫嫣红的花事 与你撞个满怀 那小桃红 玉兰粉 梨花白 连翘黄 还有那些婀娜的柳丝 瞬间让时光变得柔软 而诗意 最喜欢 吹面不寒杨柳风 斜风细雨不须归 漫步柳堤 踏着柔软的土地 看风吹叶绿 看花开满枝 心儿也随风怒放 这轻轻杨柳风 这悠悠桃花水 如诗 如画 是否也会醉了你的眼 经年的淡定 昔日的重逢 漫过春天静好的光阴 让沧桑了无痕 走在繁花似锦的陌上 清风徐徐 莺声