数字图像处理第三版中文答案--冈萨雷斯

第二章 2 1 第二版是 0 2 和 1 5 1 5 的矩形 第三版是 0 3 和 1 5 圆形 对应点的视网膜图像的直径 x 可通过如下图题 2 1 所示的相似三角形几何 关系得到 即 0170 2 30 2 x d 解得 x 0 06d 根据 2 1 节内容 我们知道 如果把中央凹处想象为一个有 个 成像单元的圆形传感器阵列 它转换成一个大小成像单元的阵列 假 2 5327 设成像单元之间的间距相等 这表明在总长为 1 5 mm 直径 的一条线上有 655 个成像单元和 654 个成像单元间隔 则每个成像单元和成像单元间隔的大 小为 s 1 5 mm 1309 1 1 10 6 m 如果在中央凹处的成像点的大小是小于一个可分辨的成像单元 在我们可以认 为改点对于眼睛来说不可见 换句话说 眼睛不能检测到以下直径的点 即m d x 6 1011060 m d 6 10318 2 2 当我们在白天进入一家黑暗剧场时 在能看清并找到空座时要用一段时间 适应 2 1 节描述的视觉过程在这种情况下起什么作用 亮度适应 2 3 虽然图 2 10 中未显示 但交流电的却是电磁波谱的一部分 美国的商用交 流电频率是 77HZ 问这一波谱分量的波长是多少 光速 c km s 频率为 77Hz 因此 c v 2 998 108 m s 77 1 s 3 894 106m 3894 Km 2 5 根据图 2 3 得 设摄像机能看到物体的长度为 x mm 则有 500 x 35 14 解得 x 200 所以相机的分辨率为 2048 200 10 所以能解析的线对为 10 2 5 线对 mm 2 7 假设中心在 x0 y0 的平坦区域被一个强度分布为 的光源照射 为简单起见 假设区域的反 0 0 22 yyxx Keyxi 射是恒定的 并等于 1 0 令 K 255 如果图像用 k 比特的强度分辨率进行数字 化 并且眼睛可检测相邻像素间 8 种灰度的突变 那么 k 取什么值将导致可见 的伪轮廓 解 题中的图像是由 2 0 2 0 2 0 2 0 25501255 yyxxyyxx e ey xry xiy xf 一个截面图像见图 a 如果图像使用 k 比特的强度分辨率 然后我们有情况 见图 b 其中 因为眼睛可检测 4 种灰度突变 因此 k G21255 K 6 也就是说 小于 64 的话 会出现可见的伪轮廓 k G22564 k 2 2 9 a 传输数据包 包括起始比特和终止比特 为 N n m 10bits 对于一幅 2048 2048 大小的图像 其总的数据量为 故以 56K 波特的 NM 2 2048 速率传输所需时间为 min s MT4812987485600028204856000 2 b 以 3000K 波特的速率传输所需时间为 s MT981330000002820483000000 2 2 10 解 图像宽高比为 16 9 且水平电视线的条数是 1080 条 则 竖直电视线为 1080 16 9 1920 像素 线 由题意可知每场用 1s 的 1 60 则 每帧用时 2 1 60 1 30 秒 则该系统每 1 30 秒的时间形成一幅 1920 1080 分辨率的红 绿 蓝每个像素 都有 8 比特的图像 又因为 90min 为 5400 秒 故储存 90min 的电视节目所 需的空间是 s bits byte1000111006285400303819201080 1212 2 11 解 p和q如图所示 a 和不是4 邻接 因为q 不在集中 1 S 2 S pN4 b 和是8 连接 因为q 在集 1 S 2 S pN8 c 和是 m 连接 因为 q 在集合中 且没有 V 1 S 2 S pND qNpN 44 值的像素 2 12 提出将一个像素宽度的 8 通路转换为 4 通路的一种算法 解 找出一个像素点的所有邻接情况 将对角元素转化成相应的四邻接元素 如下图所示 2 13 提出将一个像素宽度的 m 通路转换为 4 通路的一种算法 解 把 m 通道转换成 4 通道仅仅只需要将对角线通道转换成 4 通道 由于 m 通道是 8 通道与 4 通道的混合通道 4 通道的转换不变 将 8 通道转换成 4 通道即可 如图所示 1 4 邻域关系不变 2 8 领域关系变换如下图所示 2 15 没答案 自己做的 看对不对 1 在 V 0 1 2 时 p 和 q 之间通路的 D4距离为 8 两种情况均为 8 D8 距离为 4 Dm距离为 6 2 在 V 2 3 4 时 p 和 q 之间通路的 D4距离为 D8距离为 4 Dm距离 为 5 p 和 q 之间不存在 4 邻接路径 因为不同时存在从 p 到 q 像素的 4 毗邻像素 和具备 V 的值 情况如图 a 所示 p 不能到达 q 2 16 解 a 点 p x y 和点 q s t 两点之间最短 4 通路如下图所示 其中假设所有点 沿路径 V 路径段长度分别为 由 D4 距离的定义可知 通路总tysx 和 长度 X S Y T 这个距离是独立于任何点之间可能存在的任何路径 显然 距离是等于这两点间的最短 4 通路 所以当路径的长度是 满足 4 D tysx 这种情况 b 路径可能未必惟一的 取决于 V 和沿途的点值 2 18 由公式 H f x y g x y 2 6 1 让 H 表示相邻的和操作 让和表示两个不同子图像区的小值 并让 1 S 2 S 1 S 表示相应的总数和像素 如在 2 5 4 节里的解释 注意到附近的大小 即 2 S 1 S 2 S 像素数字 并没有随着这总和的改变而改变 H 计算像素值是一个给定的区域 然后 21 bSaSH 意味着 1 在每个子区域里乘像素 2 从到每个像素值相加 首先产生一个单独的子区域 1 aS 2 bS 3 在单独的子图像区域里计算所有像素值的和 让和表示两个任意 但 1 ap 2 ap 相应的 像素 21 bSaS 然后我们可以依据 Eq 2 6 1 表明 H 是一个线性算子 2 19 两个版本答案 一个意思 1 中值 表示 数集的一半数值比它大 另一半比它小 一个简单的例子能够表明 Eq 2 6 1 的平均算子操作 让 S1 1 2 3 S2 4 5 6 a b 1 在这种情况下 H 是平均算子 然后有 H S1 S2 中值 5 3 9 5 S1 S2 是 S1 和 S2 的和 接下来 计算 H S1 中值 1 2 3 1 和 H S2 中值 4 5 6 5 然后 从 H aS1 bS2 aH S1 bH S2 因此 子图像区域 S 中值的算子是非线性 的 2 2 20 因为 y xy xfy xg 1 1 K i i g x ygx y K 1 1 K i i Eg x yEgx y K 1 1 K ii i Efx yx y K 11 11 KK ii ii Efx yEx yfx y KK 22 1 1 K i i g x yg x y K 2 2 1 1 K ii i fx yx y K 222 22 11 111 KK ii ii fx yx y KKK 2 23 没答案 看看做的对不对 a 为 A 的补集 b CBA CBACACBBA 2 CBBABCA 2 24 看看翻的对不对 答 使用三角区即三个约束点 所以我们可以解决以下的系数为 6 的线性方程 组 654 321 cycxcy cycxcx 实施空间变换 插值强度可使用 2 4 4 节的方法 2 25 看看翻的对不对 傅里叶变换核是可分的 因为 v yru xreeev u y xr N vyjM uxjN vyM uxj 21 222 傅里叶变换核是对称的 因为 v yru xreee N vyjM uxjN vyM uxj 11 222 2 26 看看翻的对不对 由可分离变换核的定义知其中 当 x 值固定时 可看作 f x y 某一行的一维变换 当 x 从 0 变换到 M 1 时计算 出整个数组 T x v 然后 通过替换这个数组的最后一行以前的方程我们可 以得到 T x v 按列的一维变换 也就是说 当一个图像是内核可分的 我们 可以计算图像沿行的一维变换 然后我们计算中间的一列得到最终的二维变换 T u v 这和先计算列的一维变换再计算中间行得到二维变换最终结果是相同的 从式 2 6 33 二维傅里叶变换是由 它很容易验证 傅立叶变换核是可分离的 参见题 2 25 所以我们可以写这个 方程 是沿着 f x y 行的一维傅里叶变换 X 0 1 M 1 第三章 a 由 得 2 Kr AerTs 3 2 0 AAe KL 3 1ln 2 0 KL 2 0 0986 1 LK 2 2 0 0986 1 r L AerTs b 由 得 4 1 2 0 Be KL B 4 3ln 2 0 KL 2 0 2877 0 LK 1 2 2 0 2877 0 r L eBrTs c 3 4 逐次查找像素值 如 x y 0 0 点的 f x y 值 若该灰度值的 4 比特的第 0 位是 1 则该位置的灰度值全部置 1 变为 15 否则全部置 0 变为 0 因此第 7 位平面 0 7 置 0 7 15 置 1 第 6 位平面 0 3 4 7 置 0 8 11 12 15 置 15 依次对图像的全部像素进行操作得到第 0 位平 面 若是第 i 位平面 则该位置的第 i 位值是 0 还是 1 若是 1 则全置 1 变为 15 若是 0 则全置 0 设像素的总数为 n 是输入图像的强度值 由 rk 对应 sk 所以 由 和得由此 得知 第二次直方图均衡化处理的结果与第一次直方图均衡化处理的结果相同 这里我们假设忽略不计四舍五入的误差 3 11 dwwpzGv z z 0 5 004 15 044 ww ww z wp 5 002 15 0221 0 2 2 zz zzz z z dwwpzGv 令得vs 所以 5 010 2 2 15 01 2 1 2 2 5 0 2 2 12 5 0 1 2 2 r rr r rr v v vGz 3 12 第 k 个点邻域内的局部增强直方图的值为 Pr rk nk n k 0 1 2 K 1 这里 nk是灰度级为 rk的像素个数 n 是邻域内像 素的总个数 k 是图像中可能的灰度级总数 假设此邻域从左以一个像素为步 长向右移动 这样最左面的列将被删除的同时在后面又产生一个新的列 变化 后的直方图则变成 k 0 1 2 K 1 这里 nlk是灰度级 rk在左面的列出现的次数 nrk则为在右面出现的次数 上式 也可以改写成 k 0 1 2 K 1 同样的方法也适用于其他邻域的移动 这里 ak是灰度级 rk在邻域内在移动中被删除的像素数 bk则是在移动中引入的 像素数 k 0 1 2 K 1 上式等号右边的第一项为 0 因为 f 中的元素均为常数 变量是噪声的简 单抽样 它的方差是 因此 并且我们可以得到 上述过程证明了式的有效性 2 2 1 yx yxg K A 中值是的最大值 2 1 2 n B 一旦中值被找出 我们简单的删除邻域边缘的值 在合适的位置插入合 适的值 旋转前坐标的拉普拉斯定义为 旋转后坐标的拉普拉斯定义为 2 2 2 2 2 y f x f f 现在给出 其中 2 2 2 2 2 y f x f f cossinsincos yxyyxx 和 指轴旋转的角度 若想证明拉普拉斯变换是各向同性的 只需证明 首先 2 2 2 2 2 2 2 2 y f x f y f x f sincos y f x f x y y f x x x f x f 两边对求导得 x 1 2 2 2 2 2 2 2 2 sinsincos cossin cos y f x f yy f xx f x f 同理可得 cossin y f x f y y y f y x x f y f 两边对求导得 y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sinsincos cossin cos y f x f yy f xx f y f 1 和 2 式相加得 所以拉普拉斯变换是各向同 2 2 2 2 2 2 2 2 y f x f y f x f 性的 3 28 使用式 3 6 6 给出的拉普拉斯定义 证明从一幅图像中减去相应的拉 普拉斯图像等同于对图像进行非锐化模板处理 3 6 6 4 1 1 1 1 2 yxfyxfyxfyxfyxff 考虑到下列公式 其中是预先确定的临域的平均数 更确切的说就是以为中 yxf yxf yx 心并且包括中心像素以及四个相邻像素 把上面的等式的最后一行的常量视为 均衡因子 或比例因子 我们可以写出 2 yxfyxfyxfyxf 等式的右端就是等式给出的非锐化掩膜处理的定义 yxfyxfyxfs 因此验证了从一幅图像中间取相应的拉普拉斯图像等同于对图像做非锐化掩膜 处理 3 29 题 2 1222 122 f y f x f GGmagf yx 3 6 11 yx GGf 3 6 12 a 由 和 sincos y f x f x f cossin y f x f y f 或 2 2 2 2 2 2 2 2 y f x f y f x f 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 y f x f y f x f 因此 我们看到的梯度向量的模值是一种各向同性梯度算子 b 从上面的结果得 x f Gx y f Gy sincos y f x f x f Gx cossin y f x f y f Gy 显然得到 yxyx GGGG 4 1 重复例 4 1 但是用函数和 对于其他所有 2 4 4 f tAWW 0f t 的 t 值 对你的结果和例子中的结果之间的任何不同 解释原因 解 2 2 4 4 4 2 4 22 22 2 sin 2 2 sin 2 sin 2 2 jt W jt W W jt W jWjW jWjW jj Ff t edt Aedt A e j A ee j A ee j ee j AW F W AW W 傅立叶变换的幅值是不变的 由于周期不同 4 2 证明式 4 4 2 中的 2 2 2 2 jt jt n jt n jn Tt n n Ff t edt f ttn T edt f ttn T edt f e 在两个方向上是无限周期的 周期为 F 1 T 证明 1 要证明两个方向上是无限周期 只需证明1 T 根据如下式子 可得 其中上式第三行 由于 k n 是整数 且和的极限是关于原点对称 2 同样的需要证明 根据如下式子 2 2 2 2 jt jt n jt n jn Tt n n Ff t edt f ttn T edt f ttn T edt f e 可得 其中第三行由于 k n 都为整数 所以 2 1 jkn e 4 3 可以证明 Brancewell 2000 1 1 tt 和 使用前一个性质和表 4 3 中的平移性质 证明连续函数的傅立 cos 2 f tnt 叶变换是 其中是一个实数 1 2Fnn 证明 根据一维傅里叶变换公式 可得 dteedtee dteee dtent dtetf utjntjutjntj utjntjntj utj utj 2222 222 2 2 2 1 2 1 2 1 2cos F u 根据傅里叶变换性质可得 根据一个常数 f t 1 的傅里叶变换是一个脉冲响应可得 所以可得如下两个等式 2 2 1 1 jnt jnt en en 所以 2 1 F u nunu 4 4 考虑连续函数 cos 2 f tnt a 的周期是多少 b 的频率是多少 f t f t a 根据 所以周期为22nt 1 tn b 频率为 给定的正弦波的连续傅立叶变换如在图 P4 4 a 见习题n 4 3 采样数据 示出了几个期间 的变换所示的一般形式的如图 P4 4 b 虚线框是一个理想的过滤器 将允许重建如果该正弦函数进行采样 采样定 理满意 4 8 解 a 根据正交性 将式 4 4 5 直接代入式 4 4 4 得 最后一步是根据问题的陈述中给出的正交条件 将式 4 4 4 代入式 4 6 5 应用同 样的过程生成的相似特性 n f b 如上小题 根据正交性 将式 4 4 7 直接代入式 4 4 6 得 最后一步是根据问题的陈述中给出的正交条件 将式 4 4 6 代入式 4 6 7 应 用同样的过程生成的相似特性 f x 4 9 证明式 4 4 8 和式 4 4 9 的正确性 F ukMF u f xkMf x 证明 1 证明等式 k0 1 2 F ukMF u 将代入 4 4 6 式 uukM 1 2 0 0 1 2 1 M jux M n F uf x euM 1 2 0 1 2 2 0 F u M ju kM x M n M jux Mjkx n F ukMf x e f x ee 最后一步因为 k 和 x 都是整数 2 1 jkx e 2 同理可以对 4 4 9 式周期性的证明 将代入 4 4 7 式uukM 1 2 0 1 0 1 2 1 M jux M n f xF u euM M 1 2 0 1 2 2 0 1 1 M ju kM x M n M jux Mjkx n f xkMF u e M F u ee M f x 4 10 证明一个变量的离散卷积定理的正确性 见式 4 2 21 式 4 2 22 和式 4 2 10 证明 证明卷积定理等价于证明 F u H u f xh x 和 F u H u f x h x 从式 4 4 10 1 0 M m f xh xf m h xm 和式 4 4 6离散傅里叶变换的定义 得 1 2 0 0 1 2 1 M jux M n F uf x euM 到 11 2 00 11 2 00 1 2 0 1 2 0 H u H u H u MM jux M xm MM jux M mx M jum M m M jum M m f xh xf m h xm e f mh xm e f me f m e F u 同理可以证明 F u H u f x h x 11 12 00 11 2 00 1 2 0 1 2 0 MM jux M xm MM jux M mx M jum M m M jum M m F uH uF m H tm e F mH tm e F m h x e h xf m e h x f x 4 11 写出二维连续卷积的表达式 对 4 2 20 式进行卷积运算得到 f t z h t z fh tzd d 4 14 证明一维连续和离散傅里叶变换都是线性操作 解 若连续傅里叶变换 是线性的 只需证明 代入傅立叶变换定义 其中第二步由于积分的分配率 同样的 离散傅里叶变换 4 16 证明连续和离散傅里叶变换都是平移和旋转不变的 证明 平移不变 根据二维离散傅立叶变换 可得 旋转不变 根据二维离散傅立叶反变换 4 19 证明离散函数的DFT是 00 cos 22f x yu xv y 0000 1 2 F u vuMu vNvuMu vNv 证明 根据欧拉公式 0000 00 00 11 2 00 00 11 222 00 11 2 2 00 1 2 2 00 cos 22 1 2 1 2 1 2 MN jux Mvy N xy MN ju x v yju x v yjux Mvy N xy MN jMu x MNv y Njux Mvy N xy MN jMu x MNv y Njux Mvy N xy F u vu xv y e eee ee ee 0000 1 2 2 0000 11 11 22 1 2 jMu x MNv y NjMu x MNv y N ee uMu vNvuMu vNv 其中最后一步由于 根据DFT平移性 1 u v 00 2 00 1 ju x Mv y N euu vv 4 29 找出一个等价的滤波器 在他的频率域实现使用图 3 37 a 中拉普 H u v 拉斯模版执行的空间操作 解 滤波后的函数为 1 1 1 14 g x yf xyf xyf x yf x yf x y 又因为 其中 G u vH u v F u v 将滤波器变换为频率中心对称 当 变换后滤波器中心 时 对于远离中心的 2 2 2u vMN 0H u v 值 降低 重要的一点这是一个高通滤波器的特性 消除了直流分量 H u v 留下了高频分量 4 33 解 共轭复数只是从 j 变成了 j 在逆变换中 所以右边的图像可以通过下述过程求 出 11 2 00 11 2 00 1111 2 2 1 0000 1 1 1 1 1 1 x y MN x y jux Mvy N xy MN x y jux Mvy N xy MNMN x y jux Mvy Njux Mvy N uvxy x y af x y bF u vf x y e cFu vf x y e dFFu vf x y ee MN fxy e 实部为 结果为 11 x yx y fxyfxy 可以知道整个过程只是将上下左右颠倒 从而产生了右边的图像 f x y 4 39 解 a 以卷积的形式给出滤波表达式 来减少空间域的处理过程 然后滤波后的图 像由下式给出 其中 h 是空间滤波函数 f 是输入图像 直方图处理结果为 T 表示直方图均衡化 如果先进行直方图均衡化 再 与 总体来说 T 是由图像像素的属性决定的非线性的函数 因此 并且先后顺序是有影响的 b 正如在第 4 9 节 高通滤波严重削弱了图像的对比度 虽然高频率的改进一 些 但并不显著 见图 4 59 因此 如果对一个图像先直方图均衡化 均衡化 中对对比度的改进会在滤波过程中严重损失 因此 该过程一般是先滤波再直 方图均衡化 4 41 证明 因为 我们可以写出等式 4 11 16 和 4 11 17 分别为 与 用归纳法证明开始显示两个方程对于 n 1 成立 与 1 12 11 2 m 12 12a 我们从 4 11 3进 行讨论的部分中知道这些结果是正确的 然后我们假定方程对于 n 成立 那么 可以得出方程对于 n 1 也成立 从等式 4 11 14 中 将 m n 从上式替换得到 因此 等式 4 11 16 对所有的 n 都成立 从等式 4 11 17 中 将 a n 从上式替换得到 则证明了等式成立 第五章 5 12 给出与表4 6中带阻滤波器对应的高斯和巴特沃斯带通滤波器的公式 一个带通滤波通过从相应的带阻滤波而获得 然后 a 理想带通滤波 b 巴特带通滤波 c 高斯带通滤波 5 13 以式 4 10 5 的形式给出高斯 巴特沃斯和理想陷波带阻滤波器的公 式 带阻滤波器公式可以通过带通滤波器的公式得到 两者的和为1 1 vuHvuH bpbr a 理想陷波带阻滤波 0 1 vuH b 巴特沃斯带阻滤波 1 巴特沃斯带通 巴特带通滤波 c 高斯带阻滤波 1 高斯带通滤波 高斯带通滤波 5 14 二维连续余弦函数的傅里叶变换 其他 02 01 u DvDDvuD 或 dxdyeyvxuA dxdyeyxfvuF vyuxj vyuxj 2 00 2 cos 余弦的变换 2 1 cos ji ee 带入得到 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0000 0000 dxdyee A dxdyee A dxdyeee A vuF vyuxjyvxujvyuxjyvxuj vyuxjyvxujyvxuj 这些都是傅里叶变换的功能 并且 结果变换成 即可 2 2 2 2 2 0000 v v u u v v u u A vuF 5 16 从例子 5 5 13 即因此 得出 当 这是一个持续的形式 一个高斯密度方差 或者 减去的整体从无限数量的加上括号里面是1 因此 这是一个模糊的版本的原始图像 5 21解决这一问题的关键是下面的函数 其中 是此函数的拉普拉斯 对r的二次导数 那是 等于给定的函数 然后我们知道从式4 4得到函数f x y 因此 我们简化了求高斯函数中的傅里叶变换 从表格4 1中 我们 从高斯 对可以得到函数的傅里叶变换 其变换形式是 因此 退化函数的傅里叶变换是 5 22 这是一个简单的扩展问题 它的目的是为了熟悉维纳滤波器的各种条件 从式 5 8 3得 其中 然后 5 23 从式5 9 4得 其中 P u v 是拉普拉斯算子的傅氏变换 这是至于这个问题 我们可以合理地 解答 拉普拉斯算子的变换的表达式通过问题4 19中得到的 然而 对P u v 的代替 这只会增加滤波器的要求 并且不会简化表达式 5 24 因为这个系统是假定的线性和位置不变 因此可以用式子5 5 17 举行 此外 我们可以用叠加问题 得到了系统响应的F u v 和N u v 两个响应的和是完整 的响应 首先 仅用F u v 然后 仅仅用N u v 所以 第六章 6 1 给出用于产生图 6 5 中标为 日光 的点的红光 绿光 蓝光的百分比 从图中可知 x 0 31 y 0 32 由 x y z 1 可得 z 0 37 这是三色值系数 我们感兴趣的是三色值 XYZ 由他们的变换公式 x X X Y Z y Y X Y Z z Z X Y Z 可知他们的比例是相同的 故可得 X 0 31 Y 0 32 Y 0 37 6 2 用 c 表示给定的颜色 并且给出它的坐标 用 x0 y0 表示 c 和 c1 之间 的距离以及 c1 和 c2 的距离分别为 c1 占 c 的百分比表示为 c2 的百分比用 p2 表示 p2 100 p1 由上面的等式我们知道 作为例子 当 c c1 时 那么 d c c1 0 并且 p1 100 p2 0 同样当 d c c1 d c1 c2 时 p1 0 p2 1