曲线运动--平抛和圆周运动专题

V V y y x x S S O O x x x x2 2 V Vy y V V0 0 V Vx x V V0 0 P P x xy y 曲线运动曲线运动 曲线运动包括平抛运动 类平抛运动 圆周运动等知识 主干知识整合主干知识整合 一 曲线运动 曲线运动的速度方向一定改变 所以是变速运动曲线运动的速度方向一定改变 所以是变速运动 1 物体做曲线运动的条件 F合与v不在同一直线上 力运动性质加速度实例 F合恒定做匀变速曲线运 动 g 恒 平抛 斜抛运动属匀变速曲线运动 F合不恒 定 做非匀变速曲线 运动 A 变化 a 方向一定变 一切圆周运动均为变速曲线运动 2 做曲线运动的物体受的合力总是指向曲线凹的一侧 或表述为轨迹必须夹在力和速度的 夹角 二 抛体运动 1 平抛运动 以一定的水平初速度将物体抛出 在只受重力的情况下 物体所做的运动 平抛运动的规律 平抛运动的处理方法是将其分解为水平方向和竖直方向的两个分运动 1 水平方向 做匀速直线运动 vx v0 x vot 2 竖直方向 做自由落体运动 vy gt y gt2 1 2 3 任意时刻位移 22 yxx 0 2 tan gt x y 4 任意时刻速度 22 0 22 gtvvvv yx 0 tan y x v gt v 2 平抛运动的两个重要推论 1 做平抛 或类平抛 运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移 的中点 2 做平抛或类平抛运动的物体在任意时刻 任意位置处设其瞬时速度与水平方向的夹角 为 位移与水平方向的夹角为 则有 tan 2tan 3 类平抛运动 以一定的初速度将物体抛出 如果物体受的合力恒定且与初速度方向垂直 则物体所做的运动为类平抛运动 类平抛运动的公式 三 圆周运动三 圆周运动 1 描述圆周运动的物理量 物理量大小方向物理意义 线速度 v x t 2 r T 圆弧上各点的 切线方向 描述质点沿圆周运 动的快慢 角速度 t 2 T 中学不研究其 方向 周期 频率 T 1 f 2 r v 无方向 向心加速度a 时刻指向圆心 描述线速度方向改变 的快慢 相互关系a 同一转轴物体上各点的角速度相等 皮带传动轮子边缘各点的线速度相等 2 圆周运动及其临界问题 圆周运动及其临界问题 竖直面内圆周运动的两种临界问题的比较 v 称为临界速度 gr 最高点无支撑 最高点有支撑 实例球与绳连接 水流星 翻滚过山车 球与杆连接 车过拱桥 球过竖直管道 套 在圆环上的物体等 图示 在最高 点受力 重力 弹力F弹向下或等于零 mg F弹 m v2 R 重力 弹力F弹向下 向上或等于零 mg F弹 m v2 R 恰好过 最高点 F弹 0 mg m v 即在最高 v2 RRg 点速度不能为零 v 0 mg F弹在最高点速度可为零 3 向心力来源向心力来源 向心力可以由重力 弹力 摩擦力等各种性质的力提供 也可以是 各力的合力或某力的分力提供 命名命名 向心力是按力的作用效果来命名的 故在分析做圆周运动的物体受力时 切不可 在性质力之外再添加一个向心力 4 处理圆周运动的动力学问题的步骤 首先要明确研究对象 对其受力分析明确向心力的来源 确定其运动轨道所在的平面 圆心的位置以及半径 将牛顿第二定律应用于圆周运动 得到圆周运动中的动力学方程 有以下各种情况 F m mr 2 mv mr 4 2mrf2 解题时应根据已知条件进行选择 v2 r 4 2 T2 知识网络 二 动能定理二 动能定理 1 内容 合外力对物体所做的功等于物体动能的该变量合外力对物体所做的功等于物体动能的该变量 2 公式 W 总总 mv22 2 mv21 2 3 关于动能定理 1 动能定理求恒力或者变力做功 2 动能定理对应的是一个过程 并且它只涉及到物体初末状态的动能和整个过程中合外 力的功 不涉及物体运动过程中的加速度 时间和中间状态的速度 动能 因此用它处理 问题比较方便 3 一个物体所进行的复杂的运动往往是由若干个过程或阶段组合而成 对于一个多过程 问题 若不需要计算过程与过程间的各物理量时 可优先考虑用整体的方法对全过程用动 能定理 4 动能定理中的外力包含一切外力 含重力和弹簧弹力 外力总功的计算 先求出合外力 再利用计算功 此时应是合外力与位移 s 间的夹角 cosWF s 合 先分别求出各个外力的功 再求各个外力功的代数和 即 12 WWW n W 5 动能是标量 只有大小 没有方向 精选练习精选练习 运运动动的的合合成成和和分分解解 平 平行行四四边边形形法法则则合合成成与与分分解解的的法法则则 合合运运动动与与分分运运动动的的关关系系 平平抛抛运运动动 仅仅受受重重力力初初速速度度水水平平平平抛抛运运动动的的条条件件 竖竖直直方方向向自自由由落落体体运运动动水水平平方方向向匀匀速速运运动动研研究究方方法法 规规律律 离离心心现现象象等等汽汽车车过过拱拱桥桥飞飞机机拐拐弯弯自自行行车车火火车车应应用用实实例例 圆圆周周运运动动的的临临界界条条件件 曲曲 线线 运运 动动 匀匀速速圆圆周周运运动动 22 2 12 22 gttyx S V0 1 VXV0 X t V0 gt Vy 2 2gt y 轻轻绳绳束束缚缚 Rg minV 0 min轻轻杆杆束束缚缚V 有有关关物物理理量量及及其其关关系系 2 f V 2 T 2 f rrr 2 a r V r 4 2f r T 4 2 2r 2 2 F ma m V r m 2r m 4 2f r 2 T 4 2 2r m m V 2 21 f tt V S T T 独独立立性性 等等效效性性 等等时时性性 v 1 如图 8 所示 空间有一水平匀强电场 在竖直平面内有初速度为 V0 的带电微粒 沿图中虚线由 A运 动到 B 其能量变化情况是 A 动能减少 重力势能增加 电势能减少 B 动能减少 重力势能增加 电势能增加 C 动能不变 重力势能增加 电势能减少 D 动能增加 重力势能增加 电势能减少 2 如图所示 用绝缘细线拴住一带正电小球 在方向竖直向上的匀强电场中的竖直平面内做圆周运动 则正确的说法是 A 当小球运动到最高点 a 时 线的张力一定最小 B 当小球运动到最低点 b 时 小球的速度一定最大 C 小球可能做匀速圆周运动 D 小球不可能做匀速圆周运动 3 3 光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道 俯视如图所示 一个小球以一定速度沿轨道切线方 向进入轨道 以下关于小球运动的说法中正确的是 A 轨道对小球不做功 小球的角速度不断增大 B 轨道对小球做正功 小球的角速度不断增大 C 轨道对小球做正功 小球的线速度不断增大 D 轨道对小球不做功 小球的线速度不断增大 4 图 6 中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线 虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运 动轨迹 a b 是轨迹上的两点 若带电粒子在运动中只受电场力作用 根据此图可作出正确判断的是 A 带电粒子所带电荷的符号 B 带电粒子在 a b 两点的受力方向 C 带电粒子在 a b 两点的速度何处较大 D 带电粒子在 a b 两点的电势能何处较大 5 如图 一很长的 不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮 绳两端各系一小球 a 和 b a 球质量为 m 静置 于地面 b 球质量为 3m 用手托住 高度为 h 此时轻绳刚好拉紧 从静止开始释放 b 后 a 可能达到的最大 高度为 A h B 1 5h C 2h D 2 5h 试题解析试题解析 b 到达地面时 由机械能守恒定律得 所以 B 落地后 a 仍继续上升 由机 2 3 2 1 3vmmmghmgh ghv 械能守恒定律又得 故 a 可能达到的最大速度为 2 2 1 mvhmg hhh5 1 高考考点高考考点 机械能守恒定律的应用 竖直上抛运动 易错提醒易错提醒 不能正确分析 b 球落地后 a 球的运动情况 曲线运动的综合问题曲线运动的综合问题 6 如图所示 水平屋顶高 H 5m 墙高 h 3 2m 墙到房子的距离 L 3 m 墙外马路宽 s 10m 小球从房 顶水平飞出落在墙外的马路上 求小球离开屋顶时的速度 取 g 10m s2 解析 设球刚好越过墙时 此时球水平初速度为 v1 则 H h gt12 2 t1 ghH 2 L v1t1 得 v1 5m s 设球越过墙刚好落在马路右边 此时球水平速度为 v2 则 H gt22 2 t2 gH 2 L s v2t2 得 v2 13m s 小球离开屋顶时的速度 5m s v 13m s 7 如图 一小球自平台上水平抛出 恰好落在临近平台的一倾角为 53 的光滑斜面顶端 并刚好沿光 滑斜面下滑 已知斜面顶端与平台的高度差 h 0 8m 重力加速度 g 10m s2 sin53 0 8 cos53 0 6 求 小球水平抛出的初速度 v0是多少 斜面顶端与平台边缘的水平距离 s 是多少 若斜面顶端高 H 20 8m 则小球离开平台后经多长时间 t 到达斜面底端 解析 解析 1 由题意可知 小球落到斜面上并沿斜面下滑 说明此时小球速度方向与斜面平行 否则小球 会弹起 所以 vy v0tan53 vy2 2gh 代入数据 得 vy 4m s v0 3m s 2 由 vy gt1得 t1 0 4s s v0t1 3 0 4m 1 2m 3 小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度 a mgsin53 m 8m s2 初速度 5m s vt2 a t22 02 y2 H sin53 1 2 代入数据 整理得 4t22 5t2 26 0 解得 t2 2s 或 t2 s 不合题意舍去 所以 t t1 t2 2 4s 13 4 8 在冬天 高为 h 1 25m 的平台上 覆盖了一层冰 一乘雪橇的滑雪爱好者 从距平台边缘 s 24m 处以 一定的初速度向平台边缘滑去 如图所示 当他滑离平台即将着地时的瞬间 其速度方向与水平地面的夹 角为 45 取重力加速度 g 10m s2 求 1 滑雪者着地点到平台边缘的水平距离是多大 2 若平台上的冰面与雪橇间的动摩擦因数为 0 05 则滑雪 者的初速度是多大 解析 1 把滑雪爱好者着地时的速度 vt 分解为如图所示的 v0 vy 两个分量 由 2 2 1 gth 解得 t 0 5s 0 h 53 s 0 h 53 s 0 y h s v 则 vy gt 5m s 又 vy v0tan45 解得 v0 5m s 着地点到平台边缘的水平距离 x v0t 2 5m 2 滑雪者在平台上滑动时 受到滑动摩擦力作用而减速运动 由动能定理得 22 0 2 1 2 1 mvmvmgs 解得 v 7m s 即滑雪者的初速度为 7m s 9 如图所示 位于竖直平面上的 1 4 圆弧光滑轨道 半径为R OB沿竖直方向 上端A距地面高度为 H 质量为m的小球从A点由静止释放 最后落在水平地面上C点处 不计空气阻力 求 1 小球运动到轨道上的B点时 对轨道的压力多大 2 小球落地点C与B点水平距离s是多少 10 综合题综合题 滑雪者从高坡雪道上的A点由静止自由滑下 雪道的BC段为水平 CE段为倾角为 37 的斜 坡 滑雪者滑下从C点水平飞出后落在斜坡上 已知斜坡上C D间距为l1 12 m D E间距为l2 36 m 从A到C克服摩擦力做功等于重力做功的K倍 K 0 20 不计空气阻力 为了能落在坡上 DE 之间 滑雪者开始滑下的 A 点距 BC 水平面的高度h应满足什么条件 答案要求保留二位有效数字 sin 37 0 6 cos37 0 8 11 能力题能力题 如图所示 ABC和ABD为两个光滑固定轨道 A B E在同一水平面 C D E在同一竖直 线上 D点距水平面的高度h C点高度为 2h 一滑块从A点以初速度v0分别沿两轨道滑行到C或D处后 水平抛出 1 求滑块落到水平面时 落点与E点间的距离 sC和sD 2 为实现 sC sD v0应满足什么条件 12 2004 北京 安徽春季 如图 abc 是光滑的轨道 其中 ab 是水平的 bc 为与 ab 相切的位于竖直平 面内的半圆 半径 R 0 30m 质量 m 0 20kg 的小球 A 静止在轨道上 另一质量 M 0 60kg 速度 m s 的小球 B 与小球 A 正碰 已知相碰后小球 A 经过半圆的最高点 c 落到轨道上距 b 点为 5 5 0 处 重力加速度 g 10m s 求 Rl24 2 R R A AB B a a b b c c 1 碰撞结束时 小球 A 和 B 的速度的大小 2 试论证小球 B 是否能沿着半圆轨道到达 c 点 13 如图 1 3 4 所示 小球沿水平面通过 O 点进入半径为 R 的半圆弧轨道后恰能通过最高点 P 然后 落回水平面 不计一切阻力 下列说法正确的是 A 小球落地点离 O 点的水平距离为 R B 小球落地点离 O 点的水平距离为 2R C 小球运动到半圆弧最高点 P 时向心力恰好为零 D 若将半圆弧轨道上部的圆弧截去 其他条件不变 则小球能达到的最 大高度比 P 点高 14 2005 广东高考 如图 4 2 6 所示 半径 R 0 40 m 的光滑半圆环轨道处于竖直平面内 半圆环与粗糙的 水平地面相切于圆环的端点 A 一质量 m 0 10 kg 的小球 以初速度 v0 7 0 m s 在水平地面上向左做加速度 a 3 0 m s2的匀减速直线运动 运动 4 0 m 后 冲上竖直半圆环 最后小球落在 C 点 求 A C 间的距离 取 g 10 m s2 图 4 2 6 解析 解析 小球在水平地面向左匀减速运动 4 0 m 过程中 有 va2 v02 2as 小球恰好能到最高点 B 应满足 mg m解出 vm 2 m s R vm 2 假设物体能到达圆环的最高点 B 由机械能守恒 mvA2 2mgR mvB2 2 1 2 1 联立 可得 vB 3 m s 因为 vB vm 所以小球能通过最高点 B 小球从 B 点做平抛运动 有 2R gt2 2 1 sAC vB t 由 得 sAC 1 2 m 答案 答案 1 2 m 点评 点评 本题是一道多物理过程的综合题 其中有匀减速直线运动 圆周运动以及平抛运动 对于此类问题 往往是先找出各个子过程并抓住衔接相邻子过程的物理状态 然后应用相关的知识求解 15 如图所示 半径为 R 内径很小的光滑半圆管竖直放置 两个质量均为 m 的小球 A B 以不同的速度 进入管内 A 通过最高点 C 时 对管壁上部的压力为 3mg B 通过最高点时 对管壁下部的压力为 0 75mg 求 A B 两球落地点间的距离 解析 本题是圆周运动动力学问题与平抛运动学问题及机械能守恒定律的综合 B A A 通过最高点 所受合力为 3mg mg m R vA 2 gR A 2 B 通过最高点所受合力为 mg 0 75mg m R mB 2 gR B 5 0 A B 两球落地间的距离为两球从 2R 高处作平抛运动水平射程之差 即 xAB vA vB 3R g R22 说明 本题还可拓展到求 A B 两球在半圆型管道最低点的速度 并可求出小球在 C 处对管壁上部 下部有无压力的临界条件 是一个有一定综合性的曲线运动问题 16 一内壁光滑的环形细圆管 固定于竖直平面内 环的半径为R 比细管的半径大得多 在圆管中有 两个直径略小于细管内径相同的小球 可视为质点 A 球的质量为m1 B 球的质量为m2 它们沿环形圆 管顺时针运动 经过最低点时的速度都为v0 设 A 球运动到最低点时 B 球恰好运动到最高点 重力加速 度用g表示 1 若此时 B 球恰好对轨道无压力 题中相关物理量满足何种关系 2 若此时两球作用于圆管的合力为零 题中各物理量满足何种关系 3 若m1 m2 m 试证明此时 A B 两小球作用于圆管的合力大小为 6mg 方向竖直 向下 解析解析 设 B 球经过最高点时速度为v 1 B 球的重力提供向心力m2g m2 根据机械能守恒 R v2 Rgmvmvm2 2 1 2 1 2 2 2 2 02 得gRv4 2 0 2 因为 A 球对管的压力向下 所以 B 球对管的压力向上 设 A 球受管的支持力为FA A 球受管的压力为FB 根据牛顿第三定律 依题意FA FB 根据牛顿第二定律 R v mgmFA 2 0 11 R v mgmFB 2 22 又 Rgmvmvm2 2 1 2 1 2 2 2 2 02 联立各式得 0 5 21 2 0 21 gmm R v mm B v FN2 m2g FN1 v0 m1g A FN2 FN1 3 A 球受管的支持力为FA 方向竖直向上 设 B 球受管的弹力为FB 取竖直向上为FB的正方向 根据 牛顿第二定律 R v mmgFA 2 0 R v mFmg B 2 又 Rmgmvmv2 2 1 2 1 22 0 两球受圆管的合力F合 FA BB 方向竖直向上 联立以上各式得F合 6mg 方向竖直向上 根据牛顿第三定律 A B 两小球对轨道作用力的合力大小为 6mg 方向竖直向下 1717 有一个固定竖直放置的圆形轨道 半径为R 由左右两部分组成 如图所示 右半部分 AEB 是光滑的 左半部分 BFA 是粗糙的 现在最低点 A 给一质量为m的小球一个水平向右的初速度 使小球沿轨道恰好运 动到最高点 B 小球在 B 点又能沿 BFA 回到 A 点 到达 A 点时对轨道的压力为 4mg 在求小球在 A 点的速度v0时 甲同学的解法是 由于小球恰好到达 B 点 故在 B 点小球的速度为零 所以 mgRmv2 2 1 2 0 gRv2 0 在求小球由 BFA 回到 A 点的速度时 乙同学的解法是 由于回到 A 点时对轨道的压力为 4mg 故 所以 R mv mg A 2 4 gRvA2 你同意两位同学的解法吗 如果同意请说明理由 若不同意 请指出他们的错误之处 并求出结果 根据题中所描绘的物理过程 求小球由 B 经 F 回到 A 的过程中克服摩擦力所做的功 解析 解析 不同意 小球恰好到达 B 点 在 B 点小球的速度不为零 小球由 AEB 到 B 点的速度时 R mv mg B 2 gRvB 由动能定理 得 RmgmvmvB2 2 1 2 1 2 0 2 gRv5 0 由于回到 A 点时对轨道压力为 4mg 小球受到的合力并不是 4mg 根据牛顿定律 R mv mgmg A 2 4 gRvA3 小球由 B 经 F 回到 A 的过程中 由和mgRmvWmgR Af 2 1 2 1 2 2 gRvA3 或Wf E0 EA mgR 22 0 2 1 2 1 A mvmv 得Wf mgR 18 一根内壁光滑的细玻璃管如图所示 放在竖直平面内 一小钢球自 A 口的正上方距离 A 口高 h 处无 初速释放 第一次小球恰能抵达 B 点 第二次落入 A 口后从 B 射出 恰能再进入 A 口 则两次小球下落 的高度之比为 h1 h2 19 如图所示在方向竖直向下的匀强电场中 一个带负电 q 质量为 m 且重力大于所受电场力的小球 从 光滑的斜面轨道的点 A 由静止下滑 若小球恰能通过半径为 R 的竖直圆形轨道的最高点 B 而作圆周运动 问点 A 的高度 h 至少应为多少 5R 2 20 小球A用不可伸长的细绳悬于O点 在O点的正下方有一固定的钉子B OB d 初始时小球A与O同 水平面无初速度释放 绳长为L 为使小球能绕B点做完整的圆周运动 如图所示 试求d的取值范围 解析 为使小球能绕B点做完整的圆周运动 则小球在D对绳的拉力F1应该大于或等于零 即有 dL v mmg D 2 根据机械能守恒定律可得 2 1 2 dLdmgmvD 由以上两式可求得 LdL 5 3 21 如图所示 一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动 圆盘边缘有一质量m 1 0 kg 的小滑块 当圆盘转动 的角速度达到某一数值时 滑块从圆盘边缘滑落 经光滑的过渡圆管进入轨道ABC 已知AB段斜面倾角 为 53 BC段斜面倾角为 37 滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均 0 5 A点离B点所在水平面 的高度h 1 2 m 滑块在运动过程中始终未脱离轨道 不计在过渡圆管处和B点的机械能损失 最大静 摩擦力近似等于滑动摩擦力 取g 10 m s2 sin37 0 6 cos37 0 8 若圆盘半径R 0 2 m 当圆盘的角速度多大时 滑块从圆盘上滑落 若取圆盘所在平面为零势能面 求滑块到达B点时的机械能 从滑块到达B点时起 经 0 6 s 正好通过C点 求BC之间的距离 解析 解析 滑块在圆盘上做圆周运动时 静摩擦力充当向心力 根据牛顿第二定律 可得 mg m 2R 代入数据解得 5 rad sg R 滑块在A点时的速度 vA R 1 m s R h B A O D d L O m B C A 从A到B的运动过程由动能定理得 mgh mgcos53 h sin53 22 BA 11 22 mvmv 在B点时的机械能为 2 1 4 J 2 BB Emvmgh 滑块在B点时的速度 vB 4 m s 滑块沿BC段向上运动时的加速度大小 a1 g sin37 cos37 10 m s2 返回时的加速度大小 a2 g sin37 cos37 2 m s2 BC间的距离 2 2 2 11 1 0 76 m 22 BB BC vv sa t aa 点评 点评 比较复杂的物理过程 如能依照题意画出草图 确定好研究对象 逐一分析找出其中的联系就会 变为简单问题 就能很好地解决问题 圆周运动与能量问题常联系在一起 在解这类问题时 除要对物体 受力分析 运用圆周运动知识外 还要正确运用能量关系 动能定理 机械能守恒定律 22 如图 匀速转动的水平圆盘上 沿半径方向放置两个用细线相连的质量均为 m 的小物体 它们 到转轴距离分别为cm cm 与盘面间的最大静摩擦力均为重力的 0 4 倍 试求 20 A r30 B r 1 当细线上开始出现张力时 圆盘的角速度 2 当 A 开始滑动时 圆盘的角速度 0 3 当 A 即将滑动时 烧断细线 A B 状态如何 解答 解答 1 1 当细线上开始出现张力时 表明 B 与盘间的静摩擦力已达 到最大 设此时圆盘角速度为 则 0 2 0B kmgmr 解得 rad s 9 3 3 0 104 0 0 B r kg 2 当 A 开始滑动时 表明 A 与盘的静摩擦力也达到最大 设此时盘转动角速度为 线上拉力 为 则 T F 对 A 对 B 2 ATf mrFF Am 2 BTf mrFF Bm 以上两式中 Am f FkmgF Bm f 解以上三式得 rad s 4 3 02 0 104 02 2 BA rr kg 3 烧断细线 A 与盘的静摩擦力减小 继续随盘做半径为cm 的圆周运动 而 B 由于 20 A r 不足以提供必要的向心力而做离心运动 m f F 点评 此题是典型的平面上的圆周运动问题 由静摩擦力提供向心力 但要注意线上开始出现张力以 o o o o A A B B 及 A 开始滑动时向心力的大小及动力学方程 2323 06 重庆 如图 半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内 小球A B质量分别为m m 为待 定系数 A球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑 与静止于轨道最低点的B球相撞 碰撞后 A B球能达到的最大高度均为 碰撞中无机械能损失 重力加速度为g 试求 1 待定系数 2 第一次碰撞刚结束时小球A B各自的速度和B球对轨道的压力 3 小球A B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度 并讨论小球A B在轨道最低处第n次碰 撞刚结束时各自的速度 解 1 由 mgR 得 3 2 设 A B 碰撞后的速度分别为v1 v2 则 设向右为正 向左为负 解得 v1 方向向左 v2 方向向右 设轨道对B球的支持力为N B球对轨道的压力为N 方向竖直向上为正 向下为则 N mg N N 4 5mg 方向竖直向下 3 设 A B 球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1 V2 则 解得 V1 V2 0 另一组 V1 v1 V2 v2 不合题意 舍去 由此可得 当n为奇数时 小球A B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第一次碰撞刚结束时相同 当n为偶数时 小球A B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第二次碰撞刚结束时相同 型题 过山车模型型题 过山车模型 例题 1 2007 年高考题 如图所示 位于竖直平面内的光滑轨道 有一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而 成 圆形轨道的半径为 R 一质量为 m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑 然后沿 圆形轨道运动 要求物块能通过圆形轨道最高点 且在该最高点与轨道间的压力不能超过 5mg g 为重力加速度 求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度 h 的取值范围 1 刚好能通过最高点 2 压力为 5mg 时 解 解 设物块在圆形轨道最高点的速度为 v 由机械能守恒定律得 mgh 2mgR mv2 物块在最高点受的力为重力 mg 轨道的压力 N 重力与压力的合力提供向心力 有 mg N m 物块能通过最高点的条件是 N 0 由 式得 V 由 式得 H 2 5R 按题的需求 N 5mg 由 式得 V 由 式得 h 5R 2 v mgm R 2 min 1 2 0 2 mg hRmv 2 N v Fmgm R 2 max 1 2 0 2 mg hRmv h 的取值范围是 2 5R h 5R 变式类型变式类型 1 直线运动和 直线运动和 过山车过山车 的结合的结合 R1 R2 R3 A BCD v0 一一一一一 一一一一一 一一一一一 LLL1 22 1110 11 2 22 mgLmgRmvmv 2 1 1 g v Fmm R 2 2 2 v mgm R 22 1330 11 2 22 mgLLmgRmvmv 例例 8 某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道 其中 2008 四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成 固定在竖直平面内 所有数宇均由圆或半圆组成 圆半径比细管的内径大得多 底端与水平地面相切 弹射装置将一个小物体 可视为质点 以 v 5m s 的水平初速度由 a 点弹出 从 b 点进人轨道 依次经过 8002 后从 p 点水平抛出 小物体与地面 ab 段间的动摩擦因数 0 3 不计其它机械能损失 已知 ab 段长 L 1 5m 数字 0 的半径 R 0 2m 小物体质量 m 0 0lkg g 10m s2 求 l 小物体从 p 点抛出后的水平射程 2 小物体经过数字 0 的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向 解 l 设小物体运动到 p 点时的速度大小为 v 对小物体由 a 运动到 p 过程应用动能定理得 mgL 2Rmg mv2 mv02 1 2 1 2 小物体自 p 点做平抛运动 设运动时间为 t 水平射程为 s 则 2R gt2 1 2 s vt 联立 式 代人数据解得 s 0 8m 2 设在数字 0 的最高点时管道对小物体的作用力大小为 F 取竖直向下为正方向 F mg mv2 R 联立 式 代人数据解得 F 0 3N 方向竖直向下 直线运动 平抛运动与过山车直线运动 平抛运动与过山车 2009 年浙江卷 24 某校物理兴趣小组决定举行遥控塞车比赛 比赛路径如图所示 赛 车从起点 A 出发 沿水平直线轨道运动 L 后 出 B 点进入半径为 R 的光滑竖直圆轨道 离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到 C 点 并能越过壕沟 已知赛车质量 m 0 1kg 通电后以额定功率 1 5W 工作 进入竖直圆轨道前受到的阻值为 0 3N 随 后在运动中受到的阻力均可不计 图中 L 10 00m R 0 32m h 1 25m S 1 50m 问 要使赛车完成比赛 电动机至少工作多长时间 取 g 10 m s2 AB C S h L R1 求平抛运动的初速度 1 Svt 2 1 2 hgt 1 3 2 R vSm s h 2 求最低点的速度 在最高点 2 2 v mgm R 22 32 11 2 22 mgRmvmv 从最高点运动到最低点 3 54 vghm s 2 3 1 2 PtmgLmv 平抛运动与过山车平抛运动与过山车 如图所示 是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施 轨道除 CD 部分粗糙外 其余均光 滑 一挑战者质量为 m 沿斜面轨道滑下 无能量损失的滑入第一个圆管形轨道 根据设计 要求 在最低点与最高点各放一个压力传感器 测试挑战者对轨道的压力 并通过计算机 显示出来 挑战者到达 A 处时刚好对管壁无压力 又经过水平轨道 CD 滑入第二个圆管形 轨道 在最高点 B 处挑战者对管的内侧壁压力为 0 5mg 然后从平台上飞入水池内 水面离 轨道的距离为 h 2 25r 若第一个圆轨道的半径为 R 第二个管轨道的半径为 r g 取 10m s2 管