最新北师大版七年级数学下第一章整式的乘除教案

1 1 1 同底数幂的乘法同底数幂的乘法 1 理解并掌握同底数幂的乘法法则 重点 2 运用同底数幂的乘法法则进行相关运算 难点 一 情境导入 问题 2015 年 9 月 24 日 美国国家航空航天局 下简称 NASA 对外宣称将有重大发现宣布 可能 发现除地球外适合人类居住的星球 一时间引起了人们的广泛关注 早在 2014 年 NASA 就发现一颗行 星 这颗行星是第一颗在太阳系外恒星旁发现的适居带内 半径与地球相若的系外行星 这颗行星环绕 红矮星开普勒 186 距离地球 492 光年 1 光年是光经过一年所行的距离 光的速度大约是 3 105km s 问 这颗行星距离地球多远 1 年 3 1536 107s 3 105 3 1536 107 492 3 3 1536 4 92 105 107 102 4 10 105 107 102 问题 10 105 107 102 等于多少呢 二 合作探究 探究点 同底数幂的乘法 类型一 底数为单项式的同底数幂的乘法 计算 1 23 24 2 2 a3 a 2 a 3 3 mn 1 mn m2 m 解析 1 根据同底数幂的乘法法则进行计算即可 2 先算乘方 再根据同底数幂的乘法法则进行计 算即可 3 根据同底数幂的乘法法则进行计算即可 2 解 1 原式 23 4 1 28 2 原式 a3 a2 a3 a3 a2 a3 a8 3 原式 mn 1 n 2 1 a2n 4 方法总结 同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用 单个字母或数可以看成指数为 1 的幂 进行运算时 不能忽略了幂指数 1 类型二 底数为多项式的同底数幂的乘法 计算 1 2a b 2n 1 2a b 3 2a b n 4 2 x y 2 y x 5 解析 将底数看成一个整体进行计算 解 1 原式 2a b 2n 1 3 n 4 2a b 3n 2 原式 x y 2 x y 5 x y 7 方法总结 底数互为相反数的幂相乘时 先把底数统一 再进行计算 a b n b a n n为偶数 b a n n为奇数 类型三 运用同底数幂的乘法求代数式的值 若 82a 3 8b 2 810 求 2a b 的值 解析 根据同底数幂的乘法法则 底数不变指数相加 可得 a b 的关系 根据 a b 的关系求解 解 82a 3 8b 2 82a 3 b 2 810 2a 3 b 2 10 解得 2a b 9 方法总结 将等式两边化为同底数幂的形式 底数相同 那么指数也相同 变式训练 本课时练习第 6 题 类型四 同底数幂的乘法法则的逆用 3 已知 am 3 an 21 求 am n的值 解析 把 am n变成 am an 代入求值即可 解 am 3 an 21 am n am an 3 21 63 方法总结 逆用同底数幂的乘法法则把 am n变成 am an 变式训练 本课时练习第 9 题 三 板书设计 1 同底数幂的乘法法则 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 即 am an am n m n 都是正整数 2 同底数幂的乘法法则的运用 在同底数幂乘法公式的探究过程中 学生表现出观察角度的差异 有的学生只是侧重观察某个单独 的式子 把它孤立地看 而不知道将几个式子联系起来 有的学生则既观察入微 又统揽全局 表现出 了较强的观察力 教师要善于抓住这个契机 适当对学生进行指导 培养他们 既见树木 又见森林 的优良观察品质 对于公式使用的条件既要把握好 度 又要把握好 方向 1 2 幂的乘方与积的乘方幂的乘方与积的乘方 第第 1 课时课时 幂的乘方幂的乘方 1 理解幂的乘方的运算性质 进一步体会和巩固幂的意义 重点 4 2 掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活应用 难点 一 情境导入 1 填空 1 同底数幂相乘 不变 指数 2 a2 a3 10m 10n 3 3 7 3 6 4 a a2 a3 5 23 2 23 23 x4 5 x4 x4 x4 x4 x4 2 计算 22 3 24 3 102 3 问题 1 上述几道题目有什么共同特点 2 观察计算结果 你能发现什么规律 3 你能推导一下 am n的结果吗 请试一试 二 合作探究 探究点一 幂的乘方 计算 1 a3 4 2 xm 1 2 3 24 3 3 4 m n 3 4 解析 直接运用 am n amn计算即可 解 1 a3 4 a3 4 a12 2 xm 1 2 x2 m 1 x2m 2 3 24 3 3 24 3 3 236 4 m n 3 4 m n 12 5 方法总结 运用幂的乘方法则进行计算时 一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆 在幂的乘 方中 底数可以是单项式 也可以是多项式 变式训练 本课时练习第 4 题 探究点二 幂的乘方的逆用 类型一 逆用幂的乘方比较数的大小 请看下面的解题过程 比较 2100与 375的大小 解 2100 24 25 375 33 25 又 24 16 33 27 16 27 2100 375 请你根据上面的解题过程 比较 3100与 560的大小 并总结本题的解题方法 解析 首先理解题意 然后可得 3100 35 20 560 53 20 再比较 35与 53的大小 即可求得答案 解 3100 35 20 560 53 20 又 35 243 53 125 243 125 即 35 53 3100 560 方法总结 此题考查了幂的乘方的性质的应用 注意理解题意 根据题意得到 3100 35 20 560 53 20是解此题的关键 变式训练 本课时练习第 7 题 类型二 逆用幂的乘方求代数式的值 已知 2x 5y 3 0 求 4x 32y的值 解析 由 2x 5y 3 0 得 2x 5y 3 再把 4x 32y统一为底数为 2 的乘方的形式 最后根据同底数 幂的乘法法则即可得到结果 解 2x 5y 3 0 2x 5y 3 4x 32y 22x 25y 22x 5y 23 8 方法总结 本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法 整体代入求解也比较关键 类型三 逆用幂的乘方结合方程思想求值 已知 221 8y 1 9y 3x 9 则代数式 x y 的值为 1 3 1 2 解析 由 221 8y 1 9y 3x 9得 221 23 y 1 32y 3x 9 则 21 3 y 1 2y x 9 解得 x 21 y 6 故代数式 x y 7 3 10 故答案为 10 1 3 1 2 方法总结 根据幂的乘方的逆运算进行转化得到 x 和 y 的方程组 求出 x y 再计算代数式 变式训练 本课时练习第 6 题 6 三 板书设计 1 幂的乘方法则 幂的乘方 底数不变 指数相乘 即 am n amn m n 都是正整数 2 幂的乘方的运用 幂的乘方公式的探究方式和前节类似 因此在教学中可以利用该优势展开教学 在探究过程中可以 进一步发挥学生的主动性 尽可能地让学生在已有知识的基础上 通过自主探究 获得幂的乘方运算的 感性认识 进而理解运算法则 1 2 幂的乘方与积的乘方幂的乘方与积的乘方 第第 2 课时课时 积的乘方积的乘方 1 掌握积的乘方的运算法则 重点 2 掌握积的乘方的推导过程 并能灵活运用 难点 7 一 情境导入 1 教师提问 同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么 学生积极举手回答 同底数幂的乘法公式 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 幂的乘方公式 幂的乘方 底数不变 指数相乘 2 肯定学生的发言 引入新课 今天学习幂的运算的第三种形式 积的乘方 二 合作探究 探究点一 积的乘方 类型一 直接运用积的乘方法则进行计算 计算 1 5ab 3 2 3x2y 2 3 ab2c3 3 4 xmy3m 2 4 3 解析 直接运用积的乘方法则计算即可 解 1 5ab 3 5 3a3b3 125a3b3 2 3x2y 2 32x4y2 9x4y2 3 ab2c3 3 3a3b6c9 a3b6c9 4 3 4 3 64 27 4 xmy3m 2 1 2x2my6m x2my6m 方法总结 运用积的乘方法则进行计算时 注意每个因式都要乘方 尤其是字母的系数不要漏乘 方 变式训练 本课时练习第 7 题 类型二 含积的乘方的混合运算 计算 1 2a2 3 a3 4a 2 a7 5a3 3 2 a3b6 2 a2b4 3 8 解析 1 先进行积的乘方 然后根据同底数幂的乘法法则求解 2 先进行积的乘方和幂的乘方 然 后合并 解 1 原式 8a6 a3 16a2 a7 125a9 8a9 16a9 125a9 117a9 2 原式 a6b12 a6b12 0 方法总结 先算积的乘方 再算乘法 然后算加减 最后合并同类项 变式训练 本课时练习第 7 题 3 类型三 积的乘方的实际应用 太阳可以近似地看作是球体 如果用 V R 分别代表球的体积和半径 那么 V R3 太阳的 4 3 半径约为 6 105千米 它的体积大约是多少立方千米 取 3 解析 将 R 6 105千米代入 V R3 即可求得答案 4 3 解 R 6 105千米 V R3 3 6 105 3 8 64 1017 立方千米 4 3 4 3 答 它的体积大约是 8 64 1017立方千米 方法总结 读懂题目信息 理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键 探究点二 积的乘方的逆用 类型一 逆用积的乘方进行简便运算 计算 2014 2015 2 3 3 2 解析 将 2015转化为 2014 再逆用积的乘方公式进行计算 3 2 3 2 3 2 解 原式 2014 2014 2014 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 方法总结 对公式 an bn ab n要灵活运用 对于不符合公式的形式 要通过恒等变形转化为公式 的形式 运用此公式可进行简便运算 变式训练 本课时练习第 7 题 2 类型二 逆用积的乘方比较数的大小 试比较大小 213 310与 210 312 9 解 213 310 23 2 3 10 210 312 32 2 3 10 又 23 32 213 310 210 312 方法总结 利用积的乘方 转化成同底数的同指数幂是解答此类问题的关键 三 板书设计 1 积的乘方法则 积的乘方等于各因式乘方的积 即 ab n anbn n 是正整数 2 积的乘方的运用 在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学 教师在讲解积的乘方公式的应用时 再补充讲解积的乘方公式的逆运算 an bn ab n 同时教师为了提高学生的运算速度和应用能力 也可 以补充讲解 当 n 为奇数时 a n an n 为正整数 当 n 为偶数时 a n an n 为正整数 1 3 同底数幂的除法同底数幂的除法 第第 1 课时课时 同底数幂的除法同底数幂的除法 1 理解并掌握同底数幂的除法运算并能运用其解决实际问题 重点 2 理解并掌握零次幂和负指数幂的运算性质 难点 10 一 情境导入 一种液体每升含有 1012个有害细菌 为了试验某种杀菌剂的效果 科学家们进行了实验 发现 1 滴 杀菌剂可以杀死 109个此种细菌 要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死 需要这种杀菌剂多少滴 二 合作探究 探究点一 同底数幂的除法 类型一 直接运用同底数幂的除法进行运算 计算 1 xy 13 xy 8 2 x 2y 3 2y x 2 3 a2 1 7 a2 1 4 a2 1 2 解析 利用同底数幂的除法法则即可进行计算 其中 1 应把 xy 看作一个整体 2 把 x 2y 看作 一个整体 2y x x 2y 3 把 a2 1 看作一个整体 解 1 xy 13 xy 8 xy 13 8 xy 5 x5y5 2 x 2y 3 2y x 2 x 2y 3 x 2y 2 x 2y 3 a2 1 7 a2 1 4 a2 1 2 a2 1 7 4 2 a2 1 1 a2 1 方法总结 计算同底数幂的除法时 先判断底数是否相同或可变形为相同 再根据法则计算 变式训练 本课时练习第 3 题 类型二 逆用同底数幂的除法进行计算 已知 am 4 an 2 a 3 求 am n 1的值 解析 先逆用同底数幂的除法 对 am n 1进行变形 再代入数值进行计算 解 am 4 an 2 a 3 am n 1 am an a 4 2 3 2 3 方法总结 解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出 am n 1 am an a 变式训练 本课时练习第 7 题 类型三 同底数幂除法的实际应用 声音的强弱用分贝表示 通常人们讲话时的声音是 50 分贝 它表示声音的强度是 105 汽车的 声音是 100 分贝 表示声音的强度是 1010 喷气式飞机的声音是 150 分贝 求 11 1 汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍 2 喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍 解析 1 用汽车声音的强度除以人声音的强度 再利用 同底数幂相除 底数不变 指数相减 计 算 2 将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音的强度 再除以汽车声音的强度即可得到答案 解 1 因为 1010 105 1010 5 105 所以汽车声音的强度是人声音的强度的 105倍 2 因为人的声音是 50 分贝 其声音的强度是 105 汽车的声音是 100 分贝 其声音的强度为 1010 所以喷气式飞机的声音是 150 分贝 其声音的强度为 1015 所以 1015 1010 1015 10 105 所以喷气式飞 机声音的强度是汽车声音的强度的 105倍 方法总结 本题主要考查同底数幂除法的实际应用 熟练掌握其运算性质是解题的关键 变式训练 本课时练习第 4 题 探究点二 零指数幂和负整数指数幂 类型一 零指数幂 若 x 6 0 1 成立 则 x 的取值范围是 A x 6 B x 6 C x 6 D x 6 解析 x 6 0 1 成立 x 6 0 解得 x 6 故选 C 方法总结 本题考查的是 0 指数幂成立的条件 非 0 的数的 0 次幂等于 1 注意 0 指数幂的底数不能 为 0 变式训练 本课时练习第 5 题 类型二 比较数的大小 若 a 2 b 1 1 c 0 则 a b c 的大小关系是 2 3 3 2 A a b c B a c b C c a b D b c a 方法总结 本题的关键是熟悉运算法则 利用计算结果比较大小 当底数是分数 指数为负整数时 只要把底数的分子 分母颠倒 负指数就可变为正指数 类型三 零指数幂与负整数指数幂中底数的取值范围 12 若 x 3 0 2 3x 6 2有意义 则 x 的取值范围是 A x 3 B x 3 且 x 2 C x 3 或 x 2 D x 2 方法总结 任意非 0 的数的 0 次幂为 1 底数不能为 0 负整数指数幂的底数不能为 0 类型四 含整数指数幂 零指数幂与绝对值的混合运算 计算 22 2 2015 0 2 1 2 2 解析 分别根据有理数的乘方 零指数幂 负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数 再根据实数 的运算法则进行计算 解 22 2 2015 0 2 4 4 1 2 1 1 2 2 2 2 方法总结 熟练掌握有理数的乘方 零指数幂 负整数指数幂及绝对值的性质是解答此题的关键 三 板书设计 1 同底数幂的除法法则 同底数幂相除 底数不变 指数相减 2 零次幂 任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1 即 a0 1 a 0 3 负整数次幂 任何一个不等于零的数的 p p 是正整数 次幂 等于这个数 p 次幂的倒数 即 a p a 0 p 是正 1 ap 整数 从计算具体问题中的同底数幂的除法 逐步归纳出同底数幂除法的一般性质 教学时要多举几个例 子 让学生从中总结出规律 体验自主探究的乐趣和数学学习的魅力 为以后的学习奠定基础 13 1 3 同底数幂的除法同底数幂的除法 第第 2 课时课时 用科学记数法表示较小的数用科学记数法表示较小的数 1 理解并掌握科学记数法表示小于 1 的数的方法 重点 2 能将用科学记数法表示的数还原为原数 一 情境导入 同底数幂的除法公式为 am an am n 有一个附加条件 m n 即被除数的指数大于除数的指 数 当被除数的指数不大于除数的指数 即 m n 或 m n 时 情况怎样呢 二 合作探究 探究点 用科学记数法表示较小的数 类型一 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 2014 年 6 月 18 日中商网报道 一种重量为 0 千克 机身由碳纤维制成 且只有昆虫大小的机 器人是全球最小的机器人 0 用科学记数法可表示为 A 1 06 10 4 B 1 06 10 5 C 10 6 10 5 D 106 10 6 解析 0 1 06 10 4 故选 A 方法总结 绝对值小于 1 的数也可以用科学记数法表示 一般形式为 a 10 n 其中 1 a 10 n 为 正整数 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂 指数由原数左边起第一个不为零 的数前面的 0 的个数所决定 变式训练 本课时练习第 2 题 类型二 将用科学记数法表示的数还原为原数 用小数表示下列各数 1 2 10 7 2 3 14 10 5 14 3 7 08 10 3 4 2 17 10 1 解析 小数点向左移动相应的位数即可 解 1 2 10 7 0 2 3 14 10 5 0 3 7 08 10 3 0 00708 4 2 17 10 1 0 217 方法总结 将科学记数法表示的数 a 10 n还原成通常表示的数 就是把 a 的小数点向左移动 n 位 所得到的数 变式训练 本课时练习第 6 题 三 板书设计 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 一般地 一个小于 1 的正数可以表示为 a 10n 其中 1 a 10 n 是负整数 从本节课的教学过程来看 结合了多种教学方法 既有教师主导课堂的例题讲解 又有学生主导课 堂的自主探究 课堂上学习气氛活跃 学生的学习积极性被充分调动 在拓展学生学习空间的同时 又 有效地保证了课堂学习质量 1 4 整式的乘法整式的乘法 第第 1 课时课时 单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘 1 复习幂的运算性质 探究并掌握单项式乘以单项式的运算法则 重点 2 能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题 难点 一 情境导入 根据乘法的运算律计算 15 1 2x 3y 2 5a2b 2ab2 解 1 2x 3y 2 3 x y 6xy 2 5a2b 2ab2 5 2 a2 a b b2 10a3b3 观察上述运算 你能归纳出单项式乘法的运算法则吗 二 合作探究 探究点 单项式与单项式相乘 类型一 直接利用单项式乘以单项式法则进行计算 计算 1 a2b ac2 2 3 5 6 2 x2y 3 3xy2 2xy2 2 1 2 3 6m2n x y 3 mn2 y x 2 1 3 解析 运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可 解 1 a2b ac2 a3bc2 a3bc2 2 3 5 6 2 3 5 6 5 9 2 x2y 3 3xy2 2xy2 2 x6y3 3xy2 4x2y4 x9y9 1 2 1 8 3 2 3 6m2n x y 3 mn2 y x 2 6 m3n3 x y 5 2m3n3 x y 5 1 3 1 3 方法总结 1 在计算时 应先进行符号运算 积的系数等于各因式系数的积 2 注意按顺序运算 3 不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式 4 此性质对于多个单项式相乘仍然成立 变式训练 本课时练习第 7 题 类型二 单项式乘以单项式与同类项的综合 已知 2x3m 1y2n与 7x5m 3y5n 4的积与 x4y 是同类项 求 m2 n 的值 解析 根据 2x3m 1y2n与 7x5m 3y5n 4的积与 x4y 是同类项可得出关于 m n 的方程组 进而求出 m n 的值 即可得出答案 16 解 2x3m 1y2n与 7x5m 3y5n 4的积与 x4y 是同类项 解得 3m 1 5m 3 4 2n 5n 4 1 m2 n m 3 4 n 5 7 143 112 方法总结 掌握单项式乘以单项式的运算法则 再结合同类项 列出二元一次方程组是解题关键 变式训练 本课时练习第 5 题 类型三 单项式乘以单项式的实际应用 有一块长为 xm 宽为 ym 的长方形空地 现在要在这块地中规划一块长 xm 宽 ym 的长方形 3 5 3 4 空地用于绿化 求绿化的面积和剩下的面积 解析 先求出长方形的面积 再求出绿化的面积 两者相减即可求出剩下的面积 解 长方形的面积是 xym2 绿化的面积是 x y xy m2 则剩下的面积是 xy xy xy m2 3 5 3 4 9 20 9 20 11 20 方法总结 掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键 变式训练 本课时练习第 7 题 三 板书设计 1 单项式乘以单项式的运算法则 单项式相乘 把系数 同底数幂分别相乘 作为积的因式 对于只在一个单项式里面含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 2 单项式乘以单项式的应用 本课时的重点是让学生理解单项式的乘法法则并能熟练应用 要求学生在乘法的运算律以及幂的运 算律的基础上进行探究 教师在课堂上应该处于引导位置 鼓励学生 试一试 学生通过动手操作 能 够更为直接的理解和应用该知识点 17 1 4 整式的乘法整式的乘法 第第 2 课时课时 单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘 1 能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则 2 掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用 重点 难点 一 情境导入 计算 12 我们可以根据有理数乘法的分配律进行计算 那么怎样计算 1 2 1 3 1 4 2x 3x2 2x 1 呢 18 二 合作探究 探究点 单项式乘以多项式 类型一 直接利用单项式乘以多项式法则进行计算 计算 1 ab2 2ab ab 2 3 1 2 2 2x x2y 3y 1 1 2 解析 利用单项式乘以多项式法则计算即可 解 1 ab2 2ab ab ab2 ab 2ab ab a2b3 a2b2 2 3 1 2 2 3 1 2 1 2 1 3 2 2x x2y 3y 1 2x x2y 2x 3y 2x 1 x3y 6xy 2x x3y 6xy 2x 1 2 1 2 方法总结 单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘 就是用单项式去乘多项式的每 一项 再把所得的积相加 变式训练 本课时练习第 9 题 类型二 单项式与多项式乘法的实际应用 一条防洪堤坝 其横断面是梯形 上底宽 a 米 下底宽 a 2b 米 坝高 a 米 1 2 1 求防洪堤坝的横断面面积 2 如果防洪堤坝长 100 米 那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米 解析 1 根据梯形的面积公式 然后利用单项式乘以多项式的运算法则计算 2 防洪堤坝的体积 梯形面积 坝长 解 1 防洪堤坝的横断面面积 S a a 2b a a 2a 2b a2 ab 平方米 故防洪堤坝 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 的横断面面积为 a2 ab 平方米 1 2 1 2 2 堤坝的体积 V Sl a2 ab 100 50a2 50ab 立方米 故这段防洪堤坝的体积是 50a2 50ab 1 2 1 2 立方米 方法总结 本题要知道梯形的面积公式及堤坝 19 的体积 堤坝体积 梯形面积 长度 的计算方法 同时掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键 变式训练 本课时练习第 9 题 类型三 利用单项式乘以多项式化简求值 先化简 再求值 5a 2a2 5a 3 2a2 5a 5 7a2 其中 a 2 解析 首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号 然后合并同类项 最后代入已知的数值计算 即可 解 5a 2a2 5a 3 2a2 5a 5 7a2 10a3 25a2 15a 10a3 10a2 7a2 28a2 15a 当 a 2 时 原式 82 方法总结 本题考查了整式的化简求值 在计算时要注意先化简然后再代值计算 整式的加减运算 实际上就是去括号与合并同类项 变式训练 本课时练习第 10 题 三 板书设计 1 单项式与多项式的乘法法则 单项式与多项式相乘 用单项式和多项式的每一项分别相乘 再把所得的积相加 2 单项式与多项式乘法的应用 本节课在已学过的单项式乘以单项式的基础上 学习单项式乘以多项式 教学中注意发挥学生的主 体作用 让学生积极参与课堂活动 并通过不断纠错而提高解题水平 20 1 4 整式的乘法整式的乘法 第第 3 课时课时 多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘 1 理解多项式乘以多项式的运算法则 能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算 重点 2 掌握多项式与多项式的乘法法则的应用 难点 一 情境导入 某地区在退耕还林期间 将一块长 m 米 宽 a 米的长方形林区的长 宽分别增加 n 米和 b 米 用两 种方法表示这块林区现在的面积 学生积极思考 教师引导学生分析 学生发现 这块林区现在长为 m n 米 宽为 a b 米 因而面积为 m n a b 平方米 另外 如图 这块地由四小块组成 它们的面积分别为 ma 平方米 mb 平方米 na 平方米 nb 平方 米 故这块地的面积为 ma mb na nb 平方米 21 由此可得 m n a b ma mb na nb 今天我们就学习多项式乘以多项式 二 合作探究 探究点一 多项式与多项式相乘 类型一 直接利用多项式乘多项式法则进行计算 计算 1 3x 2 x 2 2 4y 1 5 y 解析 利用多项式乘以多项式法则计算 即可得到结果 解 1 原式 3x2 6x 2x 4 3x2 8x 4 2 原式 20y 4y2 5 y 4y2 21y 5 方法总结 多项式乘以多项式 按一定的顺序进行 必须做到不重不漏 多项式与多项式相乘 仍 得多项式 在合并同类项之前 积的项数应等于原多项式的项数之积 变式训练 本课时练习第 7 题 1 2 3 类型二 多项式乘以多项式的混合运算 计算 3a 1 2a 3 6a 5 a 4 解析 根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算 再把所得结果合并即可 解 3a 1 2a 3 6a 5 a 4 6a2 9a 2a 3 6a2 24a 5a 20 22a 23 方法总结 在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号 变式训练 本课时练习第 7 题 4 探究点二 多项式与多项式相乘的化简求值及应用 22 类型一 多项式乘以多项式的化简求值 先化简 再求值 a 2b a2 2ab 4b2 a a 5b a 3b 其中 a 1 b 1 解析 先将式子利用整式乘法展开 合并同类项化简 再代入计算 解 a 2b a2 2ab 4b2 a a 5b a 3b a3 8b3 a2 5ab a 3b a3 8b3 a3 3a2b 5a2b 15ab2 8b3 2a2b 15ab2 当 a 1 b 1 时 原式 8 2 15 21 方法总结 化简求值是整式运算中常见的题型 一定要注意先化简 再求值 不能先代值 再计 算 变式训练 本课时练习第 8 题 类型二 多项式乘以多项式与方程的综合 解方程 x 3 x 2 x 9 x 1 4 解析 方程两边利用多项式乘以多项式法则计算 移项 合并同类项 将 x 系数化为 1 即可求出 解 解 去括号后得 x2 5x 6 x2 10 x 9 4 移项 合并同类项得 15x 7 解得 x 7 15 方法总结 解答本题就是利用多项式的乘法 将原方程转化为已学过的方程解答 类型三 多项式乘以多项式的实际应用 千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为 3a b 米 宽为 2a b 米的长方形地块 物业部门 计划将内坝进行绿化 如图阴影部分 中间部分将修建一仿古小景点 如图中间的正方形 则绿化的面积 是多少平方米 并求出当 a 3 b 2 时的绿化面积 解析 根据长方形的面积公式 可得内坝 景点的面积 根据面积的差 可得答案 解 由题意 得 3a b 2a b a b 2 6a2 5ab b2 a2 2ab b2 5a2 3ab 平方米 当 a 3 b 2 时 5a2 3ab 5 32 3 3 2 63 平方米 故绿化的面积是 63 平方米 方法总结 掌握长方形的面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键 变式训练 本课时练习第 9 题 23 类型四 根据多项式乘以多项式求待定系数的值 已知 ax2 bx 1 a 0 与 3x 2 的积不含 x2项 也不含 x 项 求系数 a b 的值 解 ax2 bx 1 3x 2 3ax3 2ax2 3bx2 2bx 3x 2 积不含 x2项 也不含 x 项 2a 3b 0 2b 3 0 解得 b a 系数 a b 的值分别是 3 2 9 4 9 4 3 2 方法总结 解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式 合并同类项后 再根据不含某 一项 可得这一项系数等于零 再列出方程解答 变式训练 本课时练习第 3 题 三 板书设计 1 多项式与多项式的乘法法则 多项式和多项式相乘 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘 再把所得的积相 加 2 多项式与多项式乘法的应用 本节知识的综合性较强 要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘 的知识 同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则 教学中一定要精讲精练 让学生从练 习中再次体会法则的内容 为以后的学习奠定基础 1 5 平方差公式平方差公式 1 掌握平方差公式的推导和运用 以及对平方差公式的几何背景的理解 重点 2 掌握平方差公式的应用 重点 一 情境导入 24 1 教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则 学生积极举手回答 多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项 式的每一项 再把所得的积相加 2 教师肯定学生的表现 并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘 平方差公式 二 合作探究 探究点 平方差公式 类型一 直接运用平方差公式进行计算 利用平方差公式计算 1 3x 5 3x 5 2 2a b b 2a 3 7m 8n 8n 7m 4 x 2 x 2 x2 4 解析 直接利用平方差公式进行计算即可 解 1 3x 5 3x 5 3x 2 52 9x2 25 2 2a b b 2a 2a 2 b2 4a2 b2 3 7m 8n 8n 7m 7m 2 8n 2 49m2 64n2 4 x 2 x 2 x2 4 x2 4 x2 4 x4 16 方法总结 应用平方差公式计算时 应注意以下几个问题 1 左边是两个二项式相乘 并且这两个 二项式中有一项完全相同 另一项互为相反数 2 右边是相同项的平方减去相反项的平方 3 公式中的 a 和 b 可以是具体的数 也可以是单项式或多项式 变式训练 本课时练习第 7 题 类型二 利用平方差公式进行简便运算 利用平方差公式计算 1 20 19 2 13 2 12 8 1 3 2 3 25 解析 1 把 20 19 写成 20 20 然后利用平方差公式进行计算 2 把 13 2 12 8 写成 1 3 2 3 1 3 1 3 13 0 2 13 0 2 然后利用平方差公式进行计算 解 1 20 19 20 20 202 2 400 399 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 9 8 9 2 13 2 12 8 13 0 2 13 0 2 132 0 22 169 0 04 168 96 方法总结 熟记平方差公式的结构是解题的关键 变式训练 本课时练习第 12 题 类型三 化简求值 先化简 再求值 2x y y 2x 2y x 2y x 其中 x 1 y 2 解析 利用平方差公式展开并合并同类项 然后把 x y 的值代入进行计算即可得解 解 2x y y 2x 2y x 2y x 4x2 y2 4y2 x2 4x2 y2 4y2 x2 5x2 5y2 当 x 1 y 2 时 原式 5 12 5 22 15 方法总结 利用平方差公式先化简再求值 切忌代入数值直接计算 变式训练 本课时练习第 8 题 类型四 平方差公式的几何背景 如图 在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形 a b 把剩下部分拼成一个梯 形 如图 利用这两幅图形的面积 可以验证的乘法公式是 解析 图 中阴影部分的面积是 a2 b2 图 中梯形的面积是 2a 2b a b a b a b 1 2 a2 b2 a b a b 即可验证的乘法公式为 a b a b a2 b2 方法总结 通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释 变式训练 本课时练习第 8 题 类型五 平方差公式的实际应用 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈 今年王大伯对李大妈说 我把 26 这块地一边减少 4 米 另外一边增加 4 米 继续原价租给你 你看如何 李大妈一听 就答应了 你 认为李大妈吃亏了吗 为什么 解析 根据题意先求出原正方形的面积 再求出改变边长后的面积 然后比较二者的大小即可 解 李大妈吃亏了 理由如下 原正方形的面积为 a2 改变边长后面积为 a 4 a 4 a2 16 a2 a2 16 李大妈吃亏了 方法总结 解决实际问题的关键是根据题意列出算式 然后根据公式化简解决问题 变式训练 本课时练习第 4 题 三 板书设计 1 平方差公式 两数和与这两数差的积等于它们的平方差 即 a b a b a2 b2 2 平方差公式的应用 学生通过 做一做 发现平方差公式 同时通过 试一试 用几何方法证明公式的正确性 通过这 两种方式的演算 让学生理解平方差公式 本节教学内容较多 因此教材中的练习可以让学生在课后完 成 1 6 完全平方公式完全平方公式 1 会推导完全平方公式 并能运用公式进行简单的运算 重点 27 2 灵活运用完全平方公式进行计算 难点 一 情境导入 计算 1 x 1 2 2 x 1 2 3 a b 2 4 a b 2 由上述计算 你发现了什么结论 二 合作探究 探究点 完全平方公式 类型一 直接运用完全平方公式进行计算 利用完全平方公式计算 1 5 a 2 2 3m 4n 2 3 3a b 2 解析 直接运用完全平方公式进行计算即可 解 1 5 a 2 25 10a a2 2 3m 4n 2 9m2 24mn 16n2 3 3a b 2 9a2 6ab b2 方法总结 完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2 可巧记为 首平方 末平方 首末两倍中间放 变式训练 本课时练习 类型二 利用完全平方公式求字母的值 如果 36x2 m 1 xy 25y2是一个完全平方式 求 m 的值 解析 先根据两平方项确定出这两个数 再根据完全平方公式确定 m 的值 解 36x2 m 1 xy 25y2 6x 2 m 1 xy 5y 2 m 1 xy 2 6x 5y m 1 60 m 59 或 61 28 方法总结 两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍 就构成了一个完全平方式 注意积的 2 倍的符 号 避免漏解 变式训练 见本课时练习 类型三 灵活运用完全平方公式的变式求代数式的值 若 x y 2 9 且 x y 2 1 1 求 的值 1 x2 1 y2 2 求 x2 1 y2 1 的值 解析 1 先去括号 再整体代入即可求出答案 2 先变形 再整体代入 即可求出答案 解 1 x y 2 9 x y 2 1 x2 2xy y2 9 x2 2xy y2 1 4xy 9 1 8 xy 2 1 x2 1 y2 x2 y2 x2y2 x y 2 2xy x2y2 9 2 2 22 5 4 2 x y 2 9 xy 2 x2 1 y2 1 x2y2 y2 x2 1 x2y2 x y 2 2xy 1 22 9 2 2 1 10 方法总结 所求的展开式中都含有 xy 或 x y 时 我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代 数式中 整体求解 变式训练 见课后 类型四 完全平方公式的几何背景 我们已经接触了很多代数恒等式 知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等 式 例如图甲可以用来解释 a b 2 a b 2 4ab 那么通过图乙面积的计算 验证了一个恒等式 此恒等 式是 A a2 b2 a b a b B a b a 2b a2 ab 2b2 C a b 2 a2 2ab b2 29 D a b 2 a2 2ab b2 解析 空白部分的面积为 a b 2 还可以表示为 a2 2ab b2 所以此等式是 a b 2 a2 2ab b2 故 选 C 方法总结 通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释 变式训练 见本课时练习 类型五 与完全平方公式有关的探究问题 下表为杨辉三角系数表 它的作用是指导读者按规律写出形如 a b n n 为正整数 展开式的系 数 请你仔细观察下表中的规律 填出 a b 6展开式中所缺的系数 a b 1 a b a b 2 a2 2ab b2 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 则 a b 6 a6 6a5b 15a4b2 a3b3 15a2b4 6ab5 b6 变式训练 本课时练习第 9 题 三 板书设计 1 完全平方公式 两个数的和 或差 的平方 等于这两个数的平方和加 或减 这两个数乘积的 2 倍 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 2 完全平方公式的应用 本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式 让学生自己总结出完全平方公式的特征 注意不要出 现如下错误 a b 2 a2 b2 a b 2 a2 b2 为帮助学生记忆完全平方公式 可采用如下口诀 首平方 尾平方 乘积两倍在中央 教学中 教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆 30 1 7 整式的除法整式的除法 第第 1 课时课时 单项式除以单项式单项式除以单项式 1 复习单项式乘以单项式的运算 探究单项式除以单项式的运算规律 2 能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题 重点 难点 一 情境导入 填空 1 am an 2 am n 3 am n an 4 amn an 我们已经学习了单项式乘以单项式的运算 今天我们将要学习它的逆运算 二 合作探究 探究点 单项式除以单项式 类型一 直接用单项式除以单项式进行计算 计算 1 x5y13 xy8 2 48a6b5c