2018年高考数学总复习-圆锥曲线综合

1 第六节第六节 圆锥曲线综合圆锥曲线综合 考纲解读考纲解读 1 掌握与圆锥曲线有关的最值 定值和参数范围问题 2 会处理动曲线 含直线 过定点的问题 3 会证明与曲线上的动点有关的定值问题 4 会按条件建立目标函数 研究变量的最值及取值范围问题 注意运用数形结合法和几何 法求某些量的最值 命题趋势研究命题趋势研究 从内容上看 预测 2015 年高考主要考查两大类问题 一是根据条件 求出表示平面 曲线的方程 二是通过方程 研究平面曲线的性质 其热点有 以客观题的形式考查圆 锥曲线的基本概念和性质 求平面曲线的方程和轨迹 圆锥曲线的有关元素计算 关 系证明或范围确定 涉及圆锥曲线对称变换 最值或位置关系的有关问题 从形式上看 以解答题为主 难度较大 从能力要求上看 要求学生具备一定的数形结合 分析问题和解决问题及运算能力 知识点精讲知识点精讲 一 定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决 证明过程可总结为 变量 函数 定值 具体操作程序如下 1 变量 选择适当的量为变量 2 函数 把要证明为定值的量表示成变量的函数 3 定值 化简得到的函数解析式 消去变量得到定值 求定值问题常见的方法有两种 1 从特殊情况入手 求出定值 再证明该定值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算推理过程中消去变量 从而得到定值 二 求最值问题常用的两种方法 1 几何法 题中给出的条件有明显的几何特征 则考虑用几何图形性质来解决 这 是几何法 2 代数法 题中给出的条件和结论的几何特征不明显 则可以建立目标函数 再求 该函数的最值 求函数的最值常见的方法有基本不等式法 单调性法 导数法和三角换元法 等 这就是代数法 三 求定值 最值等圆锥曲线综合问题的 三重视 1 重视定义在解题中的作用 把定义作为解题的着眼点 2 重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用 3 重视根与系数的关系在解题中的作用 涉及弦长 中点要用根与系数的关系 四 求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系 再求参数的范围 题型归纳及思路提示题型归纳及思路提示 题型题型 150150 平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中的应用 思路提示思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系 并把向量用坐标表 示 常见的应用有如下两个方面 1 用向量的数量积解决有关角的问题 直角 钝角 且不反向 0a b A 0a b A a b 2 锐角 且不同向 0a b A a b 2 利用向量的坐标表示解决共线问题 一 利用向量的数量积解决有关夹角 锐角 直角 钝角 的问题 其步骤是 先写出向量坐标式 再用向量数量积的坐标公式 1212 2222 1122 cos x xy y a b xyxy 例 10 44 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A B两点 O为坐标原点 2 2 0 xpy p 求证 ABO的是钝角三角形 分析分析 证明 ABO的是钝角三角形常用的方法是利用余弦定理 但用余弦定理来解决需计 算出的长 显然较复杂 因为O A B不共线 故可利用来证明 OB OAAB0OA OB A AOB 90 从而得证 解析解析 设 抛物线的焦点坐标 11 A x y 22 B xy 2 2 0 xpy p 0 2 p F 根据题意知 直线AB的斜率存在 若不存在 则A B在原点 矛盾 设直线AB的方程为 由 得 2 p ykx 2 2 2 p ykx xpy 22 20 xpkxp 则 12 2xxpk 2 12 x xp 因为A B两点在抛物线上 所以 2 11 2xpy 2 22 2xpy 两式相乘得 222 12 12 2 44 x xp y y p 11 OAx y 22 OBxy 22 2 1212 3 0 44 pp OA OBx xy yp A 又因为O A B三点不共线 所以 AOB 90 ABO的是钝角三角形 评注评注 直线 与抛物线交于A B两点 则l 2 2 0 xpy p 1 直线 在轴上的截距等于时 AOB 90 ly2p 2 直线 在轴上的截距大于时 AOB 90 ly2p 3 直线 在轴上的截距大于 0 且小于时 AOB 90 ly2p 变式 1 2012 重庆理 20 如图 10 34 所示 设椭圆的中心为原点O 长轴在轴上 上x 顶点为A 左右焦点分别为F1 F2 线段OF1 OF2的中点分别为B1 B2 且 AB1B2是面积为 4 的直角三角形 3 1 求该椭圆的离心率和标准方程 2 过B1作直线 交椭圆于P Q两点 使PB2 QB2 求直线 的方程 ll 变式 2 设A B分别为椭圆的左右顶点 P为直线上不同于的任 22 1 43 xy 4x 4 0 意一点 若直线AP BP分别与椭圆交于异于A B的点M N 证明 点B在以MN为直径的圆 内 变式 3 已知 直线 椭圆 F1 F2分别为椭圆1m 2 0 2 m l xmy 2 2 2 1 x Cy m C的左右焦点 1 当直线 过右焦点F2时 求直线 的方程 ll 2 设直线 与椭圆C交于A B两点 AF1F2和 BF1F2和的重心分别是G H 若原点l O在以线段GH为直径的圆内 求实数的取值范围 m 例 10 45 在直角坐标系中 点P到两点 的距离之和等于 4 设点PxOy 0 3 0 3 的轨迹为C 直线与C交于A B两点 1ykx 1 写出C的方程 2 若 求的值 OA OB k 解析解析 1 设 由椭圆定义可知 点P的轨迹C是以 为焦点 P x y 0 3 0 3 4 长半轴为 2 的椭圆 其短半轴 故曲线C的方程为 1b 2 2 1 4 y x 2 设 由 即 由韦达定 11 A x y 22 B xy 2 2 1 4 1 y x ykx 22 4 230kxkx 理知 12 2 2 4 k xx k 12 2 3 4 x x k 若 即 而 OA OB 1212 0 x xy y 2 121212 1y yk x xk xx 所以 即 2 1212 22 32 1 10 44 k x xy ykk kk 2 410k 解得 1 2 k 评注评注 本题的结论可由 例 10 44 变式 3 的评注中的重要结论顺利得到 由题意 故有 AOB 90 设原点O到直线的距离为 则有OA OB OHd 故可得 又 所以 222 1115 4ab OH 2 5 OHd 1ykx 2 12 5 1 d k 解得 利用此结论求解 可以对利用常规方法求解出的结果加以验证 从而提高解 1 2 k 题的准确率 做到胸有成竹 变式 1 如图 10 35 所示 椭圆的顶点为A1 A2 B1 B2 焦点为 22 22 1 0 xy Cab ab F1 F2 11 7A B 1 1221 122 2 B A B AB F B F SS AA 1 求椭圆C的方程 2 设为过原点的直线 是与垂直相交于P点 与椭圆相交nln 于A B两点的直线 是否存在上述直线 使成立 若存在求出直线1OP l0OA OB A 的方程 若不存在 请说明理由 l 5 变式 2 如图 10 36 所示 椭圆的一个焦点是 O为坐标 22 22 1 0 xy Cab ab 1 0 F 原点 设过点F的直线 交椭圆于A B两点 若直线 绕点F任意转动 恒有ll 求的取值范围 222 OAOBAB a 二 利用向量的坐标表示解决共线问题 向量共线的条件是或 a b ab 1221 x yx y 例 10 46 在平面直角坐标系中 经过点且斜率为的直线 与椭圆xOy 0 2 kl 有两个不同的交点P Q 2 2 1 2 x y 1 求的取值范围 k 2 设椭圆与轴正半轴 轴正半轴的交点分别为A B 是否存在常数 使得向量xyk 与共线 若存在 求的值 若不存在 请说明理由 OP OQ AB k 分析分析 将向量共线转化为坐标关系求解 解析解析 1 设直线 方程为 代入椭圆得即l2ykx 2 2 2 1 2 x kx 22 21 4 220kxkx 则 解得 或 222 4 2 4 21 21680kkk 2 2 k 2 2 k 2 设 则 11 P x y 22 Q xyOP OQ 1212 xxyy 由方程 得 12 2 4 2 12 k xx k 1212 2 2yyk xx 6 又 2 0 0 1 AB 2 1 AB 所以向量 与共线等价于 OP OQ AB 1212 2 xxyy 将 代入上式 解得 2 2 k 由 1 知 或 故没有符合题意的常数 2 2 k 2 2 k k 变式 1 设椭圆的左右焦点分别为F1 F2 离心率 直线 22 22 1 0 xy ab ab 2 2 e 如图 10 37 所示 M N是 上的两个动点 2 a l x c l 12 0FM F N A 1 若 求的值 12 2 5FMF N a b 2 证明 当取最小值时 与共线 MN 12 FMF N 12 F F 例 10 47 设A B是椭圆上的两点 并且点满足 当 2 2 1 2 x y 2 0 N NANB 7 时 求直线AB斜率的取值范围 1 1 5 3 分析分析 已知的取值范围 求直线斜率范围关键在于如何用表示 突破口在于将 k 转化为坐标关系 NANB 解析解析 因为 所以A B N三点共线 又点N的坐标为 设直线AB的NANB 2 0 方程为 则 由 消去得 2 yk x 0k 2 2 1 2 2 x y yk x x 由条件可知 222 21 420kykyk 解得 222 4 4 21 20 0 kkk k 2 0 2 k 设 则 11 A x y 22 B xy 12 2 4 12 k yy k 2 12 2 2 12 k y y k 由 得 NANB 1122 2 2 xyxy 所以有 12 12 2 2 xx yy 122 2 2 2 122 2 4 1 12 2 12 k yyy k k y yy k 消去得 令 则在 2 y 2 2 1 8 12k 2 1 1 2h 1 1 5 3 h 区间上为减函数 从而 解得 或 符合 1 1 5 3 16 3 2 8 12k 36 5 1 2 k 2 6 k 因此直线AB斜率的取值范围为 2 0 2 k 1 2 2 6 2 6 1 2 评注评注 本题在消元上有个技巧 当时消去得关于的一元二次方程 12 xx yx 消去就会得与之间的关系 当 122 1 b xxx a 2 122 c x xx a 2 x a b c 时消去 12 yy x 变式 1 已知F1 F2分别为椭圆的左右焦点 直线过点F1且垂直于椭圆的长 22 1 32 xy 1 l 8 轴 动直线垂直于直线 垂足为D 线段DF2的垂直平分线交于点M 1 求动点M 2 l 1 l 2 l 的轨迹C的方程 2 过点F1作直线交曲线C于两个不同的点P和 Q 设 若 11 F PFQ 2 3 求的取值范围 22 F P F Q A 变式 2 过点的直线交抛物线于A B两点 交直线于点M 已知 1 0 F 2 4yx 1l x 求的值 1 MAAF 2 MBBF 12 题型题型 151151 定点问题定点问题 思路提示思路提示 1 直线过定点 由对称性知定点一般在坐标轴上 如直线 若为常量 ykxb b 则直线恒过点 若为常量 则直线恒过 0 b b k 0 b k 2 一般曲线过定点 把曲线方程变为 为参数 解方程组 12 0f x yfx y 即得定点 1 2 0 0 f x y fx y 模型一 三大圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 中的顶点直角三角形的斜边所在的直线 过定点 例 10 48 已知椭圆 直线与椭圆交于A B两点 A B不是原点 22 1 43 xy lykxm 且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点 求证 直线 过定点 并求出该定点的坐标 l 分析分析 要求直线过定点 必须知道直线中与的关系 lykxm km 解析解析 设 由 消去得 11 A x y 22 B xy 22 1 43 xy ykxm y 由条件可知 222 43 84120kxkmxm 即 222 8 4 43 412 0kmkm 22 43mk 9 则 12 2 8 43 km xx k 2 12 2 412 43 m x x k 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点 所以 即 2 0 1122 2 2 0 xyxy A 即 121212 2 40 x xxxy y 121212 2 4 0 x xxxkxm kxm 整理得 将 代入 化简得 22 1212 1 2 40kx xkmxxm 即或 22 71640mkmk 2mk 2 7 k m 1 当时 过右顶点 与题意不符 故舍去 2mk 2lykxk 2 0 2 当时 过定点 且满足 符合 2 7 k m 2 7 k lykx 2 0 7 22 43mk 所以过定点 lykxm 2 0 7 评注评注 已知椭圆 直线与椭圆交于A B两点 且以 22 22 1 0 xy ab ab lykxm AB为直径的圆过椭圆的右顶点A1 求证 如图 10 38 所示 设 由 11 A x y 22 B xy 消去得 22 22 1 xy ab ykxm y 由条件可知 222222222 20a kbxa kmxa ma b 即 注 截距的平 222222222 2 4 0a kma kba ma b 2222 ma kb 方小于二次方程的二次项系数 请记住 则 2 12 222 2a km xx a kb 222 12 222 amb x x a kb 因为AB为直径的圆过椭圆的右顶点A1 所以 0 a 10 又 11 0A A A B A 111 A Axa y 122 A Bxa y 所以 即 1122 0 xa yxa y A 2 121212 0 x xa xxay y 即 2 121212 0 x xa xxakxm kxm 整理得 将 代入 化简得 222 1212 1 0kx xkma xxma 2222 0makabma abk 1 当时 过右顶点 与题意不符 故舍去 mak lykxak 0 a 2 当时 过定点 且满足 22 22 a abk m ab 22 22 a abk lykx ab 22 22 0 a ab ab 符合题意 2222 ma kb 所以 过定点 lykxm 22 22 0 a ab ab 同理可证 若AB为直径的圆过左顶点 则 过定点 0 a l 22 22 0 a ab ab 过上顶点时 过定点 0 bl 22 22 0 b ba ab 过下顶点时 过定点 0 b l 22 22 0 b ba ab 类比椭圆 对于双曲线 上异于右顶点的两动点A B 22 22 1 0 0 xy ab ab 若AB为直径的圆过右顶点 则过定点 同理 若该圆过左顶点 0 a AB l 22 22 0 a ab ab 则过定点 0 a AB l 22 22 0 a ab ab 变式 1 已知椭圆的左顶点为A 不过点A的直线与椭圆交于不 2 2 1 4 x y lykxb 同的两点P Q 当 求与的关系 并证明直线 过定点 0AP AQ Akbl 11 变式 2 2012 北京海淀高三期末理 19 已知焦点在轴上的椭圆C过点 且离心率x 0 1 为 Q为椭圆C的左顶点 3 2 1 求椭圆C的标准方程 2 已知过点的直线 与椭圆C交与A B两点 6 0 5 l 若直线 垂直于轴 求 AQB的大小 lx 若直线 与轴不垂直 是否存在直线 使得 QAB为等腰三角形 如果存在 lxl 求出直线 的方程 如果不存在 请说明理由 l 例 10 49 已知抛物线上异于顶点的两动点A B满足以AB为直径的圆过 2 2 0 ypx p 顶点 求证 AB所在的直线过定点 并求出该定点的坐标 分析分析 要证明过定点 必须先求得其方程 AB l 解析解析 由题意知的斜率不为 0 否则只有一个交点 故可设 设 AB l AB lxtym 由 消去得 从而 11 A x y 22 B xy 2 2ypx xtym x 2 220yptypm 22 2 2 4 2 480ptpmp tpm 即 且 2 20ptm 12 12 2 2 yypt y ypm 因为以 AB 为直径的圆过顶点 所以 即 也即 0 0 O0OA OB 1212 0 x xy y 把式 代入化简得 得或 22 12 12 0 22 yy y y pp 2 0m mp 0m 2mp 1 当时 过顶点 与题意不符 故舍去 0m xty AB l 0 0 O 12 图 10 39 y2 2px y x O P B A 2 当时 令 得 所以过定点 此时2mp 2xtyp 0y 2xp AB l 2 0 p 满足 2mp 2 20ptm 综上 过定点 AB l 2 0 p 评注 评注 1 将斜率存在的直线的方程设为 将斜率不为 0 的直线的方程设为ykxb 抛物线中 对于过定点问题 xtym 2 2ypx 22 12 121212 2 4 y y x xy yy y p 必须引入参数 最后令参数的系数为 0 如本题 先引入参数之后 就剩下参数 直 t mt 线中令参数 的系数为 0 则直线过定点 2xtyp ty 2 0 p 2 抛物线 上两异于原点O的动点A B满足 则AB所在的直 2 2xpy 0 p OAOB 线过定点 抛物线 上两异于原点O的动点 A B 满足 0 2 p 2 2ypx 0 p OAOB 则 AB 所在的直线过定点 2 0 p 变式变式 1 1 如图 10 39 所示 已知定点在抛物线 00 P xy 2 2ypx 上 过点作两直线分别交抛物线于A B 且以AB为直 0 p P 12 l l 径的圆过点 P 证明 直线AB过定点 并求出此定点的坐标 变式变式 2 2 已知抛物线 过点作两直线分别与抛物线交于 2 4yx 1 2 M 12 l l 两点 且的斜率满足 求证 直线过定点 并求出此定点的 A B 12 l l 12 k k 12 2k k AB 坐标 模型二 模型二 三大圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 中 若过焦点的弦为 则焦点所在AB 坐标轴上存在唯一定点 使得为定值 NNA NB 例例 10 5010 50 2012 北京海淀二模理 18 已知椭圆的右焦点为 22 22 1 0 xy Cab ab 且点在椭圆上 1 0 F 2 1 2 C 1 求椭圆的标准方程 C 2 已知动直线 过点 且与椭圆交于两点 试问轴上是否存在定点 使lFC A BxQ 13 得恒成立 若存在 求出点的坐标 若不存在 请说明理由 7 16 QA QB Q 解析解析 1 由题意知 根据椭圆的定义得 1c 即 所以 所以椭圆的标 22 22 2 1 1 2 2 22 a 2a 2 2 11b C 准方程为 2 2 1 2 x y 2 假设在轴上存在点 使得恒成立 x 0 Q m 7 16 QA QB 当直线 的斜率为 0 时 则 解得l 2 0 2 0 AB 7 2 0 2 0 16 mm 5 4 m i 当直线 的斜率不存在时 由于l 22 1 1 22 AB 所以 52527 1 1 424216 5 4 m ii 下面证明时 恒成立 5 4 m 7 16 QA QB 显然直线 的斜率为 0 时 l 7 16 QA QB 当直线 的斜率不为 0 时 设直线 的方程为 ll1xty 1122 A x yB xy 由可得 2 2 1 2 1 x y xty 22 2 210 tyty 22 2 4 2 0tt 因为 所以 12 2 12 2 2 2 1 2 t yy t y y t 11 1xty 22 1xty 11221212 5511 4444 QA QBxyxytytyy y 22 1212 22 22 2 11121 1 1 41624216 2217 2 2 1616 tt ty yt yyt tt tt t 14 图 10 40 O y x B A P x0 y 0 Q 综上所述 在轴上存在点 使得恒成立 x 5 0 4 Q 7 16 QA QB 变式变式 1 1 已知双曲线的左 右焦点分别为 过点的动直线与双曲线相 22 2xy 12 F F 2 F 交于两点 在轴上是否存在定点 使得为常数 若存在 求出点的坐 A BxCCA CB C 标 若不存在 请说明理由 题型题型 152152 定直线问题定直线问题 模型 模型 已知椭圆外一点 当过点的动直线 与椭圆相交 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xyPl 于不同的两点时 在线段上取一点 满足 A BABQ APAQ PBQB 求证 点总在某定直线上 并求出该直线的方程 Q 证明证明 如图 10 40 所示 设 由题意知 1122 A x yB xyQ x y PAPB AQQB 设A在P Q之间 又Q在P B之间 故 0 PAAQ 因为 所以 由PBBQ PBBQ 1 PAAQ 得 解得 101011 xxyyxx yy 0 1 0 1 1 1 xx x yy y 同理 由得 解得PBBQ 202022 xxyyxxyy 0 2 0 2 1 1 xx x yy y 因为点 A 在椭圆上 所以 22 00 22 11 1 xxyy ab 即 22 2 00 22 1 xxyy ab 同理 点 B 在椭圆上 得 22 2 00 22 1 xxyy ab 15 由 得 即 00 22 2 2 2 2 4 xxyy ab 00 22 1 x xy y ab 所以点在定直线上 Q 00 22 1 x xy y ab 类比椭圆 对于双曲线有点在定直线上 Q 00 22 1 x xy y ab 再有P Q的对等性知 当P在椭圆内 仍有上述结论 双曲线亦同 已知抛物线 定点不在抛物线上 过点的动直线交抛 2 2ypx 0 p 00 P xyP 物线于两点 在直线上取点 满足 A BABQ APAQ PBQB 求证 点在某定直线上 并求其方程 Q 证明证明 设 由题意知 1122 A x yB xyQ x y PAPB AQQB 设A在P Q之间 又Q在P B之间 故 0 PAAQ 因为 所以 由PBBQ PBBQ 1 PAAQ 知 解得 101011 xxyyxx yy 0 1 0 1 1 1 xx x yy y 故点A坐标为 00 11 xx yy 同理 由知 解得PBBQ 202022 xxyyxxyy 0 2 0 2 1 1 xx x yy y 故点B坐标为 00 11 xx yy 因为点 A 在抛物线上 所以 2 00 2 11 yyxx p 即 2 00 2 1 yypxx 同理 2 00 2 1 yypxx 由 得 即 00 2 2 4 yypxx 00 y yp xx 所以点在定直线上 Q 00 y yp xx 16 图 10 41 O y x B A P 4 1 Q 注 注 三大圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 中 当定点在曲线上时 相应的定 00 P xy 直线 均为在定点处的切线 00 22 1 x xy y ab 00 22 1 x xy y ab 00 y yp xx 00 P xy 例例 10 5110 51 设椭圆过点 且左焦点为 22 22 1 0 xy Cab ab 2 1 M 1 2 0 F 1 求椭圆的方程 C 2 当过点的动直线 与椭圆相交于两不同点时 在线段上取点 P 4 1 lC A BABQ 满足 证明 点总在某定直线上 AP QBAQPB Q 分析分析 用待定系数法求解椭圆的方程 巧妙地利用定比分点解答点的轨迹问题 Q 解析解析 1 由题意知 解得 所求椭圆方程为 2 22 222 2 21 1 c ab cab 22 4 2ab 22 1 42 xy 2 如图 10 41 所示 设 1122 A x yB xyQ x y 由题意知 PAPB AQQB 不妨设A在P Q之间 又Q在P B之间 故 0 PAAQ 因为 所以 由PBBQ PBBQ 1 PAAQ 得 解得 1111 4 1 xyxx yy 1 1 4 1 1 1 x x y y 同理 由得 解得PBBQ 2222 4 1 xyxxyy 2 2 4 1 1 1 x x y y 因为点 A 在椭圆上 所以 22 41 11 1 42 xy 即 22 2 4 1 1 42 xy 17 同理 点 B 在椭圆上 得 22 2 4 1 1 42 xy 由 得 因为所以 8 22 2 4 42 xy 0 1 2 y x 所以点在定直线上 Q220 xy 评注评注 由模型的结论不难知动点总在定直线上 Q x y 00 22 1 x xy y ab 得 即 22 00 4 2 4 1abxy 4 1 42 xy 220 xy 题型题型 153153 定值问题定值问题 思路提示思路提示 求定值问题常见的方法有两种 1 从特殊入手 求出其值 再证明这个值与变量无关 这符合一般与特殊的思维辩证 关系 简称为 特殊探路 一般论证 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 模型 模型 三大圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 中 曲线上的一定点 P 与曲线上的两动点 A B满足直线PA与直线PB的斜率互为相反数 则直线AB的斜率为定值 例例 10 5210 52 已知椭圆 为椭圆上的点 其坐标为 为椭圆 22 1 43 xy C AC 3 1 2 A E F 上的两动点 如果直线的斜率与的斜率互为相反数 证明 直线EF的斜率为CAEAF 定值 并求出该定值 分析分析 要求直线EF的斜率 必须知道E F的坐标 解析解析 设直线的方程为 联立 消得AE 3 1 0 2 yk xk 22 1 43 3 1 2 xy yk x y 2222 3 43 128 4 120 2 kxkkxk 则 2 2 22 3 4 12 4123 2 43 43 E A k kk x kxk 又直线的斜率与的斜率互为相反数 AEAF 故以上用代替 kk 2 2 4123 43 F kk x k 所以 33 1 1 2 22 FE FEFE EF FEFEFE k xk x yyk xxk k xxxxxx 18 图 10 42 x y O P B A 把 两式代入上式 得 为定值 1 2 EF k 评注评注 本题中可以用换元法简化计算 可以设 得 3 1 2 xt ys 3 1 2 xtys 将代入椭圆方程中得 且 为直线的斜率 联 x y 22 3 3 1 4 12 2 ts skt kAE 立直线方程与椭圆方程得 消得关于 的一元二次方程 22 3 3 1 4 12 2 skt ts st 得 同理 22 43 126 0ktkt 1 2 2 1 2 126 43 126 43 k t k kk s k 2 2 2 2 2 126 43 126 43 k t k kk s k 由 得 11 3 1 2 E ts 22 3 1 2 F ts 为定值 22 22 21 21 22 612126 121 4343 126126 242 4343 EF kkkk ssk kk k kk ttk kk 变式变式 1 1 已知A B C是长轴为 4 焦点在轴上的椭圆上的三点 点A是长轴的一个端点 x BC过椭圆的中心O 且 0 2 AC BCBCAC 1 求椭圆的方程 2 如果椭圆上的两点 使得的平分线垂直于 问 P QPCQ OA 是否总存在实数 使得 说明理由 PQAB 变式变式 2 2 如图 10 42 所示 过抛物线上一定点 2 2 0 ypx p 作两条直线分别交抛物线于 00 P xy 0 0 y 1122 A x yB xy 1 求该抛物线上纵坐标为的点到焦点F的距离 2 p 2 当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时 求的值 并证明直线AB的斜率是非 12 0 yy y 零常数 题型 154 最值问题 思路提示思路提示 有两种求解方法 一是几何方法 所求最值量具有明显的几何意义时可利用几何性质 19 y x 图 10 43 O F1F2 A M d2 d1 FO y2 4x x 2y 12 0 y x 图 10 44 P 结合图形直观求解 二是目标函数法 即选取适当的变量 建立目标函数 然后按照求函 数的最值方法求解 同时要注意变量的范围 例例 10 5310 53 设椭圆的左 右焦点分别为 点是椭圆上任意一点 点 22 1 2516 xy 12 F FM 的坐标为 求的最大值和最小值 A 2 1 1 MFMA 分析分析 本题若设 建立目标函数 则会作茧自缚 但是注 M x y 1 MAMFf x y 意到为椭圆左焦点 联想到椭圆定义及三角形中边的关系不等式时 问题就容易获解 1 F 解析解析 如图 10 43 所示 12 3 0 3 0 FF 因为在椭圆上 所以有 M 12 210MFMFa 令 得 1 ZMFMA 2 10 ZMAMF 当三点不共线时 有 2 M A F 222 AFMAMFAF 当落在的延长线时 M 2 F A 22 MAMFF A 当落在的延长线时 M 2 AF 22 MAMFF A 所以 22 max2 10 10 23 1 0 102ZF A min2 10 102ZF A 评注评注 这里利用椭圆定义 三角形两边之差小于或等于 注意等号成立的条件 第三边 使与曲线有关的最值转化为直线段间的最值 应明确这里不能用 求得的最小值 原因是取不到等号 11 26FMAMF A 1 FMAM 26 如果要取到等号 那么必须在线段上 但这是不可能的 M 1 F A 变式变式 1 1 如图 10 44 所示 已知点是抛物线上的点 P 2 4yx 设点到此抛物线的准线的距离为 到直线P 1 d 2120l xy 的距离为 求的最小值 2 d 12 dd 变式变式 2 2 已知点为双曲线上的动点 求P 2 2 1 4 x y 3 5 4 5 5 0 55 MF 的最大值及此时点的坐标 MPFP P 例例 1010 5454已知椭圆 点为椭圆上的动点 若的坐标分别是 2 2 1 4 y x M C D 20 M P D C B A O x y 图 10 45 求的最大值 0 3 0 3 MCMD 分析分析 求积的最大值 由 和为定值积有最大值 知 必须找出和为定值 解析解析 由题设知是椭圆的上 下焦点 故由椭圆的定义知 D C 2 44MCMD 所以 当且仅当时取等号 22 4 4 22 MCMD MCMD MCMD 即为左 右顶点时取等号 所以 当为左 右顶点时 取得最大值 4 MM MCMD 评注评注 本题运用基本不等式求最值 但要注意使用基本不等式的条件 一正 二定 三相 等 四同时 积为定值时 和最小 和为定值时 积最大2 0 abab a b 取等号的条件均为 2 0 2 ab aba b ab 变式变式 1 1 已知椭圆在第一象限部分为曲线 动点在上 在点处的 2 2 1 4 y x CPCCP 切线与轴的交点分别为 且向量 求的最小值 x y A BOMOAOB OM 例例 10 5510 55 如图 10 45 所示 已知抛物线与圆相交 2 E yx 222 4 0 Mxyrr 于四点 A B C D 1 求的取值范围 r 2 当四边形的面积最大时 ABCD 求对角线的交点的坐标 AC BDP 解析解析 1 将代入 并化简得 2 yx 222 4 xyr 22 7160 xxr 因为与有四个交点的充要条件是方程 有两个不等的正根 由此得EM 12 x x 解得 22 12 2 12 7 4 16 0 70 160 r xx x xr 2 15 16 4 r 又 所以的取值范围是 0r r 15 4 2 2 不妨设与的四个交点坐标分别为EM 1111 A xxB xx 22 C xx 则直线的方程分别为 22 D xx AC BD 21 11 21 xx yxxx xx 21 11 21 xx yxxx xx 21 解得点的坐标为 P 12 0 x x 设 由及 1 知 12 tx x 2 16tr 7 0 2 t 由于四边形为等腰梯形 因而其面积 ABCD 1221 1 22 2 Sxxxx 即 将 代入上式 22 12121212 2 4 Sxxx xxxx x 12 7xx 12 x xt 并令 得 2 f tS 2 7 72 72 0 2 f tttt 求导数得 令 解得 舍去 2 27 67 fttt 0ft 77 62 tt 显然当时 当时 故当且仅当时 7 0 6 t 0ft 77 62 t 0ft 7 6 t 有最大值 即四边形的面积最大 故所求的点的坐标为 f tABCDP 7 0 6 另解另解 当且仅当 223 1128 72 72 72 144 223 f ttttt 时 即时取等号 所以点的坐标为 72144tt 7 6 t P 7 0 6 评注评注 本题主要有两个考查点 一个是考查将曲线与曲线的交点问题转化为二次方程的根 的问题 是较基本的问题 另一个是考查四边形的面积最大值问题 是本题的核ABCD 心点 要注意本题中表面上求点的坐标 实质上是求四边形的面积最大值 而且ABCD 在求目标函数最值的过程中 利用了导数判断单调性的方法 从而使本题的综合性大大 提高 变