解三角形专题

1 解三角形专题 一 基础知识 1 正弦定理 其中为外接圆的半径2 sinsinsin abc R ABC RABC 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化 其原则为关于边 或是角的正弦值是否具 备齐次的特征 如果齐次则可直接进行边化角或是角化边 否则不可行 例如 1 222222 sinsinsinsinsinABABCababc 2 恒等式 coscossincossincossinbCcBaBCCBA 3 22 sinsin sin bcBC aA 2 余弦定理 222 2cosabcbcA 变式 1 222 cos 2 bca A bc 此公式通过边的大小 角两边与对边 可以判断出是钝角还是锐角A 当时 即为锐角 222 bca cos0A A 当 勾股定理 时 即为直角 222 bca cos0A A 当时 即为钝角 222 bca cos0A A 观察到分式为齐二次分式 所以已知的值或者均可求出 a b c a b ccosA 2 此公式在已知和时不需要计算出的值 进 2 2 21cosabcbcA bc bc b c 行整体代入即可 3 三角形面积公式 1 为三角形的底 为对应的高 1 2 Sa h ah 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAacB 3 为三角形内切圆半径 此公式也可用于求内切圆半径 1 2 Sabcr r 4 海伦公式 1 2 Sp papbpcpabc 5 向量方法 其中为边所构成的向量 方向任意 2 2 1 2 Saba b a b a b 证明 2222222 111 sinsin1cos 244 SabCSa bCa bC 2 而 221 cos 2 SababC cosa babC 2 2 1 2 Saba b 坐标表示 则 1122 ax yb xy 1221 1 2 Sx yx y 4 三角形内角和 两角可表示另一角 ABC sin sinsinABCC cos coscosABCC 5 确定三角形要素的条件 1 唯一确定的三角形 已知三边 SSS 可利用余弦定理求出剩余的三个角 已知两边及夹角 SAS 可利用余弦定理求出第三边 进而用余弦定理 或正弦定理 求出剩余两角 两角及一边 AAS 或 ASA 利用两角先求出另一个角 然后利用正弦定理确定其它两条 边 2 不唯一确定的三角形 已知三个角 AAA 由相似三角形可知 三个角对应相等的三角形有无数多个 由正弦 定理可得 已知三个角只能求出三边的比例 sin sin sina b cABC 已知两边及一边的对角 SSA 比如已知 所确定的三角形有可能唯一 也有可 a b A 能是两个 其原因在于当使用正弦定理求时 而B sin sin sinsin abbA B ABa 时 一个可能对应两个角 1 个锐角 1 个钝角 所以三角形可0 22 B sinB 能不唯一 判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点 具体可参考例 1 6 解三角形的常用方法 1 直接法 观察题目中所给的三角形要素 使用正余弦定理求解 2 间接法 可以根据所求变量的个数 利用正余弦定理 面积公式等建立方程 再进行 求解 7 三角形的中线定理与角平分线定理 1 三角形中线定理 如图 设为的一条中线 ADABC 则 知三求一 2222 2ABACADBD 证明 在中ABD 222 2cosABADBDAD BDADB 222 2cosACADDCAD DCADC 为中点 D BCBDCD D A B C 3 ADBADC coscosADBADC 可得 2222 2ABACADBD 2 角平分线定理 如图 设为中ADABC 的角平分线 则 BAC ABBD ACCD 证明 过作 交于 DDEACABE BDBE DCAE EDADAC 为的角平分线AD BAC EADDAC EDAEAD 为等腰三角形 EAD EAED 而由可得 BDBEBE DCAEED BEDBAC BEAB EDAC ABBD ACCD 二 典型例题 例 1 1 的内角所对的边分别为 若 则ABC A B C a b c2 6 60cbB C 2 的内角所对的边分别为 若 则ABC A B C a b c2 6 30cbC B 思路 1 由已知求可联想到使用正弦定理 B b cC sin sin sinsin bccB C BCb 代入可解得 由可得 所以 1 sin 2 C cb 60CB 30C 答案 30C 2 由已知求可联想到使用正弦定理 C b cB sin sin sinsin bcbC B BCc 代入可解得 则或 由可得 所以和 3 sin 2 B 60B 120B cb CB 60B 均满足条件120B 答案 或60B 120B 小炼有话说 对比 1 2 可发现对于两边及一边的对角 满足条件的三角形可能唯一确 定 也有可能两种情况 在判断时可根据 大边对大角 的原则 利用边的大小关系判断出 A B C D E 4 角之间的大小关系 判定出所求角是否可能存在钝角的情况 进而确定是一个解还是两个解 例 2 在中 若的面积等于 则边长为 ABC 2 60BCB ABC 3 2 AC 思路 通过条件可想到利用面积与求出另一条边 再利用余弦定理求出 S BCB ABAC 即可 解 1133 sin2 2222 ABC SAB BCBAB 1AB 222 1 2cos142 23 2 ACABBCAB BCB 3AC 答案 3 例 3 2012 课标全国 已知分别为三个内角的对边 且有 a b cABC A B C cos3 sin0aCaCbc 1 求 A 2 若 且的面积为 求 2a ABC 3 b c 1 思路 从等式入手 观察每一项关于齐次 考虑cos3 sin0aCaCbc a b c 利用正弦定理边化角 所涉及式cos3 sin0sincos3sinsinsinsin0aCaCbcACACBC 子与关联较大 从而考虑换掉 展开化简后即可求出 A C sinsinBAC A 解 cos3 sin0aCaCbc sincos3sinsinsinsin0ACACBC sincos3sinsinsinsin0ACACACC sincos3sinsinsincossincossin0ACACACCAC 即 1 3sincos12sin1sin 662 AAAA 5 A C B D 或 舍 66 A 5 66 A 3 A 2 思路 由 1 可得 再由 可想到利用面积与关于的余弦 3 A 3 ABC S 2a A 定理可列出的两个方程 解出即可 b c b c 解 1 sin34 2 ABC SbcAbc 22222 2cos4abcbcAbcbc 可解得 2222 48 44 bcbcbc bcbc 2 2 b c 小炼有话说 通过第 1 问可以看出 在遇到关于边角的方程时 可观察边与角正弦中是 否具备齐次的特点 以便于进行边角互化 另一方面当角同时出现在方程中时 通常 A B C 要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式 然后选择要消去的角 例 4 如图 在中 是边上的点 且 ABC DAC 23 2ABADABBD BCBD 则的值为 sinC 思路 求的值考虑把放入到三角形中 可选的三角形有sinCC 和 在中 已知条件有两边 但是ABC BDC BDC BD BC 缺少一个角 或者边 看能否通过其它三角形求出所需要素 在中 三边比例已知 ABD 进而可求出 再利用补角关系求出 从而中已知两边一角 可解出 BDA BDC BDC C 解 由可设则 23ABBD 2BDk 3ABk 3 4ADk BCk 在中 ADB 22 2 222 323 3 cos 232 32 kkk ADBDAB ADB AD BDkk 3 coscos 3 BDCADB 6 sin 3 BDC 在中 由正弦定理可得 BDC sin6 sin sinsin6 BDBCBDBDC C CBDCBC 6 小炼有话说 1 在图形中求边或角 要把边和角放入到三角形当中求解 在选择三角形 时尽量选择要素多的 并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出 2 本题中给出了关于边的比例 通常对于比例式可考虑引入一个字母 例如本题中的 k 这样可以将比例转化为边的具体数值 便于计算 例 5 已知中 分别是角所对边的边长 若的面积为 且ABC a b c A B CABC S 则等于 2 2 2Sabc tanC 思路 由已知可联想到余弦定理关于的内容 而 2 2 2Sabc cosC 1 sin 2 SabC 所以可以得到一个关于的式子 进而求出 sin cosCCtanC 解 2 2222 1 22sin2 2 SabcabCabcab 而 代入可得 222 2coscababC 222 2cosabcabC sin22cossin22cosabCababCCC 22 4 sin sin22cos 5 3sincos1 cos 5 C CC CC C 4 tan 3 C 答案 4 tan 3 C 例 6 在 中 内角所对的边分别为 已知的面积为 ABC A B C a b cABC 3 15 则的值为 1 2 cos 4 bcA a 思路 已知求可以联想到余弦定理 但要解出的值 所以寻找解出的条件 cosAa b c b c 而代入可得 再由 1 sin3 15 2 ABC SbcA 2 15 sin1cos 4 AA 24bc 可得 所以 2bc 2 222 2cos22cos64abcbcAbcbcbcA 8a 答案 8 例 7 设的内角所对边的长分别为 若 且ABC A B C a b csin3 cos0bAaB 则的值为 2 bac ac b 7 A B C D 2 2 224 思路 由可得 从而 sin3 cos0bAaB sinsin3sincos0BAAB tan3B 解得 从可联想到余弦定理 所以 3 B 2 bac 22222 2cosbacacBacac 有 从而再由可得 所以的 2 22 0acacacac ac 2 bac abc ac b 值为 2 答案 C 小炼有话说 本题的难点在于公式的选择 以及所求也会让我们想到正弦定理 2 bac ac b 但是通过尝试可发现利用角进行计算较为复杂 所以在解三角形的题目中 条件的特征决定 选择哪种公式入手 如果所给是关于边 角正弦的其次式 可以考虑正弦定理 如果条件中 含有角的余弦 或者是边的平方项 那么可考虑尝试余弦定理 例 8 设的内角所对边的长分别为 且 则 ABC A B C a b c 22 6 babc A C A B C D 或 6 4 3 4 4 3 4 思路 由的结构可以联想到余弦定理 可以此为突 22 abbc 222 2cosabcbcA 破口 即 代入解得 进而求出 222 2cosbbcbcbcA 31cb 得到比例代入余弦定理可计算出 31 2 ab a b cC 解 由可得 22 babc 22 abbc 222 2cosabcbcA 222 2cosbbcbcbcA 代入到 2 31cbc 31cb 22 babc 可得 222 31abb 42 331 23 22 abbb 31 1 31 2 a b c 2 2 222 31 131 2 2 cos 2231 2 2 abc C ab 8 4 C 例 9 已知的三边长为三个连续的自然数 且最大内角是最小内角的 2 倍 则最小内ABC 角的余弦值是 A B C D 3 4 5 6 7 10 2 3 思路 不妨考虑 将三个边设为 则 想到正弦abc 1 1axbx cx 2CA 定理 再将利用余弦定理用边表示 列方程解出 从 sinsin2 2cos sinsin cCA A aAA cosAx 而求出cosA 解 设 则abc 1 1axbx cx 2CA sinsin2 2cos sinsin cCA A aAA 代入可得 222222 2 2 cbcabca abcbc 1 1axbx cx 解得 22 2 111 11 xxxx xx x 5x 4 5 6abc 222 3 cos 24 bca A bc 答案 A 小炼有话说 本题的特色在于如何利用 最大内角是最小内角 2 倍 这个条件 可联想到正 余弦的二倍角公式 本题采用正弦二倍角公式 在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找 到联系 如果采用余弦二倍角公式 则有 即便使用余弦定理也会导致 2 cos2cos1CA 方程次数过高 不利于求解 例 10 在中 为边上一点 若ABC DBC 1 120 2 2 BDCDADBAD 的面积为 则 ADC 33 BAC 思路 要求出 可在中求解 通过观察条件BAC ABC 可120 120 2 33 ADC ADBADCADS 从可解 解出 进而求出 再在ADC AD ACBD 中解出 从而三边齐备 利用余弦定理ABD ABABC 可求出BAC 解 1 sin33 2 ADC SAD DCADC A BC D 9 2 33 231 2 sin 3 DC 1 31 2 BDDC 2 2222 2cos22312 2 231 cos 3 ACADDCAD DCADC 6 42 3 631AC 同理 222 2cosABADDBAD DBADB 2 2 2 2312 231 cos 3 6 6AB 2 2 2226631331 1 cos 22 26631 ABACBC BAC AB AC 60BAC 答案 60BAC 小炼有话说 1 本题与例 4 想法类似 都是把所求要素放入到三角形中 同时要通过条 件观察哪个三角形条件比较齐备 可作为入手点解出其他要素 2 本题还可以利用辅助线简化运算 作于 进而利用在 中AMBC MRt ADM 得 再用解出 60 2ADCAD 3 1AMDM 33 ADC S 231CD 进而 则在上31BD BC 3 2 33BMBDDMCMCDDM 所以可得 45 tan23 CM BAMMAC AM 所以15MAC 60BAC 三 近年好题精选 1 设 设的内角的内角所对边的长分别为所对边的长分别为 且 且 则 则ABC A B C a b c1 2 4 ABC aBS sin A A BC DM 10 A B C D 2 10 2 50 82 82 1 10 2 设 设的内角的内角所对边的长分别为所对边的长分别为 且 且 则 则的值为的值为ABC A B C a b c3 1 2bcAB a A B C D 22 232 3 3 在 在中 中 为为边上一点 边上一点 若 若ABC DBC2 2 45DCBD ADADC 则 则 2ACAB BD A B C D 23 425 35 4 2015 北京 在 北京 在中 中 则 则 ABC 4 5 6abc sin2 sin A C 5 2015 广东 设 广东 设的内角的内角的对边分别为的对边分别为 若 若ABC A B C a b c 则 则 1 3 sin 26 aBC b 6 2015 福建 若锐角 福建 若锐角的面积为的面积为 且 且 则 则等于等于 ABC 10 35 8ABAC BC 答案 答案 7 7 7 7 20152015 天津 在 天津 在中 内角中 内角的对边分别为的对边分别为 已知 已知的面积为的面积为ABC A B C a b cABC 则 则的值为的值为 3 15 1 2 cos 4 bcA a 8 2014 天津 在 天津 在中 内角中 内角的对边分别为的对边分别为 已知 已知 ABC A B C a b c 1 4 bca 则 则的值为的值为 2sin3sinBC cosA 9 2014 山东 在 山东 在中 已知中 已知 当 当时 时 的面积为的面积为ABC tanAB ACA 6 A ABC 10 2014 辽宁 在 辽宁 在中 内角中 内角的对边分别为的对边分别为 且 且 已知 已知ABC A B C a b cac 求 求 1 2 cos 3 3 BA BCBb 1 1 的值的值 a c 2 2 的值的值 cos BC 1111 20152015 陕西 设 陕西 设的内角的内角的对边分别为的对边分别为 向量 向量与与ABC A B C a b c 3mab 11 平行平行 cos sinnAB 1 1 求 求 A 2 2 若 若 求 求的面积的面积7 2ab ABC 1212 20152015 新课标 新课标 IIII 在 在中 中 是是上的点 上的点 平分平分 的面积的面积ABC DBCADBAC ABD 是是面积的面积的 2 2 倍倍ADC 1 1 求 求 sin sin B C 2 2 若 若 求 求的长的长 2 1 2 ADDC BD AC 1313 20152015 安徽 在 安徽 在中 中 点 点在在边上 边上 ABC 3 6 3 2 4 AABAC DBC 求 求的长的长ADBD AD 1414 2015 2015 江苏 在 江苏 在中 已知中 已知ABC 2 3 3 ABACA 1 1 求 求的长的长BC 2 2 求 求的值的值sin2C 习题答案 习题答案 1 答案 A 解析 1 sin24 2 2 ABC SacBc 代入可得 222 2cosbacacB 2 2 1 322 1 4 225 2 b 5b 2 sinsin sinsin10 aba AB ABb 2 答案 D 解析 2AB sinsin22sincosABBB 2 cosabB 222 cos 2 acb B ac 2222 1 9 26 22 acba aba aca 22 38aa 2 2242 3aa 3 答案 C 解析 设 则 由余弦定理可得 BDx 2CDx 222 2cos135ABADBDADBD A BC D A B C D 12 代入可得 222 2cos45ACADCDADCD 2 2 2 2 22 244 ABxx ACxx 2ACAB 解得 2 2 122 2244 xx xx 25x 4 答案 1 解析 222 sin2sin253616 4 2cos221 sinsin22 5 66 AAbcaa A CCbcc 5 答案 1 解析 由及可得 从而 由正弦定理可得 1 sin 2 B 6 C 6 B 2 3 A sinsin ab AB 解得 1b 6 答案 7 解析 由 可得 即 再由余弦定理可计算 1 sin 2 ABC SAB ACA 3 sin 2 A 3 A 22 2cos7BCACABAB ACA 7 答案 8 解析 2 115 cossin1cos 44 AAA 1 sin3 1524 2 ABC SbcAbc 由余弦定理可得 2 222 2cos21cos64abcbcAbcbcA 8a 8 答案 1 4 解析 由可得代入到即可得到 不妨2sin3sinBC 23bc 1 4 bca 4 3 2a b c 设 则 4 3 2ak bk ck 222222 94161 cos 22 324 bcakkk A bckk 9 答案 1 6 解析 sin tancos cos A AB ACAbcA A 13 2 sin cos A bc A 2 2 2 11 sin11 sintan 22 cos26 ABC A SbcAA A 10 解析 由可得 2BA BC cos2acB 6ac 由余弦定理可得 即 2 2 21c