11-12学年高中数学 2.1.1.1 归纳推理同步练习 新人教A版选修2-2

学而思网校 1 选修选修 2 22 2 2 1 12 1 1 第第 1 1 课时课时 归纳推理归纳推理 一 选择题 1 关于归纳推理 下列说法正确的是 A 归纳推理是一般到一般的推理 B 归纳推理是一般到个别的推理 C 归纳推理的结论一定是正确的 D 归纳推理的结论是或然性的 答案 D 解析 归纳推理是由特殊到一般的推理 其结论的正确性不一定 故应选 D 2 下列推理是归纳推理的是 A A B为定点 动点P满足 PA PB 2a AB 得P的轨迹为椭圆 B 由a1 1 an 3n 1 求出S1 S2 S3 猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C 由圆x2 y2 r2的面积 r2 猜出椭圆 1 的面积S ab x2 a2 y2 b2 D 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B 解析 由归纳推理的定义知 B 是归纳推理 故应选 B 3 数列 an 2 5 11 20 x 47 中的x等于 A 28 B 32 C 33 D 27 答案 B 解析 因为 5 2 3 1 11 5 6 3 2 20 11 9 3 3 猜测 x 20 3 4 47 x 3 5 推知x 32 故应选 B 4 在数列 an 中 a1 0 an 1 2an 2 则猜想an是 A 2n 2 1 2 B 2n 2 C 2n 1 1 D 2n 1 4 答案 B 解析 a1 0 21 2 学而思网校 2 a2 2a1 2 2 22 2 a3 2a2 2 4 2 6 23 2 a4 2a3 2 12 2 14 24 2 猜想an 2n 2 故应选 B 5 某人为了观看 2012 年奥运会 从 2005 年起 每年 5 月 10 日到银行存入a元定期储 蓄 若年利率为p且保持不变 并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期 到 2012 年 将所有的存款及利息全部取回 则可取回的钱的总数 元 为 A a 1 p 7 B a 1 p 8 C 1 p 7 1 p a p D 1 p 8 1 p a p 答案 D 解析 到 2006 年 5 月 10 日存款及利息为a 1 p 到 2007 年 5 月 10 日存款及利息为 a 1 p 1 p a 1 p a 1 p 2 1 p 到 2008 年 5 月 10 日存款及利息为 a 1 p 2 1 p 1 p a 1 p a 1 p 3 1 p 2 1 p 所以到 2012 年 5 月 10 日存款及利息为 a 1 p 7 1 p 6 1 p a 1 p 1 1 p 7 1 1 p 1 p 8 1 p a p 故应选 D 6 已知数列 an 的前n项和Sn n2an n 2 而a1 1 通过计算a2 a3 a4 猜想an 等于 A 2 n 1 2 B 2 n n 1 学而思网校 3 C 2 2n 1 D 2 2n 1 答案 B 解析 因为Sn n2an a1 1 所以S2 4a2 a1 a2 a2 1 3 2 3 2 S3 9a3 a1 a2 a3 a3 a1 a2 8 1 6 2 4 3 S4 16a4 a1 a2 a3 a4 a4 a1 a2 a3 15 1 10 2 5 4 所以猜想an 故应选 B 2 n n 1 7 n个连续自然数按规律排列下表 根据规律 从 2010 到 2012 箭头的方向依次为 A B C D 答案 C 解析 观察特例的规律知 位置相同的数字都是以 4 为公差的等差数列 由 234 可知 从 2010 到 2012 为 故应选 C 8 2010 山东文 10 观察 x2 2x x4 4x3 cosx sinx 由归纳推 理可得 若定义在 R R 上的函数f x 满足f x f x 记g x 为f x 的导函数 则g x A f x B f x C g x D g x 答案 D 解析 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容 由例子可看出偶函数求导后都变成 了奇函数 学而思网校 4 g x g x 选 D 体现了对学生观察能力 概括归纳推理的能力的考查 9 根据给出的数塔猜测 123456 9 7 等于 1 9 2 11 12 9 3 111 123 9 4 1111 1234 9 5 11111 12345 9 6 111111 A 1111110 B 1111111 C 1111112 D 1111113 答案 B 解析 根据规律应为 7 个 1 故应选 B 10 把 1 3 6 10 15 21 这些数叫做三角形数 这是因为这些数目的点子可以 排成一个正三角形 如下图 试求第七个三角形数是 A 27 B 28 C 29 D 30 答案 B 解析 观察归纳可知第n个三角形数共有点数 1 2 3 4 n 个 n n 1 2 第七个三角形数为 28 7 7 1 2 二 填空题 11 观察下列由火柴杆拼成的一列图形中 第n个图形由n个正方形组成 学而思网校 5 通过观察可以发现 第 4 个图形中 火柴杆有 根 第n个图形中 火柴杆有 根 答案 13 3n 1 解析 第一个图形有 4 根 第 2 个图形有 7 根 第 3 个图形有 10 根 第 4 个图形有 13 根 猜想第n个图形有 3n 1 根 12 从 1 12 2 3 4 32 3 4 5 6 7 52中 可得一般规律是 答案 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 解析 第 1 式有 1 个数 第 2 式有 3 个数相加 第 3 式有 5 个数相加 故猜想第n个 式子有 2n 1 个数相加 且第n个式子的第一个加数为n 每数增加 1 共有 2n 1 个数相 加 故第n个式子为 n n 1 n 2 n 2n 1 1 2n 1 2 即n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 13 观察下图中各正方形图案 每条边上有n n 2 个圆圈 每个图案中圆圈的总数是 S 按此规律推出S与n的关系式为 答案 S 4 n 1 n 2 解析 每条边上有 2 个圆圈时共有S 4 个 每条边上有 3 个圆圈时 共有S 8 个 每条边上有 4 个圆圈时 共有S 12 个 可见每条边上增加一个点 则S增加 4 S与n 的关系为S 4 n 1 n 2 14 2009 浙江理 15 观察下列等式 C C 23 2 1 55 5 C C C 27 23 1 95 99 9 C C C C 211 25 1 135 139 131313 学而思网校 6 C C C C C 215 27 1 175 179 1713171717 由以上等式推测到一个一般的结论 对于n N N C C C C 14n 154n 194n 14n 14n 1 答案 24n 1 1 n22n 1 解析 本小题主要考查归纳推理的能力 等式右端第一项指数 3 7 11 15 构成的数列通项公式为an 4n 1 第二项指数 1 3 5 7 的通项公式bn 2n 1 两项中间等号正 负相间出现 右端 24n 1 1 n22n 1 三 解答题 15 在 ABC中 不等式 成立 1 A 1 B 1 C 9 在四边形ABCD中 不等式 成立 1 A 1 B 1 C 1 D 16 2 在五边形ABCDE中 不等式 成立 猜想在n边形A1A2 An中 有怎 1 A 1 B 1 C 1 D 1 E 25 3 样的不等式成立 解析 根据已知特殊的数值 总结归纳出一般性的规律 9 16 2 25 3 n 3 n2 n 2 在n边形A1A2 An中 n 3 1 A1 1 A2 1 An n2 n 2 16 下图中 1 2 3 4 为四个平面图 数一数每个平面图各有多少个顶点 多 少条边 它们围成了多少个区域 并将结果填入下表中 平面区域顶点数边数区域数 1 2 3 4 1 观察上表 推断一个平面图形的顶点数 边数 区域数之间有什么关系 2 现已知某个平面图有 999 个顶点 且围成了 999 个区域 试根据以上关系确定这个 平面图有多少条边 学而思网校 7 解析 各平面图形的顶点数 边数 区域数如下表 平面区域顶点数边数区域数关系 1 332 3 2 3 2 2 8126 8 6 12 2 3 695 6 5 9 2 4 10157 10 7 15 2 结论 VEF V F E 2 推广 999E999 E 999 999 2 1996 其顶点数V 边数E 平面区域数F满足关系式V F E 2 故可猜想此平面图可能有 1996 条边 17 在一容器内装有浓度为r 的溶液a升 注入浓度为p 的溶液a升 搅匀后再倒出 1 4 溶液a升 这叫一次操作 设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn 每次注入的溶液浓度都 1 4 是p 计算b1 b2 b3 并归纳出bn的计算公式 解析 b1 a r 100 a 4 p 100 a a 4 1 100 4 5r 1 5p b2 ab1 a 4 p 100 a a 4 1 100 4 5 2r 1 5p 4 52p b3 a b2 a 4 p 100 a a 4 1 100 4 5 3r 1 5p 4 52p 42 53P 归纳得bn 1 100 4 5 nr 1 5p 4 52p 4n 1 5n P 18 设f n n2 n 41 n N N 计算f 1 f 2 f 3 f 10 的值 同时作出 归纳推理 并用n 40 验证猜想是否正确 解析 f 1 12 1 41 43 f 2 22 2 41 47 f 3 32 3 41 53 f 4 42 4 41 61 f 5 52 5 41 71 f 6 6