正弦定理余弦定理习题及答案

1 正正 余余 弦弦 定定 理理 1 在 在是是的的 ABC 中 AB sinsinAB A 充分不必要条件 充分不必要条件 B 必要不充分条件 必要不充分条件 C 充要条件 充要条件 D 既不充分也不必要条件 既不充分也不必要条件 2 2 已知关于 已知关于的方程的方程的两根之和等于两根之积的一半 的两根之和等于两根之积的一半 x 22 coscos2sin0 2 C xxAB 则则一定是一定是 ABC A A 直角三角形 直角三角形 B B 钝角三角形 钝角三角形 C C 等腰三角形 等腰三角形 D D 等边三角形 等边三角形 3 3 已知已知 a b ca b c 分别是分别是 ABC ABC 的三个内角的三个内角 A B CA B C 所对的边 若所对的边 若 a 1 b a 1 b 3 A C 2B A C 2B 则则 sinC sinC 4 4 如图 在如图 在 ABC ABC 中 若中 若 b b 1 1 c c 3 2 3 C 则 则 a a 5 5 在 在ABC 中 角中 角 A B C所对的边分别为所对的边分别为a a b b c c 若 若2a 2b sincos2BB 则角 则角A的大小为的大小为 6 6 在 在中 中 分别为角分别为角的对边 且的对边 且 ABC a b c A B C 2 7 4sincos2 22 BC A 1 求 求的度数的度数A 2 若 若 求 求和和的值的值3a 3bc bc 7 7 在在 ABC ABC 中已知中已知 acosB bcosA acosB bcosA 试判断试判断 ABC ABC 的形状的形状 8 8 如图 在 如图 在 ABC ABC 中 已知中 已知 B 45B 45 求求 A A C C 及及c c 3 a2 b 1 解 在 因此 选ABCAB 中 2 sin2 sinsinsinabRARBAB C 2 答案 由题意可知 从而 2 11 cos coscos2 sin 222 CC AB 2coscos1 cos 1 coscossinsinABABABAB C A B 1 3 2 3 2 又因为所以 所coscossinsin1ABAB cos 1AB AB 0AB 以一定是等腰三角形选 CABC 3 命题立意 本题考察正弦定理在解三角形中的应用 思路点拨 由已知条件求出B A的大小 求出C 从而求出sin C 规范解答 由 A C 2B 及180ABC 得 60B 由正弦定理得 13 sinsin60A 得 1 sin 2 A 由ab 知60AB 所以 30A 180CAB 90 所以sinsin901 C 4 命题立意 本题考查解三角形中的余弦定理 思路点拨 对C 利用余弦定理 通过解方程可解出a 规范解答 由余弦定理得 22 2 121 cos3 3 aa 即 2 20aa 解得 1a 或2 舍 答案 1 方法技巧 已知两边及一角求另一边时 用余弦定理比较好 5 命题立意 本题考查了三角恒等变换 已知三角函数值求解以及正弦定理 考查了考 生的推理论证能力和运算求解能力 思路点拨 先根据sincos2BB 求出 B 再利用正弦定理求出sin A 最后求出 A 规范解答 由sincos2BB 得12sincos2BB 即sin2B1 因为 0 B 所以B 45 又因为2a 2b 所以在ABC 中 由正弦定理得 22 sinAsin45 解得 1 sinA 2 又 ba 所以A B 45 所以A 30 答案 30 或 6 6 答案 由题意得 2 7 2 1 cos 2cos1 2 BCA 2 7 2 1 cos2cos1 2 A 1 cos 2 A 0 3 A 将代入得由 222 1 cos 22 bca A bc 2 2 3bcabc 3 3abc 2 bc 及 得或 3bc 2bc 1 2bc 2 1bc 7 分析 利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状 可以将三角形中的边用角表示 也 3 可将角用边来表示 从中找到三角形中的边角关系 判断出三角形的形状 答案 解法 1 由扩充的正弦定理 代入已知式 2RsinAcosB 2RsinBcosA sinAcosB cosAsinB 0 sin A B 0 A B 0 A B 即 ABC 为等腰三角形 解法 2 由余弦定理 2 22 2 22 22bc acb b ac bca a 22 ba ba 即 ABC 为等腰三角形 8 分析 在解斜三角形应用过程中 注意要灵活地选择正弦定和余弦定理 解得其它 的边和角 答案 解法 1 由正弦定理得 2 3 2 45sin3sin sin b Ba A B 45 90 即b a A 60 或 120 当 A 60 时 C 75 2 26 45sin 75sin2 sin sin B Cb c 当 A 120 时 C 15 2 26 45sin 15sin2 sin sin B Cb c 解法 2 设c x 由余弦定理 将已知条件代入 整理 Baccabcos2 222 解之 016 2 xx 2 26 x 当时 从而 2 26 c 2 13 2 31 2 26 22 3 2 26 2 2 cos 2 222 bc acb A A 60 C 75 当时同理可求得 A 120 C 15 2 26 c 1 在 ABC 中 已知角 B 45 D 是 BC 边上一点 AD 5 AC 7 DC 3 求 AB 解 在 ADC 中 cosC AC2 DC2 AD2 2AC DC 72 32 52 2 7 3 11 14 又 0 C 180 sinC 5 3 14 在 ABC 中 AC sinB AB sinC AB AC 7 sinC sinB 5 3 14 2 5 6 2 4 2 在 ABC 中 已知 cosA sinB 求 cosC 的值 3 5 5 13 解 cosA cos45 0 A 3 5 2 2 45 A 90 sinA 4 5 sinB sin30 0 B 5 13 1 2 0 B 30 或 150 B 180 若 B 150 则 B A 180 与题意不符 0 B 30 cosB 12 13 cos A B cosA cosB sinA sinB 3 5 12 13 4 5 5 13 16 65 又 C 180 A B cosC cos 180 A B cos A B 16 65 3 在 ABC 中 已知 2cosBsinC sinA 试判定 ABC 的形状 解 在原等式两边同乘以 sinA 得 2cosBsinAsinC sin2A 由定理得 sin2A sin2C sin2B sin2A sin2C sin2B B C 故 ABC 是等腰三角形 1 在 ABC 中 若 sinA 试判断 ABC 的形状 sinB sinC cosB cosC 解 sinA cosB cosC sinB sinC cosB cosC sinB sinC sinA 应用正 余弦定理得 a2 c2 b2 2ac a2 b2 c2 2ab b c a b a2c2 b2 c a2 b2c2 2bc b c a2 b c b c b2 2bc c2 2bc b c 即 a2 b2 c2 故 ABC 为直角三角形 2 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 求证 a2 b2 c2 sin A B sinC 证明 由 a2 b2 c2 2bccosA b2 a2 c2 2accosB 两式相减得 a2 b2 c acosB bcosA a2 b2 c2 acosB bcosA c2 又 a c sinA sinC b c sinB sinC a2 b2 c2 sinAcosB sinBcosA sinC sin A B sinC 3 在 ABC 中 若 a b c b c a bc 并且 sinA 2sinBcosC 试判断 ABC 的形