第二章 推理与证明 章末质量评估(人教A版选修1-2)

第二章 推理与证明 章末质量评估 时间 100 分钟 满分 120 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项 中 只有一项是符合题目要求的 1 下列说法中正确的是 A 合情推理就是正确的推理 B 合情推理就是归纳推理 C 归纳推理是从一般到特殊的推理过程 D 类比推理是从特殊到特殊的推理过程 答案 D 2 有以下结论 已知 p3 q3 2 求证 p q 2 用反证法证明时 可假设 p q 2 已知 a b R a b 1 求证方程 x2 ax b 0 的两根的绝对值都小 于 1 用反证法证明时可假设方程有一根 x1的绝对值大于或等于 1 即假设 x1 1 下列说法中正确的是 A 与 的假设都错误 B 与 的假设都正确 C 的假设正确 的假设错误 D 的假设错误 的假设正确 解析 用反证法证题时一定要将对立面找全 在 1 中应假设 p q 2 故 1 的 假设是错误的 而 2 的假设是正确的 故选 D 答案 D 3 凡自然数是整数 4 是自然数 所以 4 是整数 以上三段论推理 A 正确 B 推理形式不正确 C 两个 自然数 概念不一致 D 两个整数 概念不一致 解析 三段论中的大前提 小前提及推理形式都是正确的 答案 A 4 用反证法证明命题 如果 a b 那么 时 假设的内容应是 3 a 3 b A B 3 a 3 b 3 a 3 b C 且 D 或 3 a 3 b 3 a 3 b 3 a 3 b 3 a 3 b 答案 D 5 下面几种推理是合情推理的是 由圆的性质类比出球的有关性质 由直角三角形 等腰三角形 等边三角形内角和是 180 归纳出所有三角 形的内角和都是 180 某次考试张军成绩是 100 分 由此推出全班同学成绩都是 100 分 三角形内角和是 180 四边形内角和是 360 五边形内角和是 540 由 此得凸 n 边形内角和是 n 2 180 A B C D 解析 是类比 是归纳推理 答案 C 6 有一个奇数列 1 3 5 7 9 现进行如下分组 第 1 组含有一个数 1 第 2 组含两个数 3 5 第 3 组含三个数 7 9 11 试观察每组内各数之和与其组的编号数 n 的关系为 A 等于 n2 B 等于 n3 C 等于 n4 D 等于 n n 1 解析 前三组数分别求和得 1 8 27 即 13 23 33 所以猜想第 n 组数的和为 n3 答案 B 7 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案 则第 n 个图案中的白色地面砖有 A 4n 2 块 B 4n 2 块 C 3n 3 块 D 3n 3 块 解析 法一 第 1 个图案中有 6 块白色地面砖 第二个图案中有 10 块 第三 个图案中有 14 块 归纳为 第 n 个图案中有 4n 2 块 法二 验 n 1 时 A D 选项不为 6 排除 验 n 2 时 C 选项不为 10 排 除 故选 B 答案 B 8 函数 f x 是 1 1 上的减函数 是锐角三角形的两个内角 且 则 下列不等式中正确的是 A f sin f cos B f cos f cos C f cos f sin D f sin f sin 解析 因为 是锐角三角形的两个内角 所以 所以 0 2 2 2 所以 cos cos sin 2 而 cos 0 1 sin 0 1 f x 在 1 1 上是减函数 故 f cos f sin 答案 C 9 类比平面内正三角形的 三边相等 三内角相等 的性质 可推知正四面体 的下列性质 你认为比较恰当的是 各棱长相等 同一顶点上的任两条棱的夹角相等 各个面是全等的正三角形 相邻的两个面所成的二面角相等 各个面都是全等的正三角形 同一顶点的任两条棱的夹角相等 各棱长相等 相邻两个面所成的二面角相等 A B C D 解析 类比推理原则是 类比前后保持类比规则的一致性 而 违背了这 一规则 符合 答案 B 10 设 P 则 1 log211 1 log311 1 log411 1 log511 A 0 P 1 B 1 P 2 C 2 P 3 D 3 P 4 解析 P log112 log113 log114 log115 log11120 1 log1111 log11120 log11121 2 即 1 P 2 答案 B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 11 观察下列式子 1 1 1 则可以猜想 当 n 2 时 1 22 3 2 1 22 1 32 5 3 1 22 1 32 1 42 7 4 有 解析 左边为 n 项和 1 右边为分式 易知 n 2 时为 1 22 1 32 1 n2 2n 1 n 答案 1 1 22 1 32 1 n2 2n 1 n 12 若三角形内切圆半径为 r 三边长分别为 a b c 则三角形的面积 S r a 1 2 b c 根据类比思想 若四面体内切球半径为 R 其四个面的面积分别 为 S1 S2 S3 S4 则四面体的体积 V 解析 由类比推理 以球心为顶点 四个面分别为底 将四面体分割为 4 个棱 锥 得证 答案 R S1 S2 S3 S4 1 3 13 在 ABC 中 D 为 BC 的中点 则 A A A 将命题类比到三棱 D 1 2 B C 锥中去得到一个类比的命题为 答案 在三棱锥 A BCD 中 G 为 BCD 的重心 则 A A A A G 1 3 B C D 14 在数列 an 中 a1 1 且 Sn Sn 1 2S1成等差数列 Sn表示数列 an 的前 n 项和 则 S2 S3 S4分别为 由此猜想 Sn 解析 由 Sn Sn 1 2S1成等差数列 得 2Sn 1 Sn 2S1 S1 a1 1 2Sn 1 Sn 2 令 n 1 则 2S2 S1 2 1 2 3 S2 3 2 同理分别令 n 2 n 3 可求得 S3 S4 7 4 15 8 由 S1 1 S2 21 1 20 3 2 22 1 21 S3 S4 7 4 23 1 22 15 8 24 1 23 猜想 Sn 2n 1 2n 1 答案 3 2 7 4 15 8 2n 1 2n 1 三 解答题 本大题共 5 小题 共 54 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过 程或演算步骤 15 10 分 在不等边 ABC 中 A 是最小角 求证 AA 60 C A 60 A B C 180 与三角形内角和等于 180 矛盾 假设错误 原结论成立 即 A0 a1 1 an 1 n 1 2 2an 1 an 1 求证 an 1 an 2 令 a1 写出 a2 a3 a4 a5的值 观察并归纳出这个数列的通项公式 1 2 an 3 证明 存在不等于零的常数 p 使是等比数列 并求出公比 q 的 an p an 值 1 证明 采用反证法 假设 an 1 an 即 an 解得 an 0 1 2an 1 an 从而 an an 1 a1 0 1 与题设 a1 0 a1 1 相矛盾 假设错误 故 an 1 an成立 2 解 a1 a2 a3 a4 a5 1 2 2 3 4 5 8 9 16 17 an 2n 1 2n 1 1 3 证明 因为 an 1 p an 1 2 p an p 2an 又 q an 1 p an 1 an p an 所以 2 p 2q an p 1 2q 0 因为上式是关于变量 an的恒等式 故可解得 q p 1 1 2 19 12 分 在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 1 设 bn 证明 数列 bn 是等差数列 an 2n 1 2 求数列 an 的前 n 项和 Sn 1 证明 an 1 2an 2n 1 an 1 2n an 2n 1 bn an 2n 1 bn