第26讲 进位制问题

1 第第 2626 讲讲 进位制问题进位制问题 内容概述内容概述 本讲不着重讨论进制中运算问题 我们是关心这个数字 即为几进制 对于进位制我们要nn 注意本质是 进制就是逢进制就是逢进一进一 nn 但是 作为数论的一部分 具体到每道题则其方法还是较复杂的 说明 在本讲中的数字 不特加说明 均为十进制 典型问题典型问题 1 1 在几进制中有 4 13 100 分析与解分析与解 我们利用尾数分析来求解这个问题 不管在几进制均有 4 3 12 但是 式中为 100 尾数为 0 101010 也就是说已经将 12 全部进到上一位 所以说进位制为 12 的约数 也就是 12 6 4 3 2 n 但是出现了 4 所以不可能是 4 3 2 进制 我们知道 4 13 52 因 52 100 也就是说不到 10 就已经进位 才能是 100 于 101010 是我们知道 10 n 所以 只能是 6 n 2 2 在三进制中的数 12120120110110121121 则将其改写为九进制 其从左向右数第 l 位数字是几 分析与解分析与解 我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制 那运算量很大 注意到 三进制进动两位则我们注意到进动了 3 个 3 于是为 9 所以变为遇 9 进 1 也就是九 进制 于是 两个数一组 两个数一组 每两个数改写为九进制 如下表 12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 3 3 进制进制 5 5 l 6 4 1 3 5 4 7 9 9 进制进制 所以 首位为 5 评注评注 若原为进制的数 转化为进制 则从右往左数每个数一组化为进制 nn k kn k 如 2 进制转化为 8 进制 2 8 则从右往左数每 3 个数一组化为 8 进制 3 1010 100100 001001 101101 2 2 进制进制 2 2 4 4 1 1 5 5 8 8 进制进制 10100001101 2415 28 3 3 在 6 进制中有三位数 化为 9 进制为 求这个三位数在十进制中为多少 abccba 2 分析与解分析与解 62 6 36 6 abc 6 abcabc 92 9 81 9 cba 9 cbacba 所以 36 6 81 9 于是 35 3b 80 abccbaac 因为 35是 5 的倍数 80 也是 5 的倍数 所以 3也必须是 5 的倍数 又 3 5 1 acb 所以 0 或 5 b 当 0 则 35 80 则 7 16 7 16 1 并且 0 所以 16 7 bacacacac 但是在 6 9 进制 不可以有一个数字为 16 当 5 则 35 3 5 80 则 7 3 16 mod 7 后 3 2 0bacacc 所以 2 或者 2 7 为整数 因为有 6 进制 所以不可能有 9 或者 9 以上的数 于是 2 ckkc 于是 35 15 80 2 5 aa 于是 552 5 62 5 6 2 212 abc 66 所以 这个三位数在十进制中为 212 4 4 设 1987 可以在进制中写成三位数 且 1 9 8 7 试确定出所有可能的 bxyzxyz xy 及 zb 分析与解分析与解 我们注意 2 1987 1 987 b xyzb xbyz xyz 得 1 1 1987 25 2 bxby 则 1 1 1 1962 bbxby 即 1 1 1962 bbxy 所以 1962 是 1 的倍数 b 1962 2 9 109 当 1 9 时 10 显然不满足 bb 当 1 18 时 19 则 1 1 18 20 1962 则 20 109 bbbbxyxyxy 所以 545 9299 11 b xxx yyy z 19 不满足 则 显然 当 109 不满足 2 109 不满足 当 9 109 也不满足 bbb 于是为 59B 1987 B 代表 11 1910 3 5 5 下面加法算式中不同字母代表不同的数字 试判定下面算式是什么进制 A B C D 的和为多 少 分析与解分析与解 于是 我们知道 4 所以为 4 进制 n 则 A B C D 3 1 2 0 6 6 6 一个非零自然数 如果它的二进制表示中数码 l 的个数是偶数 则称之为 坏数 例如 18 10010 2是 坏数 试求小于 1024 的所有坏数的个数 分析与解分析与解 我们现把 1024 转化为二进制 1024 2 10000000000 2 10 10 于是 在二进制中为 11 位数 但是我们只用看 10 位数中情况 并且 我们把不足 10 位数的在前面补上 0 如 则 50 2 111 10000 0 5个1个或以上91 2 111 1 个91 2 0111 1 个 可以含 2 个 l 4 个 1 6 个 1 8 个 l 10 个 1 10 个位置 于是为 226810 1010101010 CCCCC 10 9 10 9 8 710 9 8 7 6 510 9 8 7 6 5 4 3 1 21 2 3 41 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7 8 45 210 210 45 1 511 于是 小于 1024 的 坏数 有 511 个 7 7 计算 26 的余数 20033 3 3 3 3 1 个 4 分析与解分析与解 20033 3 3 3 3 1 个20033 3 1000 0 1 个2003 3 222 2 个2 26 222 所以 26 222 3 20033 3 3 3 3 1 个2003 3 222 2 个2 3 222 整除 222 2003 3 667 2 所以余 22 8 333 所以余数为 8 8 8 一个 10 进制的三位数 把它分别化为 9 进制和 8 进制数后 就又得到了 2 个三位数 老师发现 这 3 个三位数的最高位数字恰好是 3 4 5 那这样的三位数一共有多少个 分析与解分析与解 我们设 3 4 5 ab 10 cd 9 ef 8 我们知道 4 在 400 488 之间 也就是 4 92 5 92 1 也就是 324 406 cd 999 还知道 5 在 500 577 之间 也就是 5 82 6 82 1 也就是 320 383 ef 888 又知道 3 在 300 399 之间 ab 101010 所以 这样的三位数应该在 324 383 之间 于是有 383 324 1 60 个三位数满足条件 9 9 一一袋花生共有 2004 颗 一只猴子第一天拿走一颗花生 从第二天起 每天拿走的都是以前各天的 总和 如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走 共需多少天 如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时 这一天它又重新拿走一颗开始 按原规律进行 新的一轮 如此继续 那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天 分析与解分析与解 我们注意到 每天 12348163264 前若干天的和 2 2004 2前 1 天为 1 前 2 天为 21 前 3 天是 22 所以前 11 天为 2 前 12 天是 2 也就 10111011 是说不够第 11 天拿的 但是根据题中条件知 所以共需 12