二次函数的最值问题总结

二次函数的最值问题二次函数的最值问题 二次函数是初中函数的主要内容 也是高中学习的重要基 2 0 yaxbxc a 础 在初中阶段大家已经知道 二次函数在自变量取任意实数时的最值情况 当时 x0a 函数在处取得最小值 无最大值 当时 函数在处取得最 2 b x a 2 4 4 acb a 0a 2 b x a 大值 无最小值 2 4 4 acb a 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时 函数的最值问x 题 同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用 二次函数求最值 一般范围类 二次函数求最值 一般范围类 例例 1 当时 求函数的最大值和最小值 22x 2 23yxx 分析 分析 作出函数在所给范围的及其对称轴的草图 观察图象的最高点和最低点 由此 得到函数的最大值 最小值及函数取到最值时相应自变量的值 x 解 解 作出函数的图象 当时 当时 1x min 4y 2x max 5y 例例 2 当时 求函数的最大值和最小值 12x 2 1yxx 解 解 作出函数的图象 当时 当时 1x min 1y 2x max 5y 由上述两例可以看到 二次函数在自变量的给定范围内 对应的图象是抛物线上的x 一段 那么最高点的纵坐标即为函数的最大值 最低点的纵坐标即为函数的最小值 根据二次函数对称轴的位置 函数在所给自变量的范围的图象形状各异 下面给出x 一些常见情况 例例 3 当时 求函数的取值范围 0 x 2 yxx 解 解 作出函数在内的图象 2 2 2yxxxx 0 x 可以看出 当时 无最大值 1x min 1y 所以 当时 函数的取值范围是 0 x 1y 例例 4 当时 求函数的最小值 其中 为常数 1txt 2 15 22 yxx t 分析 分析 由于所给的范围随着 的变化而变化 所以需要比较对称轴与其范围的相对xt 位置 解 解 函数的对称轴为 画出其草图 2 15 22 yxx 1x 1 当对称轴在所给范围左侧 即时 当时 1t xt 2 min 15 22 ytt 2 当对称轴在所给范围之间 即时 1101ttt 当时 1x 2 min 15 113 22 y 3 当对称轴在所给范围右侧 即时 110tt 当时 1xt 22 min 151 1 1 3 222 yttt 综上所述 2 2 1 3 0 2 3 01 15 1 22 tt yt ttt 在实际生活中 我们也会遇到一些与二次函数有关的问题 二次函数求最值二次函数求最值 经济类问题经济类问题 例 1 为了扩大内需 让惠于农民 丰富农民的业余生活 鼓励送彩电下乡 国家决 定对购买彩电的农户实行政府补贴 规定每购买一台彩电 政府补贴若干元 经调查某商 场销售彩电台数 台 与补贴款额 元 之间大致满足如图 所示的一次函数关yx 系 随着补贴款额的不断增大 销售量也不断增加 但每台彩电的收益 元 会相应xZ 降低且与之间也大致满足如图 所示的一次函数关系 Zx 1 在政府未出台补贴措施前 该商场销售彩电的总收益额为多少元 2 在政府补贴政策实施后 分别求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益y 与政府补贴款额之间的函数关系式 Zx 3 要使该商场销售彩电的总收益 元 最大 政府应将每台补贴款额定为多wx 少 并求出总收益的最大值 w 分析 1 政府未出台补贴措施前 商场销售彩电台数为 800 台 每台彩电的收益为 200 元 2 利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式 3 商场销售彩电的总 收益 商场销售彩电台数 每台家电的收益 将 2 中的关系式代入得到二次函数 再求 二次函数的最大值 解 1 该商场销售家电的总收益为 元 800 200160000 2 依题意可设 有 1 800yk x 2 200Zk x 1 4008001200k 解得 所以 2 200200160k 12 1 1 5 kk 800yx 1 200 5 Zx 3 政府应将每台 1 800 200 5 WyZxx A 2 1 100 162000 5 x 补贴款额定为 100 元 总收益有最大值 其最大值为元 x162000 说明 本题中有两个函数图像 在解题时要结合起来思考 不可顾此失彼 例 2 凯里市某大型酒店有包房 100 间 在每天晚餐营业时间 每间包房收包房费 100 元时 包房便可全部租出 若每间包房收费提高 20 元 则减少 10 间包房租出 若每 间包房收费再提高 20 元 则再减少 10 间包房租出 以每次提高 20 元的这种方法变化下去 1 设每间包房收费提高 x 元 则每间包房的收入为 y1 元 但会减少 y2间包 房租出 请分别写出 y1 y2与 x 之间的函数关系式 2 为了投资少而利润大 每间包房提高 x 元 后 设酒店老板每天晚餐包房总收 入为 y 元 请写出 y 与 x 之间的函数关系式 求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获 得最大包房费收入 并说明理由 分析 1 提价后每间包房的收入 原每间包房收包房费 每间包房收包房提高费 包房减少数 每间包房收包房提高费数量的一半 2 酒店老板每天晚餐包房总收入 提 价后每间包房的收入 每天包房租出的数量 得到二次函数后再求 y 取得最大值时 x 的值 解 1 xy 100 1 xy 2 1 2 2 y 因为提价前包房费总收 2 1 100 100 xxy 11250 50 2 1 2 x 入为 100 100 10000 当 x 50 时 可获最大包房收入 11250 元 因为 11250 10000 又因 为每次提价为 20 元 所以每间包房晚餐应提高 40 元或 60 元 说明 本题的答案有两个 但从 投资少而利润大 的角度来看 因尽量少租出包房 所以每间包房晚餐应提高 60 元应该更好 例 3 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售 对历年市场行情和 水产品养殖情况进行了调查 调查发现这种水产品的每千克售价 元 与销售月份 1 y 月 满足关系式 而其每千克成本 元 与销售月份 月 满足x 1 y36x 8 3 2 yx 的函数关系如图所示 1 试确定的值 bc 2 求出这种水产品每千克的利润 元 与销售月份 月 之间的函数关系式 yx 3 五 一 之前 几月份出售这种水产品每千克的利润最大 最大利润是多少 分析 1 将点 3 25 4 24 代入求 b c 的值 2 y 3 将 1 y 2 y 2 中的二次函数配方为顶点式 再利用二次函数的增减性 在满足 五 一 之前的前 提下求最大值 解 1 由题意 解得 2 2 1 2533 8 1 2444 8 bc bc 7 1 8 1 29 2 b c 2 12 yyy 2 31151 3629 8882 xxx 2 131 6 822 xx 3 2 131 6 822 yxx 2 111 1236 46 822 xx 2 1 6 11 8 x 抛物线开口向下 在对称轴左侧随的增大而增大 由题 1 0 8 a 6x yx 意 所以在 4 月份出售这种水产品每千克的利润最大 最大利润5x 元 2 11 46 1110 82 说明 本题在 x 6 即 6 月份时取得最大值 但题目要求在 五 一 之前 所以要 将二次函数配方为顶点式 利用二次函数的增减性来求解 例例 4 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品 试销中发现这种商品每天的销售量 件 与每件的销售价 元 满足一次函数 mx1623 3054mxx 1 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式 yx 2 若商场要想每天获得最大销售利润 每件商品的售价定为多少最合适 最大销售 利润为多少 解 解 1 由已知得每件商品的销售利润为元 30 x 那么件的销售利润为 又 m 30 ym x 1623mx 25 24 y2 元 x 月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2 1 8 yxbxc O 2 30 1623 32524860 3054yxxxxx 2 由 1 知对称轴为 位于的范围内 另抛物线开口向下42x x 当时 42x 2 max 342252424860432y 当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润 最大销售利润为 432 元 二次函数求最值二次函数求最值 面积最值问题面积最值问题 例 1 在矩形 ABCD 中 AB 6cm BC 12cm 点 P 从点 A 出发 沿 AB 边向点 B 以 1cm s 的速度移动 同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm s 的速度移动 如果 P Q 两点同时出发 分别到达 B C 两点后就停止移动 1 运动第 t 秒时 PBQ 的面积 y cm 是多少 2 此时五边形 APQCD 的面积是 S cm 写出 S 与 t 的函数关系式 并指出自变量 的取值范围 3 t 为何值时 s 最小 最小值时多少 答案 633 6333 6072661262 626 2 1 1 2 22 2 有最小值等于时 当 St tS tttttS tttty 例 2 小明的家门前有一块空地 空地外有一面长 10 米的围墙 为了美化生活环境 小明的 爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏 为了 浇花和赏花的方便 准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 1 米宽的门 木质 花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大 解 设花圃的宽为米 面积为平方米xS 则长为 米 xx4342432 则 434 xxS xx344 2 4 289 4 17 4 2 x 104340 x 2 17 6 x x 与的二次函数的顶点不在自变量的范围内 6 4 17 Sxx 而当内 随的增大而减小 2 17 6 xSx 当时 平方米 6 x60 4 289 4 17 6 4 2 max S 答 可设计成宽米 长 10 米的矩形花圃 这样的花圃面积最大 6 例 3 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE 如图 其中 AF 2 BF 1 试在 AB 上求一点 P 使矩形 PNDM 有最大面积 解 设矩形 PNDM 的边 DN x NP y 则矩形 PNDM 的面积 S xy 2 x 4 易知 CN 4 x EM 4 y 过点 B 作 BH PN 于点 H 则有 AFB BHP 即 PH BH BF AF 3 4 1 2 y x 5 2 1 xy xxxyS5 2 1 2 42 x 此二次函数的图象开口向下 对称轴为 x 5 当 x 5 时 函数值随的增大而增大 yx 对于来说 当 x 4 时 42 x12454 2 1 2 最大 S 评析 本题是一道代数几何综合题 把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起 能很好考查学生的综合应用能力 同时 也给学生探索解题思路留下了思维空间 例 4 某人定制了一批地砖 每块地砖 如图 1 所示 是边长为 0 4 米的正方形 ABCD 点 E F 分别在边 BC 和 CD 上 CFE ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成 制成 CFE ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为 30 元 20 元 10 元 若 将此种地砖按图 2 所示的形式铺设 且能使中间的阴影部分组成四边形 EFGH 1 判断图 2 中四边形 EFGH 是何形状 并说明理由 2 E F 在什么位置时 定制这批地砖所需的材料费用最省 解 1 四边形 EFGH 是正方形 图 2 可以看作