2017年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)

2017 年高考数学试题分项版年高考数学试题分项版 解析几何 解析版 解析几何 解析版 一 选择题 1 2017 全国 文 5 已知 F 是双曲线 C x2 1 的右焦点 P 是 C 上一点 且 PF 与 y2 3 x 轴垂直 点 A 的坐标是 1 3 则 APF 的面积为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 2 1 答案 D 解析 因为 F 是双曲线 C x2 1 的右焦点 所以 F 2 0 y2 3 因为 PF x 轴 所以可设 P 的坐标为 2 yP 因为 P 是 C 上一点 所以 4 1 解得 yP 3 y2P 3 所以 P 2 3 PF 3 又因为 A 1 3 所以点 A 到直线 PF 的距离为 1 所以 S APF PF 1 3 1 1 2 1 2 3 2 故选 D 2 2017 全国 文 12 设 A B 是椭圆 C 1 长轴的两个端点 若 C 上存在点 M x2 3 y2 m 满足 AMB 120 则 m 的取值范围是 A 0 1 9 B 0 9 3 C 0 1 4 D 0 4 3 2 答案 A 解析 方法一 设焦点在 x 轴上 点 M x y 过点 M 作 x 轴的垂线 交 x 轴于点 N 则 N x 0 故 tan AMB tan AMN BMN 3 x y 3 x y 1 3 x y 3 x y 2 3 y x2 y2 3 又 tan AMB tan 120 3 且由 1 可得 x2 3 x2 3 y2 m 3y2 m 则 2 3 y 3 3y2 m y2 3 2 3 y 1 f 3 m y23 解得 y 2m 3 m 又 0 y 即 0 结合 0 m 3 解得 0 m 1 m 2m 3 mm 对于焦点在 y 轴上的情况 同理亦可得 m 9 则 m 的取值范围是 0 1 9 故选 A 方法二 当 0 m 3 时 焦点在 x 轴上 要使 C 上存在点 M 满足 AMB 120 则 tan 60 即 a b3 3 m3 解得 0 m 1 当 m 3 时 焦点在 y 轴上 要使 C 上存在点 M 满足 AMB 120 则 tan 60 即 解得 m 9 a b3 m 33 故 m 的取值范围为 0 1 9 故选 A 3 2017 全国 文 5 若 a 1 则双曲线 y2 1 的离心率的取值范围是 x2 a2 A B 2 22 C 1 D 1 2 2 3 答案 C 解析 由题意得双曲线的离心率 e a2 1 a e2 1 a2 1 a2 1 a2 a 1 0 1 1 1 2 1 a2 1 a2 1 e 2 故选 C 4 2017 全国 文 12 过抛物线 C y2 4x 的焦点 F 且斜率为的直线交 C 于点 M M 3 在 x 轴上方 l 为 C 的准线 点 N 在 l 上且 MN l 则 M 到直线 NF 的距离为 A B 2 C 2 D 3 5233 4 答案 C 解析 抛物线 y2 4x 的焦点为 F 1 0 准线方程为 x 1 由直线方程的点斜式可得直线 MF 的方程为 y x 1 3 联立得方程组Error 解得Error 或Error 点 M 在 x 轴的上方 M 3 2 3 MN l N 1 2 3 NF 4 1 1 2 0 2 3 2 MF MN 3 1 4 MNF 是边长为 4 的等边三角形 点 M 到直线 NF 的距离为 2 3 故选 C 5 2017 全国 文 11 已知椭圆 C 1 a b 0 的左 右顶点分别为 A1 A2 且以 x2 a2 y2 b2 线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切 则椭圆 C 的离心率为 A B C D 6 3 3 3 2 3 1 3 5 答案 A 解析 由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心坐标为 0 0 半径为 a 又直线 bx ay 2ab 0 与圆相切 圆心到直线的距离 d a 解得 a b 2ab a2 b23 b a 1 3 e c a a2 b2 a 1 b a 2 1 1 3 2 6 3 6 2017 天津文 5 已知双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点为 F 点 A 在双曲线的渐近 x2 a2 y2 b2 线上 OAF 是边长为 2 的等边三角形 O 为原点 则双曲线的方程为 A 1 B 1 x2 4 y2 12 x2 12 y2 4 C y2 1 D x2 1 x2 3 y2 3 6 答案 D 解析 根据题意画出草图如图所示 不妨设点A在渐近线y b ax上 由 AOF 是边长为 2 的等边三角形得到 AOF 60 c OF 2 又点 A 在双曲线的渐近线 y x 上 tan 60 b a b a3 又 a2 b2 4 a 1 b 3 双曲线的方程为 x2 1 y2 3 故选 D 7 2017 浙江 2 椭圆 1 的离心率是 x2 9 y2 4 A B 13 3 5 3 C D 2 3 5 9 7 答案 B 解析 椭圆方程为 1 x2 9 y2 4 a 3 c a2 b29 45 e c a 5 3 故选 B 8 2017 全国 理 10 已知 F 为抛物线 C y2 4x 的焦点 过 F 作两条互相垂直的直线 l1 l2 直线 l1与 C 交于 A B 两点 直线 l2与 C 交于 D E 两点 则 AB DE 的最小值为 A 16 B 14 C 12 D 10 8 答案 A 解析 因为 F 为 y2 4x 的焦点 所以 F 1 0 由题意知直线 l1 l2的斜率均存在 且不为 0 设 l1的斜率为 k 则 l2的斜率为 故直 1 k 线 l1 l2的方程分别为 y k x 1 y x 1 1 k 由Error 得 k2x2 2k2 4 x k2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 x1x2 1 2k2 4 k2 所以 AB x1 x2 1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 2k2 4 k2 2 4 4 1 k2 k2 同理可得 DE 4 1 k2 所以 AB DE 4 1 k2 4 1 k2 k2 4 1 k2 1 1 k2 8 4 8 4 2 16 k2 1 k2 当且仅当 k2 即 k 1 时 取得等号 1 k2 故选 A 9 2017 全国 理 9 若双曲线 C 1 a 0 b 0 的一条渐近线被圆 x 2 x2 a2 y2 b2 2 y2 4 所截得的弦长为 2 则 C 的离心率为 A 2 B 3 C D 2 2 3 3 9 答案 A 解析 设双曲线的一条渐近线方程为 y x b a 圆的圆心为 2 0 半径为 2 由弦长为 2 得出圆心到渐近线的距离为 22 123 根据点到直线的距离公式 得 解得 b2 3a2 2b a2 b23 所以 C 的离心率 e 2 c a c2 a2 1 b2 a2 故选 A 10 2017 全国 理 5 已知双曲线 C 1 a 0 b 0 的一条渐近线方程为 x2 a2 y2 b2 y x 且与椭圆 1 有公共焦点 则 C 的方程为 5 2 x2 12 y2 3 A 1 B 1 x2 8 y2 10 x2 4 y2 5 C 1 D 1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 3 10 答案 B 解析 由 y x 可得 5 2 b a 5 2 由椭圆 1 的焦点为 3 0 3 0 x2 12 y2 3 可得 a2 b2 9 由 可得 a2 4 b2 5 所以 C 的方程为 1 x2 4 y2 5 故选 B 11 2017 全国 理 10 已知椭圆 C 1 a b 0 的左 右顶点分别为 A1 A2 且 x2 a2 y2 b2 以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切 则 C 的离心率为 A B C D 6 3 3 3 2 3 1 3 11 答案 A 解析 由题意知 以 A1A2为直径的圆的圆心为 0 0 半径为 a 又直线 bx ay 2ab 0 与圆相切 圆心到直线的距离 d a 解得 a b 2ab a2 b23 b a 1 3 e c a a2 b2 a 1 b a 2 1 1 3 2 6 3 故选 A 12 2017 天津理 5 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点为 F 离心率为 若经过 x2 a2 y2 b22 F 和 P 0 4 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线 则双曲线的方程为 A 1 B 1 x2 4 y2 4 x2 8 y2 8 C 1 D 1 x2 4 y2 8 x2 8 y2 4 12 答案 B 解析 由题意可得 即 c a c a22 又左焦点 F c 0 P 0 4 则直线 PF 的方程为 化简即得 y x 4 y 0 4 0 x c 0 c 4 c 结合已知条件和图象易知直线 PF 与 y x 平行 则 即 4a bc b a 4 c b a 由Error 解得Error 故双曲线方程为 1 x2 8 y2 8 故选 B 二 填空题 1 2017 全国 文 14 双曲线 1 a 0 的一条渐近线方程为 y x 则 x2 a2 y2 9 3 5 a 1 答案 5 解析 双曲线的标准方程为 1 a 0 x2 a2 y2 9 双曲线的渐近线方程为 y x 3 a 又双曲线的一条渐近线方程为 y x a 5 3 5 2 2017 北京文 10 若双曲线 x2 1 的离心率为 则实数 m y2 m3 2 答案 2 解析 由双曲线的标准方程知 a 1 b2 m c 1 m 故双曲线的离心率 e c a1 m3 1 m 3 m 2 3 2017 北京文 12 已知点 P 在圆 x2 y2 1 上 点 A 的坐标为 2 0 O 为原点 则 AO 的最大值为 AP 3 答案 6 解析 方法一 根据题意作出图象 如图所示 A 2 0 P x y 由点 P 向 x 轴作垂线交 x 轴于点 Q 则点 Q 的坐标为 x 0 cos AO AP AO AP 2 AO AP x 2 2 y2 cos AQ AP x 2 x 2 2 y2 所以 2 x 2 2x 4 AO AP 点 P 在圆 x2 y2 1 上 所以 x 1 1 所以 的最大值为 2 4 6 AO AP 方法二 如图所示 因为点 P 在圆 x2 y2 1 上 所以可设 P cos sin 0 2 所以 2 0 cos 2 sin AO AP 2cos 4 2 4 6 AO AP 当且仅当 cos 1 即 0 P 1 0 时 号成立 4 2017 天津文 12 设抛物线 y2 4x 的焦点为 F 准线为 l 已知点 C 在 l 上 以 C 为圆心 的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A 若 FAC 120 则圆的方程为 4 答案 x 1 2 y 2 1 3 解析 由 y2 4x 可得点 F 的坐标为 1 0 准线 l 的方程为 x 1 由圆心 C 在 l 上 且圆 C 与 y 轴正半轴相切 如图 可得点 C 的横坐标为 1 圆的半径为 1 CAO 90 又因为 FAC 120 所以 OAF 30 所以 OA 3 所以点 C 的纵坐标为 3 所以圆的方程为 x 1 2 y 2 1 3 5 2017 山东文 15 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线 1 a 0 b 0 的右支与焦点 x2 a2 y2 b2 为 F 的抛物线 x2 2py p 0 交于 A B 两点 若 AF BF 4 OF 则该双曲线的渐近线方 程为 5 答案 y x 2 2 解析 设 A x1 y1 B x2 y2 由Error 得 a2y2 2pb2y a2b2 0 y1 y2 2pb2 a2 又 AF BF 4 OF y1 y2 4 y1 y2 p p 2 p 2 p 2 p 即 2pb2 a2 b2 a2 1 2 b a 2 2 双曲线的渐近线方程为 y x 2 2 6 2017 江苏 8 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线 y2 1 的右准线与它的两条渐近线 x2 3 分别交于点 P Q 其焦点是 F1 F2 则四边形 F1PF2Q 的面积是 6 答案 2 3 解析 如图所示 双曲线 y2 1 的焦点为 F1 2 0 F2 2 0 所以 F1F2 4 x2 3 双曲线 y2 1 的右准线方程为 x x2 3 a2 c 3 2 渐近线方程为 y x 3 3 由Error 得 P 3 2 3 2 同理可得 Q 3 2 3 2 PQ 3 S四边形 F1F2 PQ 4 2 12 FPF Q 1 2 1 233 7 2017 江苏 13 在平面直角坐标系 xOy 中 A 12 0 B 0 6 点 P 在圆 O x2 y2 50 上 若 20 则点 P 的横坐标的取值范围是 PA PB 7 答案 5 1 2 解析 方法一 因为点 P 在圆 O x2 y2 50 上 所以设 P 点坐标为 x 5 x 5 50 x222 因为 A 12 0 B 0 6 所以 12 x 或 12 x PA 50 x2 PA 50 x2 x 6 或 x 6 PB 50 x2 PB 50 x2 因为 20 先取 P x 进行计算 PA PB 50 x2 所以 12 x x 6 20 50 x250 x2 即 2x 5 当 2x 5 0 即 x 时 上式恒成立 50 x2 5 2 当 2x 5 0 即 x 时 2x 5 2 50 x2 5 2 解得 x 1 故 x 1 5 2 同理可得 P x 时 x 5 50 x2 又 5 x 5 所以 5 x 1 222 故点 P 的横坐标的取值范围为 5 1 2 方法二 设 P x y 则 12 x y x 6 y PA PB 20 PA PB 12 x x y 6 y 20 即 2x y 5 0 如图 作圆 O x2 y2 50 直线 2x y 5 0 与 O 交于 E F 两点 P 在圆 O 上且满足 2x y 5 0 点 P 在上 A EDF 由Error 得 F 点的横坐标为 1 又 D 点的横坐标为 5 2 P 点的横坐标的取值范围为 5 1 2 8 2017 全国 理 15 已知双曲线 C 1 a 0 b 0 的右顶点为 A 以 A 为圆心 x2 a2 y2 b2 b 为半径作圆 A 圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M N 两点 若 MAN 60 则 C 的离心率为 8 答案 2 3 3 解析 如图 由题意知点 A a 0 双曲线的一条渐近线 l 的方程为 y x 即 b a bx ay 0 点 A 到 l 的距离 d ab a2 b2 又 MAN 60 MA NA b MAN 为等边三角形 d MA b 即 b a2 3b2 3 2 3 2 ab a2 b2 3 2 e c a a2 b2 a2 2 3 3 9 2017 全国 理 16 已知 F 是抛物线 C y2 8x 的焦点 M 是 C 上一点 FM 的延长线 交 y 轴于点 N 若 M 为 FN 的中点 则 FN 9 答案 6 解析 如图 不妨设点 M 位于第一象限内 抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A 过点 M 作 准线的垂线 垂足为点 B 交 y 轴于点 P PM OF 由题意知 F 2 0 FO AO 2 点 M 为 FN 的中点 PM OF MP FO 1 1 2 又 BP AO 2 MB MP BP 3 由抛物线的定义知 MF MB 3 故 FN 2 MF 6 10 2017 北京理 9 若双曲线 x2 1 的离心率为 则实数 m y2 m3 10 答案 2 解析 由双曲线的标准方程知 a 1 b2 m c 1 m 故双曲线的离心率 e c a1 m3 1 m 3 解得 m 2 11 2017 北京理 14 三名工人加工同一种零件 他们在一天中的工作情况如图所示 其 中点 Ai的横 纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数 点 Bi的横 纵坐 标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数 i 1 2 3 记 Qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数 则 Q1 Q2 Q3中最大的是 记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数 则 p1 p2 p3中最大的是 11 答案 Q1 p2 解析 设 A1 xA1 yA1 B1 xB1 yB1 线段 A1B1的中点为 E1 x1 y1 则 Q1 yA1 yB1 2y1 因此 要比较 Q1 Q2 Q3的大小 只需比较线段 A1B1 A2B2 A3B3中点纵坐标的大小 作图比较知 Q1最大 又 p1 其几何意义为线段 A1B1的中点 E1与坐标原点连线的 yA1 yB1 xA1 xB1 2y1 2x1 y1 x1 y1 0 x1 0 斜率 因此 要比较 p1 p2 p3的大小 只需比较线段 A1B1 A2B2 A3B3中点与坐标原点连线的 斜率 作图比较知 p2最大 12 2017 山东理 14 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线 1 a 0 b 0 的右支与 x2 a2 y2 b2 焦点为 F 的抛物线 x2 2py p 0 交于 A B 两点 若 AF BF 4 OF 则该双曲线的渐近 线方程为 12 答案 y x 2 2 解析 设 A x1 y1 B x2 y2 由Error 得 a2y2 2pb2y a2b2 0 y1 y2 2pb2 a2 又 AF BF 4 OF y1 y2 4 即 y1 y2 p p 2 p 2 p 2 p 即 2pb2 a2 b2 a2 1 2 b a 2 2 双曲线的渐近线方程为 y x 2 2 三 解答题 1 2017 全国 文 20 设 A B 为曲线 C y 上两点 A 与 B 的横坐标之和为 4 x2 4 1 求直线 AB 的斜率 2 设 M 为曲线 C 上一点 C 在 M 处的切线与直线 AB 平行 且 AM BM 求直线 AB 的方 程 1 解 1 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 y1 y2 x1 x2 4 x2 1 4 x2 2 4 于是直线 AB 的斜率 k 1 y1 y2 x1 x2 x1 x2 4 2 由 y 得 y x2 4 x 2 设 M x3 y3 由题设知 1 解得 x3 2 于是 M 2 1 x3 2 设直线 AB 的方程为 y x m 故线段 AB 的中点为 N 2 2 m MN m 1 将 y x m 代入 y 得 x2 4x 4m 0 x2 4 当 16 m 1 0 即 m 1 时 x1 2 2 2 m 1 从而 AB x1 x2 4 22 m 1 由题设知 AB 2 MN 即 4 2 m 1 解得 m 7 2 m 1 所以直线 AB 的方程为 y x 7 2 2017 全国 文 20 设 O 为坐标原点 动点 M 在椭圆 C y2 1 上 过 M 作 x 轴 x2 2 的垂线 垂足为 N 点 P 满足 NP 2NM 1 求点 P 的轨迹方程 2 设点 Q 在直线 x 3 上 且 1 证明 过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左 OP PQ 焦点 F 2 1 解 设 P x y M x0 y0 则 N x0 0 x x0 y 0 y0 NP NM 由 得 x0 x y0 y NP 2 NM 2 2 因为 M x0 y0 在 C 上 所以 1 x2 2 y2 2 因此点 P 的轨迹方程为 x2 y2 2 2 证明 由题意知 F 1 0 设 Q 3 t P m n 则 3 t OQ 1 m n 3 3m tn PF OQ PF m n 3 m t n OP PQ 由 1 得 3m m2 tn n2 1 OP PQ 又由 1 知 m2 n2 2 故 3 3m tn 0 所以 0 即 OQ PF OQ PF 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ 所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 3 2017 全国 文 20 在直角坐标系 xOy 中 曲线 y x2 mx 2 与 x 轴交于 A B 两点 点 C 的坐标为 0 1 当 m 变化时 解答下列问题 1 能否出现 AC BC 的情况 说明理由 2 证明过 A B C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 3 1 解 不能出现 AC BC 的情况 理由如下 设 A x1 0 B x2 0 则 x1 x2满足 x2 mx 2 0 所以 x1x2 2 又点 C 的坐标为 0 1 故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 1 x1 1 x2 1 2 所以不能出现 AC BC 的情况 2 证明 BC 的中点坐标为 可得 BC 的中垂线方程为 y x2 x2 2 1 2 1 2 x x2 2 由 1 可得 x1 x2 m 所以 AB 的中垂线方程为 x m 2 联立Error 又 x mx2 2 0 可得Error 2 2 所以过 A B C 三点的圆的圆心坐标为 半径 r m 2 1 2 m2 9 2 故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 3 r2 m 2 2 即过 A B C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 4 2017 北京文 19 已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A 2 0 B 2 0 焦点在 x 轴上 离 心率为 3 2 1 求椭圆 C 的方程 2 点 D 为 x 轴上一点 过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M N 过 D 作 AM 的 垂线交 BN 于点 E 求证 BDE 与 BDN 的面积之比为 4 5 4 1 解 设椭圆 C 的方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 由题意得Error 解得 c 所以 b2 a2 c2 1 3 所以椭圆 C 的方程为 y2 1 x2 4 2 证明 设 M m n 则 D m 0 N m n 由题设知 m 2 且 n 0 直线 AM 的斜率 kAM n m 2 故直线 DE 的斜率 kDE m 2 n 所以直线 DE 的方程为 y x m m 2 n 直线 BN 的方程为 y x 2 n 2 m 联立Error 解得点 E 的纵坐标 yE n 4 m2 4 m2 n2 由点 M 在椭圆 C 上 得 4 m2 4n2 所以 yE n 4 5 又 S BDE BD yE BD n 1 2 2 5 S BDN BD n 1 2 所以 BDE 与 BDN 的面积之比为 4 5 5 2017 天津文 20 已知椭圆 1 a b 0 的左焦点为 F c 0 右顶点为 A 点 E x2 a2 y2 b2 的坐标为 0 c EFA 的面积为 b2 2 1 求椭圆的离心率 2 设点 Q 在线段 AE 上 FQ 延长线段 FQ 与椭圆交于点 P 点 M N 在 x 轴上 3c 2 PM QN 且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c 四边形 PQNM 的面积为 3c 求直线 FP 的斜率 求椭圆的方程 5 解 1 设椭圆的离心率为 e 由已知可得 c a c 1 2 b2 2 又由 b2 a2 c2 可得 2c2 ac a2 0 即 2e2 e 1 0 解得 e 1 或 e 1 2 又因为 0 e0 则直线 FP 的斜率为 1 m 由 1 知 a 2c 可得直线 AE 的方程为 1 即 x 2y 2c 0 与直线 FP 的方程联立 x 2c y c 可解得 x y 2m 2 c m 2 3c m 2 即点 Q 的坐标为 2m 2 c m 2 3c m 2 由已知 FQ 有 2 2 2 整理得 3m2 4m 0 3c 2 2m 2 c m 2 c 3c m 2 3c 2 所以 m m 0 舍去 即直线 FP 的斜率为 4 3 3 4 由 a 2c 可得 b c 3 故椭圆方程可以表示为 1 x2 4c2 y2 3c2 由 得直线 FP 的方程为 3x 4y 3c 0 与椭圆方程联立Error 消去 y 整理得 7x2 6cx 13c2 0 解得 x 舍去 或 x c 因此可得点 P 13c 7 c 3c 2 进而可得 FP c c 2 3c 2 2 5c 2 所以 PQ FP FQ c 5c 2 3c 2 由已知 线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离 故直线 PM 和 QN 都垂直 于直线 FP 因为 QN FP 所以 QN FQ tan QFN 所以 FQN 的面积为 FQ QN 3c 2 3 4 9c 8 1 2 27c2 32 同理 FPM 的面积等于 75c2 32 由四边形 PQNM 的面积为 3c 得 3c 75c2 32 27c2 32 整理得 c2 2c 又由 c 0 得 c 2 所以椭圆的方程为 1 x2 16 y2 12 6 2017 山东文 21 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率 x2 a2 y2 b2 为 椭圆 C 截直线 y 1 所得线段的长度为 2 2 22 1 求椭圆 C 的方程 2 动直线 l y kx m m 0 交椭圆 C 于 A B 两点 交 y 轴于点 M 点 N 是 M 关于 O 的对 称点 N 的半径为 NO 设 D 为 AB 的中点 DE DF 与 N 分别相切于点 E F 求 EDF 的最小值 6 解 1 由椭圆的离心率为 得 a2 2 a2 b2 2 2 又当 y 1 时 x2 a2 得 a2 2 a2 b2 a2 b2 所以 a2 4 b2 2 因此椭圆方程为 1 x2 4 y2 2 2 设 A x1 y1 B x2 y2 联立方程 得Error 得 2k2 1 x2 4kmx 2m2 4 0 由 0 得 m20 从而 y t 在 3 上单调递增 1 t 因此 t 1 t 10 3 当且仅当 t 3 时等号成立 此时 k 0 所以 1 3 4 ND 2 NF 2 由 得 mb 0 的左 右 x2 a2 y2 b2 焦点分别为 F1 F2 离心率为 两准线之间的距离为 8 点 P 在椭圆 E 上 且位于第一象 1 2 限 过点 F1作直线 PF1的垂线 l1 过点 F2作直线 PF2的垂线 l2 1 求椭圆 E 的标准方程 2 若直线 l1 l2的交点 Q 在椭圆 E 上 求点 P 的坐标 8 解 1 设椭圆的半焦距为 c 因为椭圆 E 的离心率为 两准线之间的距离为 8 所以 8 1 2 c a 1 2 2a2 c 解得 a 2 c 1 于是 b a2 c23 因此椭圆 E 的标准方程是 1 x2 4 y2 3 2 由 1 知 F1 1 0 F2 1 0 设 P x0 y0 因为 P 为第一象限的点 故 x0 0 y0 0 当 x0 1 时 l2与 l1相交于 F1 与题设不符 当 x0 1 时 直线 PF1的斜率为 直线 PF2的斜率为 y0 x0 1 y0 x0 1 因为 l1 PF1 l2 PF2 所以直线 l1的斜率为 x0 1 y0 直线 l2的斜率为 x0 1 y0 从而直线 l1的方程为 y x 1 x0 1 y0 直线 l2的方程为 y x 1 x0 1 y0 由 解得 x x0 y x2 0 1 y0 所以 Q x0 x2 0 1 y0 因为点 Q 在椭圆 E 上 由对称性 得 y0 x2 0 1 y0 即 x y 1 或 x y 1 2 02 02 02 0 又点 P 在椭圆 E 上 故 1 x2 0 4 y2 0 3 由Error 解得 x0 y0 4 7 7 3 7 7 Error 无解 因此点 P 的坐标为 4 7 7 3 7 7 9 2017 全国 理 20 已知椭圆 C 1 a b 0 四点 P1 1 1 P2 0 1 P3 x2 a2 y2 b2 P4中恰有三点在椭圆 C 上 1 3 2 1 3 2 1 求 C 的方程 2 设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A B 两点 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1 证明 l 过定点 9 1 解 由于 P3 P4两点关于 y 轴对称 故由题设知椭圆 C 经过 P3 P4两点 又由 知 椭圆 C 不经过点 P1 1 a2 1 b2 1 a2 3 4b2 所以点 P2在椭圆 C 上 因此Error 解得Error 故椭圆 C 的方程为 y2 1 x2 4 2 证明 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1 k2 如果 l 与 x 轴垂直 设 l x t 由题设知 t 0 且 t 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 x1x2 8km 4k2 1 4m2 4 4k2 1 而 k1 k2 y1 1 x1 y2 1 x2 kx1 m 1 x1 kx2 m 1 x2 2kx1x2 m 1 x1 x2 x1x2 由题设 k1 k2 1 故 2k 1 x1x2 m 1 x1 x2 0 即 2k 1 m 1 0 4m2 4 4k2 1 8km 4k2 1 解得 k m 1 2 当且仅当 m 1 时 0 于是 l y x m m 1 2 即 y 1 x 2 m 1 2 所以 l 过定点 2 1 10 2017 全国 理 20 设 O 为坐标原点 动点 M 在椭圆 C y2 1 上 过 M 作 x 轴 x2 2 的垂线 垂足为 N 点 P 满足 NP 2NM 1 求点 P 的轨迹方程 2 设点 Q 在直线 x 3 上 且 1 证明 过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左 OP PQ 焦点 F 10 解 1 设 P x y M x0 y0 则 N x0 0 x x0 y 0 y0 NP NM 由 得 x0 x y0 y NP 2 NM 2 2 因为 M x0 y0 在 C 上 所以 1 x2 2 y2 2 因此点 P 的轨迹方程为 x2 y2 2 2 由题意知 F 1 0 设 Q 3 t P m n 则 3 t 1 m n OQ PF 3 3m tn OQ PF m n 3 m t n OP PQ 由 1 得 3m m2 tn n2 1 OP PQ 又由 1 知 m2 n2 2 故 3 3m tn 0 所以 0 即 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ 所以过点 P 且垂直于 OQ PF OQ PF OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 11 2017 全国 理 20 已知抛物线 C y2 2x 过点 2 0 的直线 l 交 C 与 A B 两点 圆 M 是以线段 AB 为直径的圆 1 证明 坐标原点 O 在圆 M 上 2 设圆 M 过点 P 4 2 求直线 l 与圆 M 的方程 11 1 证明 设 A x1 y1 B x2 y2 l x my 2 由Error 可得 y2 2my 4 0 则 y1y2 4 又 x1 x2 故 x1x2 4 y2 1 2 y2 2 2 y1y2 2 4 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 1 y1 x1 y2 x2 4 4 所以 OA OB 故坐标原点 O 在圆 M 上 2 解 由 1 可得 y1 y2 2m x1 x2 m y1 y2 4 2m2 4 故圆心 M 的坐标为 m2 2 m 圆 M 的半径 r m2 2 2 m2 由于圆 M 过点 P 4 2 因此 0 AP BP 故 x1 4 x2 4 y1 2 y2 2 0 即 x1x2 4 x1 x2 y1y2 2 y1 y2 20 0 由 1 可知 y1y2 4 x1x2 4 所以 2m2 m 1 0 解得 m 1 或 m 1 2 当 m 1 时 直线 l 的方程为 x y 2 0 圆心 M 的坐标为 3 1 圆 M 的半径为 10 圆 M 的方程为 x 3 2 y 1 2 10 当 m 时 直线 l 的方程为 2x y 4 0 圆心 M 的坐标为 圆 M 的半径为 1 2 9 4 1 2 85 4 圆 M 的方程为 2 2 x 9 4 y 1 2 85 16 12 2017 北京理 18 已知抛物线 C y2 2px 过点 P 1 1 过点作直线 l 与抛物线 C 0 1 2 交于不同的两点 M N 过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP ON 交于点 A B 其中 O 为原点 1 求抛物线 C 的方程 并求其焦点坐标和准线方程 2 求证 A 为线段 BM 的中点 12 1 解 由抛物线 C y2 2px 过点 P 1 1 得 p 1 2 所以抛物线 C 的方程为 y2 x 抛物线 C 的焦点坐标为 准线方程为 x 1 4 0 1 4 2 证明 由题意 设直线 l 的方程为 y kx k 0 1 2 l 与抛物线 C 的交点为 M x1 y1 N x2 y2 由Error 得 4k2x2 4k 4 x 1 0 则 x1 x2 x1x2 1 k k2 1 4k2 因为点 P 的坐标为 1 1 所以直线 OP 的方程为 y x 点 A 的坐标为 x1 x1 直线 ON 的方程为 y x 点 B 的坐标为 y2 x2 x1 y2x1 x2 因为 y1 2x1 y2x1 x2 y1x2 y2x1 2x1x2 x2 kx1 1 2 x2 kx2 1 2 x1 2x1x2 x2 2k 2 x1x2 1 2 x2 x1 x2 0 2k 2 1 4k2 1 k 2k2 x2 所以 y1 2x1 故 A 为线段 BM 的中点 y2x1 x2 13 2017 天津理 19 设椭圆 1 a b 0 的左焦点为 F 右顶点为 A 离心率为 已 x2 a2 y2 b2 1 2 知 A 是抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 到抛物线的准线 l 的距离为 1 2 1 求椭圆的方程和抛物线的方程 2 设 l 上两点 P Q 关于 x 轴对称 直线 AP 与椭圆相交于点