2018年浙江省高考全真模拟数学试卷(一)

第 1 页 共 19 页 2018 年浙江省高考全真模拟数学试卷 一 年浙江省高考全真模拟数学试卷 一 一 单选题 本大题共一 单选题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 40 分分 在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的项中 只有一项是符合题目要求的 1 4 分 已知集合 A x x2 4x 0 C x x 2n n N 则 A B C A 2 4 B 0 2 C 0 2 4 D x x 2n n N 2 4 分 设 i 是虚数单位 若 x y R 则复数 x yi 的共轭复数 是 A 2 iB 2 iC 2 i D 2 i 3 4 分 双曲线 x2 y2 1 的焦点到其渐近线的距离为 A 1B C 2D 4 4 分 已知 a b R 则 a a b b 是 a b 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 5 4 分 函数 y 2x2 e x 在 2 2 的图象大致为 A B C D 6 4 分 若数列 an 满足 a1 2 an 1 n N 则该数列的前 2017 第 2 页 共 19 页 项的乘积是 A 2B 3C 2D 7 4 分 如图 矩形 ADFE 矩形 CDFG 正方形 ABCD 两两垂直 且 AB 2 若线段 DE 上存在点 P 使得 GP BP 则边 CG 长度的最小值为 A 4B C 2D 8 4 分 设函数 g x ln ax2 2x 1 若对任意的 x1 R 都 存在实数 x2 使得 f x1 g x2 成立 则实数 a 的取值范围为 A 0 1 B 0 1 C 0 2 D 1 9 4 分 某班有的学生数学成绩优秀 如果从班中随机地找出 5 名学生 那 么其中数学成绩优秀的学生数 服从二项分布 则 E 的值为 A B C D 10 4 分 已知非零向量 满足 2 若函数 f x x3 x2 x 1 在 R 上存在极值 则 和 夹角的取值范围是 A B C D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 36 分分 11 6 分 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 表面 积为 第 3 页 共 19 页 12 6 分 在的展开式中 各项系数之和为 64 则 n 展 开式中的常数项为 13 6 分 某人有 4 把钥匙 其中 2 把能打开门 现随机地取 1 把钥匙试着开 门 不能开门的就扔掉 问第二次才能打开门的概率是 如果试过的钥 匙不扔掉 这个概率又是 14 6 分 设函数 f x 若 a 1 则 f x 的最小值为 若 f x 恰有 2 个零点 则实数 a 的取值范围是 15 4 分 当实数 x y 满足时 ax y 4 恒成立 则实数 a 的取值 范围是 16 4 分 设数列 an 满足 且对任意的 n N 满足 则 a2017 17 4 分 已知函数 f x ax2 2x 1 若对任意 x R f f x 0 恒成立 则实数 a 的取值范围是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 74 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演解答应写出文字说明 证明过程或演 算过程算过程 18 已知函数 f x x 1 x R I 求函数 f x 的最小正周期和单调递减区间 II 在 ABC 中 A B C 的对边分别为 a b c 已知 c f C 1 sinB 2sinA 求 a b 的值 19 如图 在四面体 ABCD 中 已知 ABD CBD 60 AB BC 2 CE BD 于 E 求证 BD AC 若平面 ABD 平面 CBD 且 BD 求二面角 C AD B 的余弦值 第 4 页 共 19 页 20 已知函数 当 a 2 求函数 f x 的图象在点 1 f 1 处的切线方程 当 a 0 时 求函数 f x 的单调区间 21 已知曲线 C y2 4x M x 1 2 y2 4 x 1 直线 l 与曲线 C 相交于 A B 两点 O 为坐标原点 若 求证 直线 l 恒过定点 并求出定点坐标 若直线 l 与曲线 M 相切 求的取值范围 22 数列 an 满足 a1 1 a2 an n N 1 求 a2 a3 a4 a5的值 2 求 an与 an 1之间的关系式 n N n 2 3 求证 1 1 1 3 n N 第 5 页 共 19 页 2018 年浙江省高考全真模拟数学试卷 一 年浙江省高考全真模拟数学试卷 一 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 单选题 本大题共一 单选题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 40 分分 在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的项中 只有一项是符合题目要求的 1 4 分 已知集合 A x x2 4x 0 C x x 2n n N 则 A B C A 2 4 B 0 2 C 0 2 4 D x x 2n n N 解答 解 A x x2 4x 0 x 0 x 4 x 3 4 3x 33 x 4 x 3 则 A B x 4 x 4 C x x 2n n N 可得 A B C 0 2 4 故选 C 2 4 分 设 i 是虚数单位 若 x y R 则复数 x yi 的共轭复数 是 A 2 iB 2 iC 2 i D 2 i 解答 解 由 得 x yi 2 i 复数 x yi 的共轭复数是 2 i 故选 A 3 4 分 双曲线 x2 y2 1 的焦点到其渐近线的距离为 第 6 页 共 19 页 A 1B C 2D 解答 解 根据题意 双曲线的方程为 x2 y2 1 其焦点坐标为 0 其渐近线方程为 y x 即 x y 0 则其焦点到渐近线的距离 d 1 故选 A 4 4 分 已知 a b R 则 a a b b 是 a b 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解答 解 设 f x x x 由二次函数的单调性可得函数 f x 为增函数 则若 a b 则 f a f b 即 a a b b 反之也成立 即 a a b b 是 a b 的充要条件 故选 C 5 4 分 函数 y 2x2 e x 在 2 2 的图象大致为 A B C D 解答 解 f x y 2x2 e x 第 7 页 共 19 页 f x 2 x 2 e x 2x2 e x 故函数为偶函数 当 x 2 时 y 8 e2 0 1 故排除 A B 当 x 0 2 时 f x y 2x2 ex f x 4x ex 0 有解 故函数 y 2x2 e x 在 0 2 不是单调的 故排除 C 故选 D 6 4 分 若数列 an 满足 a1 2 an 1 n N 则该数列的前 2017 项的乘积是 A 2B 3C 2D 解答 解 数列 a2 3 同理可得 a3 a4 a5 2 an 4 an a1a2a3a4 1 该数列的前 2017 项的乘积 1504 a1 2 故选 C 7 4 分 如图 矩形 ADFE 矩形 CDFG 正方形 ABCD 两两垂直 且 AB 2 若线段 DE 上存在点 P 使得 GP BP 则边 CG 长度的最小值为 A 4B C 2D 第 8 页 共 19 页 解答 解 以 DA DC DF 为坐标轴建立空间坐标系 如图所示 设 CG a P x 0 z 则 即 z 又 B 2 2 0 G 0 2 a 2 x 2 x 2 a 1 x 2 x 4 0 显然 x 0 且 x 2 a2 x 0 2 2x x2 0 1 当 2x x2 1 时 a2取得最小值 12 a 的最小值为 2 故选 D 8 4 分 设函数 g x ln ax2 2x 1 若对任意的 x1 R 都 存在实数 x2 使得 f x1 g x2 成立 则实数 a 的取值范围为 A 0 1 B 0 1 C 0 2 D 1 解答 解 设 g x ln ax2 2x 1 的值域为 A f x 1 在 R 上的值域为 0 0 A h x ax2 2x 1 至少要取遍 0 1 中的每一个数 又 h 0 1 第 9 页 共 19 页 实数 a 需要满足 a 0 或 解得 a 1 实数 a 的范围是 1 故选 D 9 4 分 某班有的学生数学成绩优秀 如果从班中随机地找出 5 名学生 那 么其中数学成绩优秀的学生数 服从二项分布 则 E 的值为 A B C D 解答 解 服从二项分布 E 5 E E 故选 D 10 4 分 已知非零向量 满足 2 若函数 f x x3 x2 x 1 在 R 上存在极值 则 和 夹角的取值范围是 A B C D 解答 解 f x 在 R 上存在极值 f x 0 有两个不同实数根 即 第 10 页 共 19 页 与 夹角的取值范围为 故选 B 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 36 分分 11 6 分 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 表面积 为 7 解答 解 由三视图还原原几何体如图 该几何体为组合体 左右两边都是棱长为 1 的正方体截去一个角 则该几何体的体积为 表面积为 故答案为 12 6 分 在的展开式中 各项系数之和为 64 则 n 6 展开 式中的常数项为 15 解答 解 令 x 1 则在的展开式中 各项系数之和为 2n 64 第 11 页 共 19 页 解得 n 6 则其通项公式为 C6rx 令 6 3r 0 解得 r 2 则展开式中的常数项为 C62 15 故答案为 6 15 13 6 分 某人有 4 把钥匙 其中 2 把能打开门 现随机地取 1 把钥匙试着开 门 不能开门的就扔掉 问第二次才能打开门的概率是 如果试过的钥 匙不扔掉 这个概率又是 解答 解 第二次打开门 说明第一次没有打开门 故第二次打开门的概率 为 如果试过的钥匙不扔掉 这个概率为 故答案为 14 6 分 设函数 f x 若 a 1 则 f x 的最小值为 1 若 f x 恰有 2 个零点 则实数 a 的取值范围是 a 1 或 a 2 解答 解 当 a 1 时 f x 当 x 1 时 f x 2x 1 为增函数 f x 1 当 x 1 时 f x 4 x 1 x 2 4 x2 3x 2 4 x 2 1 当 1 x 时 函数单调递减 当 x 时 函数单调递增 故当 x 时 f x min f 1 设 h x 2x a g x 4 x a x 2a 第 12 页 共 19 页 若在 x 1 时 h x 与 x 轴有一个交点 所以 a 0 并且当 x 1 时 h 1 2 a 0 所以 0 a 2 而函数 g x 4 x a x 2a 有一个交点 所以 2a 1 且 a 1 所以 a 1 若函数 h x 2x a 在 x 1 时 与 x 轴没有交点 则函数 g x 4 x a x 2a 有两个交点 当 a 0 时 h x 与 x 轴无交点 g x 无交点 所以不满足题意 舍去 当 h 1 2 a 0 时 即 a 2 时 g x 的两个交点满足 x1 a x2 2a 都是满 足题意的 综上所述 a 的取值范围是 a 1 或 a 2 15 4 分 当实数 x y 满足时 ax y 4 恒成立 则实数 a 的取值 范围是 解答 解 由约束条件作可行域如图 联立 解得 C 1 联立 解得 B 2 1 在 x y 1 0 中取 y 0 得 A 1 0 由 ax y 4 得 y ax 4 要使 ax y 4 恒成立 则平面区域在直线 y ax 4 的下方 若 a 0 则不等式等价为 y 4 此时满足条件 若 a 0 即 a 0 平面区域满足条件 若 a 0 即 a 0 时 要使平面区域在直线 y ax 4 的下方 第 13 页 共 19 页 则只要 B 在直线的下方即可 即 2a 1 4 得 0 a 综上 a 实数 a 的取值范围是 故答案为 16 4 分 设数列 an 满足 且对任意的 n N 满足 则 a2017 解答 解 对任意的 n N 满足 an 2 an 2n an 4 an 5 2n an 4 an 2 2n 2 5 2n an 4 an 2 an 2 an 2n 2 2n 5 2n an 4 an 5 2n a2017 a2017 a2013 a2013 a2009 a5 a1 a1 5 22013 22009 2 5 故答案为 17 4 分 已知函数 f x ax2 2x 1 若对任意 x R f f x 0 恒成立 第 14 页 共 19 页 则实数 a 的取值范围是 a 解答 解 当 a 0 时 函数 f x 2x 1 f f x 4x 3 不满足对任意 x R f f x 0 恒成立 当 a 0 时 f x 1 f f x f 1 a 1 2 2 1 1 a 1 解 a 1 0 得 a 或 a 故 a 当 a 0 时 f x 1 不满足对任意 x R f f x 0 恒成立 综上可得 a 故答案为 a 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 74 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演解答应写出文字说明 证明过程或演 算过程算过程 18 已知函数 f x x 1 x R I 求函数 f x 的最小正周期和单调递减区间 II 在 ABC 中 A B C 的对边分别为 a b c 已知 c f C 1 sinB 2sinA 求 a b 的值 解答 解 由 2 分 1 周期为 T 3 分 因为 4 分 所以 函数的单减区间为 6 分 2 因为 所以 7 分 第 15 页 共 19 页 所以 a2 b2 ab 3 9 分 又因为 sinB 2sinA 所以 b 2a 10 分 解得 a 1 b 2 a b 的值 1 2 12 分 19 如图 在四面体 ABCD 中 已知 ABD CBD 60 AB BC 2 CE BD 于 E 求证 BD AC 若平面 ABD 平面 CBD 且 BD 求二面角 C AD B 的余弦值 解答 I 证明 连接 AE AB BC ABD CBD BE 是公共边 ABE CBE AEB CEB CE BD AE BD 又 AE 平面 ACE CE 平面 ACE AE CE E BD 平面 ACE 又 AC 平面 ACE BD AC 2 解 过 E 作 EF AD 于 F 连接 CF 平面 ABD 平面 BCD CE 平面 BCD 平面 ABD 平面 BCD BD CE BD CE 平面 ABD 又 AD 平面 ABD 第 16 页 共 19 页 CE AD 又 AD EF AD 平面 CEF CFE 为二面角 C AD B 的平面角 AB BC 2 ABD CBD 60 AE BD CE BD BE 1 AE CE DE AD EF CF cos CFE 二面角 C AD B 的余弦值为 20 已知函数 当 a 2 求函数 f x 的图象在点 1 f 1 处的切线方程 当 a 0 时 求函数 f x 的单调区间 解答 解 根据题意 当 a 2 时 f 1 0 函教 f x 的图象在点 1 f 1 处的切线方程为 由题知 函数 f x 的定义域为 0 令 f x 0 解得 x1 1 x2 a 1 当 a 2 时 所以 a 1 1 在区间 0 1 和 a 1 上 f x 0 第 17 页 共 19 页 在区间 1 a 1 上 f x 0 故函数 f x 的单调递增区间是 0 1 和 a 1 单调递减区间是 1 a 1 当 a 2 时 f x 0 恒成立 故函数 f x 的单调递增区间是 0 当 1 a 2 时 a 1 1 在区间 0 a 1 和 1 上 f x 0 在 a 1 1 上 f x 0 故函数 f x 的单调递增区间是 0 a 1 1 单调递减区间是 a 1 1 当 a 1 时 f x x 1 x 1 时 f x 0 x 1 时 f x 0 函数 f x 的单调递增区间是 1 单调递减区间是 0 1 当 0 a 1 时 a 1 0 函数 f x 的单调递增区间是 1 单调递减区间是 0 1 综上 a 2 时函数 f x 的单调递增区间是 0 1 和 a 1 单调 递减区间是 1 a 1 a 2 时 函数 f x 的单调递增区间是 0 当 0 a 2 时 函数 f x 的单调递增区间是 0 a 1 1 单调递 减区间是 a 1 1 当