2018高考一轮复习函数知识点及最新题型归纳

0 20182018 高考高考一轮复习函数知识点及题型归纳一轮复习函数知识点及题型归纳 一 函数的及其表示一 函数的及其表示 题型一 函数的概念题型一 函数的概念 映射的概念 映射的概念 设 是两个集合 如果按照某种对应法则 对于集合中的每一个元素在集合ABfA 中都有唯一确定的元素和它对应 那么这样的对应叫做从集合到集合的映射 记作 BABfAB 函数的概念 函数的概念 如果 都是非空的数集 那么到的映射 就叫做到的函数 记ABABfABAB 作 其中 x y 原象的集合叫做定义域 象的集合叫做函数的值域 yf x A BAC yf x 映射的基本条件 映射的基本条件 1 可以多个 x 对应一个 y 但不可一个 x 对应多个 y 2 每个 x 必定有 y 与之对应 但反过来 有的 y 没有 x 与之对应 函数是一种特殊的映射 必须是数集和数集之间的对应 函数是一种特殊的映射 必须是数集和数集之间的对应 例 1 已知集合 P Q 下列不表示从 P 到 Q 的映射是 40 xx20 yy A f x y x B f x y C f x y D f x y 2 1 x 3 1 x 3 2 x 例 2 设 M x 2 x 2 N y 0 y 2 函数 f x 的定义域为 M 值域为 N 则 f x 的图象可以是 例 3 下列各组函数中 函数与表示同一函数的是 xf xg 1 2 3 1 3 1 xfx xg x x2 xfx tgt 3 1 4 xf 0 x xg xf 2 x xg 2 x 题型二 函数的表达式题型二 函数的表达式 1 1 解析式法解析式法 例 4 已知函数 3 2 0 4tan 0 2 xx f xff xx 则 真题 2017 年山东卷第 9 题 设 若 则 01 21 1 xx f x xx 1f af a 1 f a 1 A 2 B 4 C 6 D 8 2014 江西卷 已知函数 f x a R 若 f f 1 1 则 a a 2x x 0 2 x x 0 A B C 1 D 2 1 4 1 2 2015 高考新课标 1 文 10 已知函数 且 则 1 2 22 1 log 1 1 x x f x xx 3f a 6 fa A B C D 7 4 5 4 3 4 1 4 2 2 图象法图象法 例 5 汽车经过启动 加速行驶 匀速行驶 减速行驶之后停车 若把这一过程中汽车的行驶路程s看作 时间t的函数 其图像可能是 例 6 向高为 H 的水瓶中注水 注满为止 如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图 2 4 所示 那么 水瓶的形状是 例 7 如图 半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 之间 与半圆相交于 F G 1 l 2 ll 1 ll 两点 与三角形 ABC 两边相交于 E D 两点 设弧 FG 的长为 x 0 x y EB BC CD 若 从平行移动到l 1 l 则函数 y f x 的图像大致是 2 l 真题 2015 高考北京 汽车的 燃油效率 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程 下图描述了甲 乙 丙 三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 下列叙述中正确的是 s tO A s tO s tO s tO B C D 2 A 消耗 1 升汽油 乙车最多可行驶 5 千米 B 以相同速度行驶相同路程 三辆车中 甲车消耗汽油最多 C 甲车以 80 千米 小时的速度行驶 1 小时 消耗 10 升汽油 D 某城市机动车最高限速 80 千米 小时 相同条件下 在该市用丙车比用乙车更省油 2015 年新课标 2 文科 如图 长方形的边 AB 2 BC 1 O 是 AB 的中点 点 P 沿着边 BC CD 与 DA 运动 记 BOPx 将动点 P 到 A B 两点距离之和表示为 x 的函数 f x 则的图像大致为 A B C D 3 3 表格法表格法 例 8 已知函数 f x g x分别由下表给出 x x1 12 23 3x x1 12 23 3 f f x x 1 13 31 1g g x x 3 32 21 1 则 1 f g的值为 满足 f g xg f x 的x的值是 题型三 求函数的解析式题型三 求函数的解析式 1 1 换元法换元法 例 9 已知1 1 xxf 则函数 xf 变式 1 已知 则 xxxf2 12 2 3 f 3 变式 2 已知f x6 log2x 那么 f 8 等于 2 2 待定系数法待定系数法 例 10 已知二次函数 x 满足条件 0 1 及 x 1 x 2x 则 x 的解析式 fffff 3 构造方程法构造方程法 例 11 已知 f x 是奇函数 g x 是偶函数 且 f x g x 1 1 x 则 f x 变式 已知 则 f x 1 1 2 2 x x fxf 4 凑配法凑配法 例 12 若 2 2 1 1 x x x xf 则函数 1 xf 5 5 对称问题求解析式对称问题求解析式 例 13 已知奇函数 则当时 f x 0 2 2 xxxxf0 x 真题 2013 安徽卷文 14 定义在上的函数满足 若当时 R f x 1 2 f xf x 01x 则当时 1 f xxx 10 x f x 变式 已知 f x 是奇函数 且 当时 则当时 xfxf 2 3 2 x 1log2 xxf 2 1 x f x 2017 年新课标 II 第 14 题 已知函数是定义在 R 上的奇函数 当 x时 fx 0 32 2 fxxx 则 2 f 二 函数的定义域二 函数的定义域 题型一 求函数定义域问题题型一 求函数定义域问题 1 1 求有函数解析式的定义域问题求有函数解析式的定义域问题 例 14 求函数 的定义域 y x 2 log 3 2 0 16 2 x x 真题 2015 高考湖北文 6 函数的定义域为 2 56 4 lg 3 xx f xx x A B C D 2 3 2 4 2 3 3 4 1 3 3 6 2016 年江苏省高考 函数y 2 32xx 的定义域是 2 2 求抽象函数的定义域问题求抽象函数的定义域问题 例 15 若函数 的定义域是 1 4 则 的定义域是 y xfy 12 xf 例 16 若函数 的定义域是 1 2 则 的定义域是 y 13 xfy 12 xf 真题 已知的定义域为 则的定义域为 xf 2 1 xf 4 A B C D 2 1 1 1 2 2 2 2 题型二 已知函数定义域的求解问题题型二 已知函数定义域的求解问题 例 17 如果函数的定义域为 R 则实数k的取值范围是 34 2 kxkxxf 变式 已知函数 2 31f xmxmx 的值域是 0 则实数m的取值范围是 三 函数的值域三 函数的值域 1 1 二次函数类型 图象法 二次函数类型 图象法 例 18 函数 的值域为 2 23yxx 4 1 x 换元后可化为二次函数型 例 19 求函数的值域为 xxy21 真题 2017 年浙江卷第 5 题 若函数在区间 0 1 上的最大值是 M 最小值 2 fx xaxb 是 m 则 M m A 与 a 有关 且与 b 有关 B 与 a 有关 但与 b 无关 C 与 a 无关 且与 b 无关 D 与 a 无关 但与 b 有关 2 单调性法单调性法 例 20 求函数 的最大值和最小值 5 1 x x xf 4 1 x 3 3 复合函数法复合函数法 例 21 求函数 的最大值和最小值 324 1 xx xf 4 2 x 真题 求函数的范围 32log 2 2 1 xxxf 4 4 函数有界性法函数有界性法 例 22 函数的值域为 2 2 1 2 x x xf 5 5 判别式法判别式法 例 23 函数的值域为 1 23 2 2 xx xx xf 6 6 不等式法求最值 不等式部分讲解 不等式法求最值 不等式部分讲解 例 24 函数 的最大值是 xf 1 1 1 xx 7 7 导数法求函数的极值及最值 详见导数专题 导数法求函数的极值及最值 详见导数专题 真题 真题 2014 上海文 7 设 g x是定义在R上 以 1 为周期的函数 若 f xxg x 在 0 1 上的值域为 2 5 则 f x在区间 0 3 上的值域为 2012 高三一模虹口区 13 已知函数 对于任意的都能找到16 2 2 xxxgaxxf 1 1 1 x 则实数的取值范围是 1 1 122 xfxgx 使得a 5 2016 年全国 II 卷高考 下列函数中 其定义域和值域分别与函数 y 10lgx的定义域和值域相同的是 A y x B y lgx C y 2x D 1 y x 四 函数的奇偶性四 函数的奇偶性 定义 若定义 若 或者 或者 则称 则称为奇函数 为奇函数 xfxf 0 xfxf xf 若若 则称 则称为偶函数 为偶函数 xfxf xf 有奇偶性的前提条件 定义域必须关于原点对称 有奇偶性的前提条件 定义域必须关于原点对称 xf 结论 结论 常见的偶函数 常见的偶函数 等等 等等 n xxf 2 xxf xxfcos xx aaxf 常见的奇函数 常见的奇函数 12 n xxf kxxf x k xf xxfsin xx aaxf 等等 等等 2 1 1 x x a a xf 1 1 2 1 x a xf 1 1 log x x xf a xxxf a 1log 2 结论 结论 奇奇 奇奇 奇奇 偶偶 偶偶 偶偶 奇奇 偶偶 非奇非偶非奇非偶 奇奇 奇奇 偶偶 偶偶 偶偶 偶偶 奇奇 偶偶 奇奇 偶偶 常数常数 偶偶 奇奇 常数常数 非奇非偶非奇非偶 因为因为为奇函数 为奇函数 为偶函数 所以可以把奇函数看作是为偶函数 所以可以把奇函数看作是 负号负号 把偶函数看 把偶函数看 xfxf xfxf 作是作是 正号正号 则有助于记忆 则有助于记忆 题型一 判断题型一 判断函数的函数的奇偶性 奇偶性 1 1 图像法图像法 例 25 画出函数 的图象并判断函数的奇偶性 5f x f x 2 2 定义法 定义法 例 26 判断函数的奇偶性 11 22 xxxf 3 3 结论法 结论法 例 27 判断函数的奇偶性 2011 1 f xxx x 题型二 已知函数奇偶性的求解问题题型二 已知函数奇偶性的求解问题 例 28 已知函数为定义在上的奇函数 且当时 求 的解析 xfy R0 x32 2 xxxf xf 式 例 29 已知是定义域为的偶函数 当 时 那么 不等式的 f xRx0 2 4f xxx 2 5f x 解集是 例 30 已知定义域为 R 的函数 a b xf x x 1 2 2 是奇函数 则a b 真题 2013 辽宁文 6 6 若函数 21 x f x xxa 为奇函数 则a 2015 新课标 若函数 f x xln x 为偶函数 则 a 2 ax 6 2015 高考山东文 8 若函数是奇函数 则使成立的的取值范围为 21 2 x x f x a 3f x x 2016 年天津高考 已知 xf是定义在R上的偶函数 且在区间 0 上单调递增 若实数a满足 2 2 1 ff a 则a的取值范围是 A 2 1 B 2 3 2 1 C 2 3 2 1 D 2 3 2017 年山东卷第 14 题 已知 f x 是定义在 R 上的偶函数 且 f x 4 f x 2 若当时 3 0 x 6 x f x 则 f 919 2017 年天津卷第 6 题 已知奇函数在上是增函数 若 f xR 则的大小关系为 0 8 22 1 log log 4 1 2 5 afbfcf a b c A B C D abc bac cba cab 2017 年北京卷第 5 题 已知函数 则 1 3 3 xx f x f x A 是偶函数 且在 R 上是增函数 B 是奇函数 且在 R 上是增函数 C 是偶函数 且在 R 上是减函数 D 是奇函数 且在 R 上是增函数 题型三 题型三 其中 其中为奇函数 为奇函数 为常数 则 为常数 则 cxgxf xgc cafaf2 例 31 已知都是奇函数 且在的最大值是 8 则在 xx 2f xxx 1 3x f x 的最 值是 3 1x 真题 2012 高考新课标文 16 设函数的最大值为 M 最小值为 m 则 M m 1 sin1 2 2 x xx xf 2011 广东文 12 设函数 3 cos1f xxx 若 11f a 则 fa 2013 重庆高考文科 9 已知函数 3 sin4 f xaxbxa bR 2 lg log 10 5f 则 lg lg2 f A 5 B 1 C 3 D 4 2013 高考文 7 已知函数 则 2 ln 1 93 1f xxx 1 lg2 lg 2 ff 1 0 1 2ABCD 题型四 利用奇偶性和周期性求函数值的问题题型四 利用奇偶性和周期性求函数值的问题 例 32 设 f x是定义在R上的奇函数 当x 时 f xxx 则 f 7 例 33 设 f x是周期为2的奇函数 当01x 时 21f xxx 则 5 2 f 真题 2016 年四川高考 若函数 f x 是定义 R 上的周期为 2 的奇函数 当 0 x0 时 x f f x 0 成立的 x 的取值范围是 x f x A 1 0 1 B 0 1 C 1 1 0 D 1 1 11 2017 年江苏卷第 14 题 设 f x 是定义在 R 且周期为 1 的函数 在区间上 其 0 1 2 xxD fx x xD 中集合 D 则方程 f x lgx 0 的解的个数是 1 n x xnN n 七 函数图象的基本变换七 函数图象的基本变换 结论 由函数结论 由函数可得到如下函数的图象可得到如下函数的图象 xfy 1 1 平移 平移 1 1 把函数 把函数 y y f f x x 的图象向左平移的图象向左平移 m m 的单位 如的单位 如 m 0m 0 则向右平移则向右平移 m m 个单位 个单位 0 mmxfy 2 2 把函数 把函数 y y f f x x 的图象向上平移的图象向上平移 m m 的单位 如的单位 如 m 0m0 m 0 的图象可将的图象可将 y y f f x x 图象上各点的纵坐标不变 横坐标缩小到原来的图象上各点的纵坐标不变 横坐标缩小到原来的倍倍 m 1 得到 得到 如果 如果 0 m 10 m0 m 0 的图象可将的图象可将 y y f f x x 图象上各点的横坐标不变 纵坐标缩小到原来的图象上各点的横坐标不变 纵坐标缩小到原来的倍倍 m 1 得到 得到 如果 如果 0 m 10 m0 且 a 1 例 52 设都是不等于 的正数 在同一坐标系中的图像如图所示 dcba 1 xxxx dycybyay 则的大小顺序是 dcba A B abcd abdc C D badc bacd 例 53 函数对于任意的 x y 都有 1 0 aaaxf x 且 A B yfxfxyf yfxfxyf C D yfxfyxf yfxfyxf 题型三 指数函数性质的综合应用题型三 指数函数性质的综合应用 1 1 指数函数的概念 指数函数的概念 一般地 函数一般地 函数叫做指数函数 其中叫做指数函数 其中x x是自变量 函数的定义域为是自变量 函数的定义域为 R R 1 0 aaay x 且 2 2 指数函数的图像和性质指数函数的图像和性质 a a 1 10 0 a a 10 0 时 时 y y 1 1 当当x x 0 0 时 时 0 0 y y 10 0 时 时 0 0 y y 1 1 当当x x 01 1 补充 恒过定点问题 补充 恒过定点问题 例 54 函数且的图像必经过点 0 1 2 aay x 1 a 例 55 函数的图像必经过点 132log xy a 例 56 函数的图像恒过定点 123 mxmxy 例 57 函数的图像必经过点 02432 mymyxmx 真题 2016 年全国 III 卷高考 已知 421 333 2 3 25abc 则 A bac B abc C bca D cab 九 对数函数九 对数函数 题型一 对数运算题型一 对数运算 1 1 对数的定义 对数的定义 一般地 如果一般地 如果 那么数 那么数叫做以叫做以为底为底的对数 记作 的对数 记作 底数 底数 Na x 1 0 aaxaNNx a log a 真数 真数 对数式 对数式 NN a log 2 2 对数的运算性质 对数的运算性质 如果如果 且 且 那么 那么 0 a1 a0 M0 N M a log N N M a loglog n aM Rn 注意 换底公式注意 换底公式 且 且 且 且 a b b c c a log log log 0 a1 a0 c1 c0 b 3 3 几个小结论 几个小结论 log n n a b log n a M log n m a b loglog ab ba 4 4 对数的性质 负数没有对数 对数的性质 负数没有对数 log 1 log aaa 例 58 求值 2233 log 32log3 3log 4log 2 例 59 若 则 log211 x x 例 60 则3128 xy 11 xy 例 61 若 则 a 2lgb 3lg 12lg45lg 真题 若点 a b在lgyx 图像上 a 则下列点也在此图像上的是 16 A b a B ab C b a D 2 2 ab 2015 高考浙江 文 9 计算 2 2 log 2 24 log 3 log 3 2 2015 高考四川 文 12 lg0 01 log216 2015 高考上海 文 8 方程2 23 log 59 log 1 2 1 2 xx 的解为 2015 高考北京 如图 函数的图像为折线 则不等式的解集是 f xACB 2 log1f xx A B Ox y 12 2 C A B C D 10 xx 11xx 11xx 12xx 题型二 对数函数及其性质题型二 对数函数及其性质 1 1 对数函数的概念 对数函数的概念 函数函数 且 且叫做对数函数 其中叫做对数函数 其中是自变量 函数的定义域是 是自变量 函数的定义域是 0 0 0 log axy a 1 ax 2 2 对数函数的图像和性质 对数函数的图像和性质 a a 1 10 0 a a 11 1 时 时 y y 0 0 当当 0 0 x x 1 1 时 时 y y 01 1 时 时 y y 0 0 当当 0 0 x x 10 0 例 64 函数的图像关于 2 lg1 1 y x A 轴对称 B 轴对称 C 原点对称 D 直线对称xyyx 17 例 65 已知 则函数的单调增区间为 当时 函数的最小值为 x x y 1 ln 2 0 x 例 66 的递增区间为 3 log2yx 例 67 若存在正数使成立 则的取值范围是 x2 1 x xa a A B C D 2 0 1 例 68 当 0 x 时 则a的取值范围是 1 2 x 4x a log A 0 B 1 C 1 D 2 2 2 2 222 题型三 对数函数性质的综合应用题型三 对数函数性质的综合应用 例 70 已知 y loga 2 ax 在 0 1 上是关于 x 的减函数 则 a 的取值范围是 A 0 1 B 1 2 C 0 2 D 2 真题 2011 湖南文 8 已知函数 2 1 43 x f xeg xxx 若有 f ag b 则b的取值 范围为 题型四 比较大小题型解法 题型四 比较大小题型解法 1 1 等号两边同时 等号两边同时 n n 次方次方 如 比较如 比较 和和 和和的大小的大小 2 233 1 0 8 2 0 3 2 2 能化为同底则化为同底 技巧 能化为同底则化为同底 技巧 等等等等 n a a aa a b b bbb n log 1 loglogloglog 1 2 2 例 71 2011 天津文 5 5 已知 244 log 3 6 log 3 2 log 3 6abc 则 A abc B acb C bac D cab 例 72 重庆文 设 113 33 124 log log log 233 abc 则 a b c的大小关