等腰直角三角形学案

等腰直角三角形专题训练一 1 如图 1 在 ABC 中 BAC 90 AB AC BD 平分 ABC 交 AC 于 D AE BD 于 F 交 BC 于 E 则下列结论 AB BE CAE 1 2 ABC AD CE CD CE AB 其中正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 你还可以发现什么其他的正确结论 猜想并证明 E F D C A B N M P E F D C A B 图 1 图 2 角有 22 5 45 67 5 90 112 5 全等三角形关键是两大类 一类以成轴对称变换得到的两个三角形全等 即共一类以成轴对称变换得到的两个三角形全等 即共 边的全等三角形边的全等三角形 A 点和 E 点关于直线 BD 成轴对称 所以产生两个等腰三角形 ABE 和 ADE 相等的线段有 AB BE AC AD CE DE BD 是线段 AE 的垂直平分线 利用相等的线段代换类 BC AC AD CD CE AB BC CD 2AD DEC 的周长 BC 的长 BDC 的面积 1 2 BC AD 第二类是以旋转变换得到的两个三角形全等 即等边的全等三角形第二类是以旋转变换得到的两个三角形全等 即等边的全等三角形 如图 2 ABP CAE ABF CAM ABD CAN 从而可以得出以下结论 BD AE 2DFBD AE 2DF 由第二类证明变化 变式 1 如图 已知在 ABC 中 BAC 90 AB AC 直线 MN 过 A 点 BD MN 于 D 点 CE MN 于 E 点 1 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 位置时 试探 求 DE BD CE 三条线段之间的数量关系并证明 2 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 位置时 1 的结论是否成立 猜想并证明 3 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 位置时 1 的结论是否成立 猜想并证明 N M E D C A B N M E D C A B N M E D C A B 由题目引申变化 变式 2 在第 1 题的前提下增加条件过 C 点作 CH BD 交 BD 的延长线于 H 点 求证 AHC 135 H E F D CB A G H E F D C A B 图 3 图 4 变式 3 如图 5 在 ABC 中 BAC 90 AB AC BD 平分 ABC 交 AC 于 D AE BD 于 F 交 BC 于 E 若将 BD 平分 ABC 改为 BD 是 AC 边上的中 线 求证 ADB CDE j F E C A B D 图 5 说明 将角平分线变为中线后 第一类的全等三角形不成立了 但是第二类的 全等三角形成立 变式 3 2 2007 日照 如图 6 在等腰 Rt ABC 中 ACB 90 D 为 BC 的中点 DE AB 垂足为 E 过点 B 作 BF AC 交 DE 的延长线于点 F 连接 CF 1 求证 AD CF 2 连接 AF 试判断 ACF 的形状 并说明理由 变式 4 推广到一般 如图 7 在 ABC 中 BAC 90 AB AC 在 BAC 的内 部作射线 BP 交 AC 于 D AE BD 于 F 交 BC 于 E CH BD 交 BD 于 H 点 求证 AHC 135 2 猜想 BH HC AF 之间的关系 E D F H C P B A 变式 4 1 如图 在平面直角坐标系中 A 4 0 B 0 4 点 N 为 OA 上一 点 OM BN 于 M 且 ONB 45 MON 1 求证 BN 平分 OBA 2 求 OM MN BN x y M N O B A y x P O B A 3 若点 P 为第四象限内一动点 AP BN 交 BN 的延长线于 P 点 求 APO 的 度数 2 2012 浙江 舟山嘉兴浙江 舟山嘉兴 5 分 分 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 BA BC 点 D 是 AB 的中点 连接 CD 过点 B 作 BG 丄 CD 分别交 GD CA 于点 E F 与过点 A 且垂 直于的直线相交于点 G 连接 DF 给出以下四个结论 点 F 是 GE 的中点 AF AB S ABC 5S BDF 其中正确的结论 AGFG ABFB 2 3 序号是 答案答案 考点考点 相似三角形的判定和性质 勾股定理 等腰直角三角形的性质 分析分析 在 Rt ABC 中 ABC 90 AB BC 又 AG AB AG BC AFG CFB AGFG CBFB BA BC 故 正确 AGFG ABFB ABC 90 BG CD DBE BDE BDE BCD 90 DBE BCD AB CB 点 D 是 AB 的中点 BD AB CB 1 2 1 2 BD1 tan BCD BC2 又 BG 丄 CD DBE BCD 在 Rt ABG 中 AG1 tan DBE AB2 FG FB 故 错误 AGFG CBFB 1 2 AFG CFB AF CF AG BC 1 2 AF AC 1 3 AC AB AF AB 故 正确 2