2018年高考文科数学试题及参考答案(全国I卷)

文科数学试题 第 1 页 共 13 页 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非 选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 0 2 A 2 1 0 1 2 B AB A B C D 0 2 1 2 0 2 1 0 1 2 2 设 则 1i 2i 1i z z A B C D 0 1 2 12 3 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况 统计了该地区新农村建 设前后农村的经济收入构成比例 得到如下饼图 文科数学试题 第 2 页 共 13 页 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的 一半 4 已知椭圆的一个焦点为 则的离心率为 22 2 1 4 xy C a 2 0 C A B C D 1 3 1 2 2 2 2 2 3 5 已知圆柱的上 下底面的中心分别为 过直线的平面截该 1 O 2 O 12 OO 圆柱所得的截面是面积为 的正方形 则该圆柱的表面积为8 A B C D 12 2 12 8 2 10 6 设函数 若为奇函数 则曲线在 32 1 f xxaxax f x yf x 点处的切线方程为 0 0 A B C D 2yx yx 2yx yx 7 在中 AD 为 BC 边上的中线 E 为 AD 的中点 则ABC EB A B 31 44 ABAC 13 44 ABAC C D 31 44 ABAC 13 44 ABAC 8 已知函数 则 22 2cossin2f xxx A 的最小正周期为 最大值为 f x 3 B 的最小正周期为 最大值为 f x 4 C 的最小正周期为 最大值为 f x2 3 D 的最小正周期为 最大值为 f x2 4 文科数学试题 第 3 页 共 13 页 9 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如右图 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A 圆柱 表 面上的点 N 在左视图上的对应点为 B 则在此圆柱侧 面上 从 M 到 N 的路径中 最短路径的长度为 A B 2 172 5 C D 32 10 在长方体中 与平面所成 1111 ABCDABC D 2ABBC 1 AC 11 BBC C 的角为 30 则该长方体的体积为 A B C D 86 28 28 3 11 已知角的顶点为坐标原点 始边与 x 轴的非负半轴重合 终边上有两 点 且 则 1 Aa 2 Bb 2 cos2 3 ab A B C D 1 5 5 5 2 5 5 1 12 设函数 则满足的的取值范围是 2 0 1 0 x x f x x 1 2 f xfx x A B C D 1 0 1 0 0 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知函数 若 则 2 2 log f xxa 3 1f a 14 若 满足约束条件 则的最大值为 xy 220 10 0 xy xy y 32zxy 15 直线与圆交于 两点 则 1yx 22 230 xyy AB AB 16 的内角 的对边分别为 已知ABC ABCabc 则的面积为 sinsin4 sinsinbCcBaBC 222 8bca ABC 文科数学试题 第 4 页 共 13 页 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 已知数列满足 设 n a 1 1a 1 2 1 nn nana n n a b n 1 求 1 b 2 b 3 b 2 判断数列是否为等比数列 并说明理由 n b 3 求的通项公式 n a 文科数学试题 第 5 页 共 13 页 18 12 分 如图 在平行四边形中 ABCM 以3ABAC 90ACM 为折痕将折起 使点ACACM 到达点 D 的位置 且 MABDA 1 证明 平面平面ACD ABC 2 为线段上一点 为线段上一点 且 QADPBC 2 3 BPDQDA 求三棱锥的体积 QABP 文科数学试题 第 6 页 共 13 页 19 12 分 某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据 单位 和使 3 m 用了节水龙头 50 天的日用水量数据 得到频数分布表如下 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 0 4 0 4 0 5 0 5 0 6 0 6 0 7 频数13249265 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 0 4 0 4 0 5 0 5 0 6 频数151310165 1 在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布 直方图 2 估计该家庭使用节水龙头后 日用水量小于 0 35的概率 3 m 3 估计该家庭使用节水龙头后 一年能节省多少水 一年按 365 天计算 同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表 文科数学试题 第 7 页 共 13 页 20 12 分 设抛物线 点 过点的直线 与交于 2 2C yx 2 0 A 2 0 B AlC 两点 MN 1 当 与轴垂直时 求直线的方程 lxBM 2 证明 ABMABN 21 12 分 已知函数 eln1 x f xax 1 设是的极值点 求 并求的单调区间 2x f xa f x 2 证明 当时 1 e a 0f x 文科数学试题 第 8 页 共 13 页 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系中 曲线的方程为 以坐标原点为极xOy 1 C 2yk x 点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线的极坐标方程为x 2 C 2 2 cos30 1 求的直角坐标方程 2 C 2 若与有且仅有三个公共点 求的方程 1 C 2 C 1 C 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 1 1 f xxax 1 当时 求不等式的解集 1a 1f x 2 若时不等式成立 求的取值范围 0 1 x f xx a 文科数学试题 第 9 页 共 13 页 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一 选择题 1 A 2 C 3 A 4 C 5 B 6 D 7 A 8 B 9 B10 C11 B12 D 二 填空题 13 14 15 16 7 62 2 2 3 3 三 解答题 17 解 1 由条件可得 1 2 1 nn n aa n 将代入得 而 所以 1n 21 4aa 1 1a 2 4a 将代入得 所以 2n 32 3aa 3 12a 从而 1 1b 2 2b 3 4b 2 是首项为 公比为的等比数列 n b12 由条件可得 即 又 所以是首项为 1 2 1 nn aa nn 1 2 nn bb 1 1b n b1 公比为的等比数列 2 3 由 2 可得 所以 1 2n n a n 1 2n n an 18 解 1 由已知可得 90BAC BAAC 又 所以平面 BAAD AB ACD 文科数学试题 第 10 页 共 13 页 又平面 AB ABC 所以平面平面 ACD ABC 2 由已知可得 3DCCMAB 3 2DA 又 所以 2 3 BPDQDA 2 2BP 作 垂足为 则 QEAC EQE 1 3 DC 由已知及 1 可得平面 所以平面 DC ABCQE ABC1QE 因此 三棱锥的体积为QABP 111 132 2sin451 332 Q ABPABP VQE S 19 解 1 2 根据以上数据 该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0 35 的频率为 3 m 0 20 110 12 60 120 050 48 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0 35的概率的估计值为 3 m 0 48 3 该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为 文科数学试题 第 11 页 共 13 页 1 1 0 05 10 1530 2520 3540 4590 55260 655 0 48 50 x 该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为 2 1 0 05 10 1550 25 130 35 100 45 160 555 0 35 50 x 估计使用节水龙头后 一年可节省水 3 0 480 35 36547 45 m 20 解 1 当 与 x 轴垂直时 的方程为 可得的坐标为或ll2x M 2 2 2 2 所以直线的方程为或 BM 1 1 2 yx 1 1 2 yx 2 当 与 x 轴垂直时 AB 为 MN 的垂直平分线 所以l ABMABN 当 与 x 轴不垂直时 设 的方程为 ll 2 0 yk xk 11 M x y 则 22 N xy 12 0 0 xx 由得 可知 2 2 2 yk x yx 2 240kyyk 1212 2 4yyy y k 直线 BM BN 的斜率之和为 12 12 22 BMBN yy kk xx 211212 12 2 2 2 x yx yyy xx 将 及的表达式代入 式分子 可得 1 1 2 y x k 2 2 2 y x k 1212 yyy y 1212 211212 24 2 y yk yy x yx yyy k 88 0 k 所以 可知 BM BN 的倾斜角互补 所以 0 BMBN kk ABMABN 综上 ABMABN 21 解 1 的定义域为 f x 0 1 exfxa x 由题设知 所以 2 0 f 2 1 2e a 从而 2 1 eln1 2e x f xx 2 11 e 2e x fx x 当时 当时 02x 0fx 2x 0fx 文科数学试题 第 12 页 共 13 页 所以在单调递减 在单调递增 f x 0 2 2 2 当时 1 e a e ln1 e x f xx 设 则 e ln1 e x g xx e1 e x g x x 当时 当时 所以是的最 01x 0g x 1x 0g x 1x g x 小值点 故当时 0 x 1 0g xg 因此 当时 1 e a 0f x 22 解 1 由 得的直角坐标方程为cosx siny 2 C 22 1 4xy 2 由 1 知是圆心为 半径为的圆 2 C 1 0 A 2 由题设知 是过点且关于轴对称的两条射线 记轴右边 1 C 0 2 Byy 的射线为 轴左边的射线为 由于在圆的外面 故与有且 1 ly 2 lB 2 C 1 C 2 C 仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点 或 1 l 2 C 2 l 2 C 与只有一个公共点且与有两个公共点 2 l 2 C 1 l 2 C 当与只有一个公共点时 到所在直线的距离为 所以 1 l 2 CA 1 l2 故或 经检验 当时 与没有公共点 2 2 2 1 k k 4 3 k 0k 0k 1 l 2 C 当时 与只有一个公共点 与有两个公共点 4 3 k 1 l 2 C 2 l 2 C 当与只有一个公共点时 到所在直线的距离为 所以 2 l 2 CA 2 l2 故或 经检验 当时 与没有公共点 2 2 2 1 k k 0k 4 3 k 0k 1