2018年河南省濮阳市高考数学一模试卷(理科)

第 1 页 共 23 页 2018 年河南省濮阳市高考数学一模试卷 理科 年河南省濮阳市高考数学一模试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的选项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 已知集合 A x x2 x 2 0 B 2 1 0 1 2 则 A B A 2 1 0 B 1 0 1 C 0 1 D 0 1 2 2 5 分 若复数 z 满足 1 2i 其中 i 为虚数单位 表示复数 z 的共轭复 数 则 z A 3 iB 3 iC 3 iD 3 i 3 5 分 如图所示的长方形的长为 2 宽为 1 在长方形内撒一把豆子 豆子 大小忽略不计 然后统计知豆子的总数为 m 粒 其中落在飞鸟图案中的豆 子有 n 粒 据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为 A B C D 4 5 分 函数的图象大致为 A B C D 5 5 分 设 0 90 若 sin 75 2 则 sin 15 sin 75 A B C D 第 2 页 共 23 页 6 5 分 设点 M 是 表示的区域 1内任一点 点 N 是区域 1关 于直线 l y x 的对称区域 2内的任一点 则 MN 的最大值为 A B 2C 4D 5 7 5 分 已知三棱锥 A BCD 中 ABD 与 BCD 是边长为 2 的等边三角形且 二面角 A BD C 为直二面角 则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为 A B 5 C 6 D 8 5 分 执行如图所示的程序框图 其中 b cmod10 表示 b 等于 c 除以 10 的 余数 则输出的 b 为 A 2B 4C 6D 8 9 5 分 某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的 其三视图如图所示 则该几何体的体积为 第 3 页 共 23 页 A B C D 10 5 分 已知双曲线 x2 y2 4 F1是左焦点 P1 P2是右支上两个动点 则 F1P1 F1P2 P1P2 的最小值是 A 4B 6C 8D 16 11 5 分 已知 ABC 中 sinA sinB sinC 成等比数列 则的取值 范围是 A B C D 12 5 分 已知 a 0 且 a 1 若当 x 1 时 不等式 ax ax 恒成立 则 a 的最 小值是 A eB C 2D ln2 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 分 满分分 满分 20 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 5 分 正三角形 ABC 的边长为 1 G 是其重心 则 14 5 分 的展开式中 x3的系数为 15 5 分 已知椭圆 F1和 F2是椭圆的左 右焦点 过 F1 的直线交椭圆于 A x1 y1 B x2 y2 两点 若 ABF2的内切圆半径为 1 F1F2 2 y1 y2 3 则椭圆离心率为 16 5 分 先将函数 f x sinx 的图象上的各点向左平移个单位 再将各 点的横坐标变为原来的倍 其中 N 得到函数 g x 的图象 若 第 4 页 共 23 页 g x 在区间上单调递增 则 的最大值为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤算步骤 17 12 分 已知数列 an 是等差数列 a1 t2 t a2 4 a3 t2 t 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 为递增数列 数列 bn 满足 log2bn an 求数列 an 1 bn 的 前 n 项和 Sn 18 12 分 为创建国家级文明城市 某城市号召出租车司机在高考期间至少 参加一次 爱心送考 该城市某出租车公司共 200 名司机 他们参加 爱心送 考 的次数统计如图所示 1 求该出租车公司的司机参加 爱心送考 的人均次数 2 从这 200 名司机中任选两人 设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机 变量 X 求 X 的分布列及数学期望 19 12 分 如图 正方形 ABCD 中 AB 2 AC 与 BD 交于 O 点 现将 ACD 沿 AC 折起得到三棱锥 D ABC M N 分别是 OD OB 的中点 1 求证 AC MN 2 若三棱锥 D ABC 的最大体积为 V0 当三棱锥 D ABC 的体积为 且二 面角 D AC B 为锐角时 求二面角 D NC M 的正弦值 第 5 页 共 23 页 20 12 分 已知点 M 2 1 在抛物线 C y ax2上 A B 是抛物线上异于 M 的两点 以 AB 为直径的圆过点 M 1 证明 直线 AB 过定点 2 过点 M 作直线 AB 的垂线 求垂足 N 的轨迹方程 21 12 分 已知函数 f x xlnx 1 若函数 f x 在 0 上是减函数 求实数 m 的取值范围 2 若函数 f x 在 0 上存在两个极值点 x1 x2 且 x1 x2 证明 lnx1 lnx2 2 选修选修 4 4 坐标系与参数方程选讲 坐标系与参数方程选讲 22 10 分 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的参数方程为 为 参数 以平面直角坐标系的原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系 1 求曲线 C 的极坐标方程 2 过原点 O 的直线 l1 l2分别与曲线 C 交于除原点外的 A B 两点 若 AOB 求 AOB 的面积的最大值 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 已知函数 f x ax 2x 1 2 a R 1 求不等式 f x f x 0 的解集 2 若函数 y f x 在 R 上有最大值 求实数 a 的取值范围 第 6 页 共 23 页 2018 年河南省濮阳市高考数学一模试卷 理科 年河南省濮阳市高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的选项中 只有一项是符合题目要求的 1 分析 求出集合 A 的等价条件 利用集合交集的定义进行求解即可 解答 解 A x x2 x 2 0 x 1 x 2 则 A B 0 1 故选 C 点评 本题主要考查集合的基本运算 比较基础 2 分析 把已知等式变形 利用复数代数形式的乘法运算化简 再由共轭复数 的概念得答案 解答 解 由 1 2i 得 则 z 3 i 故选 A 点评 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的基本概念 是基础 题 3 分析 根据几何概型的定义判断即可 解答 解 由题意 长方形的面积是 2 飞鸟图案的面积与长方形的面积之比约是 故图中飞鸟图案的面积约是 第 7 页 共 23 页 故选 B 点评 本题考查了几何概型的应用 是一道基础题 4 分析 利用排除法 再判断函数的奇偶性 再取特殊值 解答 解 由函数为偶函数排除 A D 又 f 2 1 0 排除 B 故选 C 点评 本题考查了函数的性质和图象 考查了数形结合的思想 属于基础题 5 分析 利用诱导公式 同角三角函数的基本关系 求得 sin 15 2 再把要 求的式子化为 sin 45 15 2 根据两角和差的正弦公式 计算求得 结果 解答 解 0 90 sin 75 2 cos 15 2 15 2 175 90 sin 15 2 则 sin 15 sin 75 sin 15 cos 15 sin 30 2 sin 45 15 2 sin45 cos 15 2 cos45 sin 15 2 故选 B 点评 本题主要考查诱导公式 同角三角函数的基本关系 两角和差的正弦 公式的应用 属于中档题 6 第 8 页 共 23 页 分析 根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域 1 根 据对称的性质 不难得到 当 A 点距对称轴的距离最大时 MN 有最大 值 解答 解 作出不等式组对应的平面区域 1 阴影部分在第二象限 平面区域是 2与 1关于直线 y x 对称 要使 MN 的距离最大 则只需点 M 到直线 y x 的距离最大即可 由图象可知当点 M 位于的交点 4 1 时 满足题意 此时 M 到直线 x y 0 的距离 d MN 的最大值为 2d 5 故选 D 点评 利用线性规划解平面上任意两点的距离的最值 关键是要根据已知的 约束条件 画出满足约束约束条件的可行域 再去分析图形 根据图形的性 质 对称的性质等找出满足条件的点的坐标 代入计算 即可求解 7 分析 首先确定球心的位置 进一步确定球的半径 最后确定球的表面积 解答 解 如图所示 第 9 页 共 23 页 ABD 与 BCD 是边长为 2 的等边三角形且二面角 A BD C 为直二面角 则 E F 分别是 ABC 和 BCD 的中心 球心 O 为 ABC 和 BCD 的过中心的垂线的交点 则 OE OF ED 利用勾股定理得 则 S 4 故选 D 点评 本题考查的知识要点 球的表面积公式的应用 重点考察球的球心位 置的判定 8 分析 由已知中的程序语句可知 该程序的功能是利用循环结构计算并输出 变量 b 的值 模拟程序的运行过程 分析循环中各变量值的变化情况 可得 答案 解答 解 模拟程序的运行 可得 a 2 b 8 n 1 c 16 a 8 b 6 n 2 不满足条件 n 2017 执行循环体 c 48 a 6 b 8 n 3 不满足条件 n 2017 执行循环体 c 48 a 8 b 8 n 4 第 10 页 共 23 页 不满足条件 n 2017 执行循环体 c 64 a 6 b 4 n 5 不满足条件 n 2017 执行循环体 c 32 a 4 b 2 n 6 不满足条件 n 2017 执行循环体 c 8 a 2 b 8 n 7 由于 2017 6 336 1 观察规律可得 当 n 2017 时 b 8 故选 D 点评 本题考查了程序框图的应用问题 解题时应模拟程序框图的运行过程 以便得出正确的结论 是基础题 9 分析 根据三视图知该几何体是由长方体截去一个四棱锥所得的组合体 画 出几何体的直观图 结合图中数据求出几何体的体积 解答 解 由三视图知 该几何体是由长方体截去一个四棱锥所得的组合体 画出几何体的直观图 如图所示 结合图中数据 计算几何体的体积为 V 1 1 2 1 1 2 故选 A 点评 本题考查了三视图与空间想象能力的应用问题 是基础题 10 分析 设双曲线的右焦点为 F2 F1P1 2a F2P1 F1P2 2a F2P2 则 F1P1 F1P2 P1P2 2a F2P1 2a F2P2 P1P2 8 F2P1 F2P2 P1P2 8 第 11 页 共 23 页 解答 解 设双曲线的右焦点为 F2 F1P1 2a F2P1 F1P2 2a F2P2 则 F1P1 F1P2 P1P2 2a F2P1 2a F2P2 P1P2 8 F2P1 F2P2 P1P2 8 故选 C 点评 本题考查了双曲线的定义 性质 考查了转化思想 属于中档题 11 分析 由 sinA sinB sinC 依次成等比数列 利用等比数列的性质列出关系式 利用正弦定理化简 再利用余弦定理表示出 cosB 把得出关系式代入并利用 基本不等式求出 cosB 的范围 再设 sinB cosB t 可得 y t 在 1 上是增函数 即可求出 解答 解 在 ABC 中 sinA sinB sinC 依次成等比数列 sin2B sinAsinC 利用正弦定理化简得 b2 ac 由余弦定理得 cosB 2 当且仅当 a c 时取等号 cosB B 的范围为 0 设 y 设 sinB cosB t 则 2sinBcosB t2 1 由于 t sinB cosB sin B B 0 知 t 1 故 y t t 1 y t 在 1 上是增函数 y 0 第 12 页 共 23 页 故选 B 点评 本题考查了解三角形 辅助角公式与函数值域综合 考查了转化与化 归思想 属于中档题 12 分析 推导出 ax 1 x 从而 x 1 lna lnx 令 p x lnx x 1 lna 则 x 1 时 p x 0 p x 由此利用导数性质结合分类讨论思想 能求出 a 的最小值 解答 解 a 0 且 a 1 当 x 1 时 不等式 ax ax 恒成立 ax 1 x 两边取自然对数 得 x 1 lna lnx 令 p x lnx x 1 lna 则 x 1 时 p x 0 p x 当 lna 0 即 a 0 1 时 p x 0 p x 递增 当 x 1 时 p x p 1 0 与 p x 0 矛盾 当 lna 0 即 a 1 时 令 p x 0 得 x x 0 p x 0 p x 递增 x p x 0 p x 递减 若 1 即 a 1 e 当 x 1 时 p x 递增 p x p 1 0 矛盾 若 1 即 a e 当 x 1 时 p x p 1 0 成立 综上 a 的取值范围是 e 故 a 的最小值是 e 故选 A 点评 本题考查实数值的最小值的求法 考查导数与函数的单调性 极值 第 13 页 共 23 页 最值 着重考查学生的逻辑推理能力以及运算求解能力 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 分 满分分 满分 20 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 分析 由已知可得 向量的夹角为 30 然后直 接代入数量积公式求解 解答 解 正三角形 ABC 的边长为 1 又 G 是其重心 且向量的夹角为 30 故答案为 点评 本题考查平面向量的数量积运算 考查运算求解能力 是中档题 14 分析 把按二项式展开 得出展开式中 x3只可能出现在 1 x 8中 从而求得 x3的系数 解答 解 1 x 8 1 x 7 展开式中 x3只可能出现在 1 x 8中 x3的系数为 56 故答案为 56 点评 本题考查了二项式定理的应用问题 也考查了运算求解能力 是基础 题 第 14 页 共 23 页 15 分析 根据椭圆的性质以及三角形的面积公式即可求出 解答 解 ABF2的周长为 l 则 ABF2的面积 S lr 4a 1 2a 又 S F1F2 y1 y2 2 3 3 则 2a 3 解得 a 又 c 1 则 e 故答案为 点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系综合 考查了应用意识 属于基础 题 16 分析 根据三角函数图象平移法则得出函数 g x 的解析式 再根据 g x 的单调性 列出不等式组求出正整数 的最大值 解答 解 函数 f x sinx 的图象上的各点向左平移个单位 得 y sin x 的图象 再将函数图象各点的横坐标变为原来的倍 其中 N 得 y sin x 的图象 函数 g x sin x 若 g x 在区间上单调递增 则 解得 12k 4 8k k Z 由 12k 4 8k 解得 k 当 k 1 时 8 第 15 页 共 23 页 正整数 的最大值为 9 故答案为 9 点评 本题考查了三角函数图象的平移和求三角函数单调区间问题 是中档 题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤算步骤 17 分析 1 利用已知条件求出数列的通项公式 2 根据 1 的通项公式 进一步利用乘公比错位相减法求和 解答 解 1 数列 an 是等差数列 a1 t2 t a2 4 a3 t2 t 则 2a2 a1 a3 所以 t2 t t2 t 8 解得 t 2 当 t 2 时 a1 2 公差 d 2 所以 an 2n 当 t 2 时 a1 6 公差 d 2 所以 an 8 2n 2 由于 数列 an 为递增数列 则 an 2n 数列 bn 满足 log2bn an 则 则 an 1 bn 2n 1 4n 所以 Sn 1 41 3 42 2n 1 4n 4Sn 1 42 3 43 2n 1 4n 1 得 3Sn 4 2 42 2 43 2 4n 2n 1 4n 1 第 16 页 共 23 页 2n 1 4n 1 所以 Sn 点评 本题考查的知识要点 数列的通项公式的求法及应用 乘公比错位相 减法在数列求和中的应用 18 分析 1 由统计图得 200 名司机中送考一次的有 20 人 送考两次的有 100 人 送考三次的有 80 人 由此能求出该出租车公司的司机参加 爱心送考 的人均次数 2 从该公司任选两名司机 记 这两人中一人参加 1 次 另一人参加 2 次送 考 为事件 A 这两人中 一人参加 2 次 另一人参加 3 次送考 为事件 B 这 两人中 一人参加 1 次 别一人参加 3 次送考 为事件 C 这两人参加次数相 同 为事件 D 则 P X 1 P A P B P X 2 P C P X 0 P D 由此能求出 X 的分布列及数学期望 解答 解 1 由统计图得 200 名司机中送考一次的有 20 人 送考两次的有 100 人 送考三次的有 80 人 该出租车公司的司机参加 爱心送考 的人均次数为 23 次 2 从该公司任选两名司机 记 这两人中一人参加 1 次 另一人参加 2 次送 考 为事件 A 这两人中 一人参加 2 次 另一人参加 3 次送考 为事件 B 这两人中 一人参加 1 次 别一人参加 3 次送考 为事件 C 这两人参加次数相同 为事件 D 则 P X 1 P A P B P X 2 P C 第 17 页 共 23 页 P X 0 P D X 的分布列为 X 0 1 2 P E X 点评 本题考查平均数和离散型随机变量的分布列与期望 考查数据处理能 力及应用意识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 是中档题 19 分析 1 推导出 OM AC ON AC 从而 AC 平面 OMN 由此能证明 AC MN 2 当三棱锥 D ABC 的体积最大时 三棱锥 D ABC 的高为 AO 当三棱锥 D ABC 的体积为时 高为DO 作 DS OB 于 S 以 N 为原点 NB 所 在直线为 y 轴 过 N 且平行于 OA 的直线为 x 轴 ND 为 z 轴 建立空间直角 坐标系 利用向量法能求出二面角 D NC M 的正弦值 解答 证明 1 正方形 ABCD 中 AB 2 AC 与 BD 交于 O 点 将 ACD 沿 AC 折起得到三棱锥 D ABC M N 分别是 OD OB 的中点 OM AC ON AC OM ON O AC 平面 OMN 又 MN 平面 OMN AC MN 解 2 当三棱锥 D ABC 的体积最大时 三棱锥 D ABC 的高为 AO 当三棱锥 D ABC 的体积为时 高为DO 在 OBD 中 OB OD 作 DS OB 于 S DS OD DOB 60 第 18 页 共 23 页 OBD 为等边三角形 S 与 N 重合 即 DN 平面 ABC 以 N 为原点 NB 所在直线为 y 轴 过 N 且平行于 OA 的直线为 x 轴 ND 为 z 轴 建立空间直角坐标系 则 N 0 0 0 C 2 1 0 D 0 0 M 0 2 1 0 0 设 x y z 是平面 CMN 的法向量 则 取 x 1 得 1 2 设 x y z 是平面 CND 的法向量 2 1 0 0 0 取 x 1 得 1 2 0 cos 设二面角 D NC M 的平面角为 则 sin 二面角 D NC M 的正弦值为 点评 本题考查线线垂直的证明 考查二面角的正弦值的求法 考查空间线 线 线面 面面间的位置关系等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能 力 考查函数与方程思想 是中档题 第 19 页 共 23 页 20 分析 1 先求出抛物线方程 再设直线 AB 的方程为 y kx m 设 A x1 y1 B x2 y2 根据韦达定理和向量的数量积可得即 m 2k 5 或 m 2k 1 即可求出定点坐标 2 由 设直线 AB 恒过定点 R 2 5 则点 N 的轨迹是以 MR 为直径 的圆且去掉 2 1 问题得以解决 解答 证明 点 M 2 1 在抛物线 C y ax2上 1 4a 解得 a 抛物线的方程为 x2 4y 由题意知 故直线 AB 的斜率存在 设直线 AB 的方程为 y kx m 设 A x1 y1 B x2 y2 联立得 消 y 可得 x2 4kx 4m 0 得 x1 x2 4k x1x2 4m 由于 MA MB 0 即 x1 2 x2 2 y1 2 y2 2 0 即 x1x2 2 x1 x2 y1y2 y1 y2 5 0 y1 y2 k x1 x2 2m y1y2 k2x1x2 km x1 x2 m2 代入 式得 4k2 8k m2 6m 5 即 2k 2 2 m 3 2 2k 2 m 3 或 2k 2 3 m 即 m 2k 5 或 m 2k 1 当 m 2k 5 时 直线 AB 方程为 y k x 2 5 恒过定点 2 5 经验证 此时 0 符合题意 当 m 2k 1 时 直线 AB 方程为 y k x 2 5 恒过定点 2 1 不合题意 直线 AB 恒过点 2 5 由 设直线 AB 恒过定点 R 2 5 则点 N 的轨迹是以 MR 为直径 第 20 页 共 23 页 的圆且去掉 2 1 方程为 x2 y 3 2 8 y 1 点评 本题考查了直线和抛物线的位置关系 以及圆的有关性质 考查了运 算能力和转化能力 属于中档题 21 分析 1 推导出 f x lnx mx 0 在定义域 0 上恒成立 从而 m max 设 h x 则 由此利用导数性质能 求出实数 m 的取值范围 2 f x lnx mx 由函数 f x 在 0 上存在两个极值点 x1 x2 且 x1 x2 推导出 lnx1 lnx2 ln 设 t 0 1 则 lnx1 lnx2 要证 lnx1 lnx2 2 只需证 lnt 0 构造函 数 g t lnt 则 g t 0 利用导数性质 能证明 lnx1 lnx2 2 解答 解 1 f x xlnx 在 0 上是减函数 f x lnx mx 0 在定义域 0 上恒成立 m