2018-2019学年人教B版必修5-第一章-解三角形-单元试题

第一章 检测试题 时间 90 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 的对边 若 a A b 3 32 则 B 等于 A A B 4 3 4 C 或 D 或 4 3 4 6 5 6 解析 因为 a A b 3 32 所以由正弦定理可得 sin B 2 3 2 3 2 2 因为 B 0 a b 所以 A B 所以 B 故选 A 4 2 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c asin B sin C cos 2 C ABC 的面积为 4 则 c 等于 D 1 3 A 3 B 4 C 5 D 6 解析 由 asin B sin C cos C 2 1 3 得 ab c sin C 21 2 2 2 3 所以 absin C c 4 1 2 1 22 2 2 3 解得 c 6 故选 D 3 在 ABC 中 AB 5 BC 6 AC 8 则 ABC 的形状是 C A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 非钝角三角形 解析 因为 52 62 82 3 0 即 AB2 BC2 AC2 0 所以 cos ABC 0 5 2 最大边对应的角为 由余弦定理可得 4 1 4cos 25 4 解之得 cos 0 5 16 因此 为钝角 故三角形为钝角三角形 5 ABC 中 a b c 分别为 A B C 的对边 若 a b c 成等 差数列 B 30 ABC 的面积为 那么 b 等于 B 3 2 A B 1 1 3 23 C D 2 2 3 23 解析 因为 a b c 成等差数列 所以 2b a c 平方得 a2 c2 4b2 2ac 由 S acsin 30 ac 得 ac 6 1 2 1 4 3 2 所以 a2 c2 4b2 12 得 cos B 2 2 2 2 4 2 12 2 2 6 2 4 4 3 2 解得 b 1 3 6 在 ABC 中 A 60 b 1 S ABC 则的值为 C 3 A B C D 2 8 3 81 26 3 3 2 39 37 解析 由 S ABC bcsin A 得 bc 4 所以 c 4 1 23 所以 a 2 2 2 13 所以 13 3 2 2 39 3 7 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 若 a2 c2 b2 tan B ac 则 B 的值为 D 3 A B 6 3 C 或 D 或 6 5 6 3 2 3 解析 因为 a2 c2 b2 tan B ac 3 所以 tan B 2 2 2 2 3 2 即 cos B tan B sin B 3 2 因为 0 B 所以 B 的值为 或 3 2 3 8 在 ABC 中 B BC 边上的高等于 BC 则 sin A 等于 D 4 1 3 A B C D 3 10 10 10 5 5 3 10 10 解析 如图 设 BC 边上的高为 AD 因为 B 4 所以 BAD 所以 BD AD 4 又 AD BC 所以 DC 2AD 1 3 所以 sin BAC sin BAD DAC sin 45 cos DAC cos 45 sin DAC 2 2 5 5 2 2 2 5 5 3 10 10 故选 D 9 如图 为测量塔高 AB 选取与塔底 B 在同一水平面内的两点 C D 在 C D 两点处测得塔顶 A 的仰角分别为 45 30 又测得 CBD 30 CD 50 米 则塔高 AB 等于 A A 50 米 B 25 米 C 25 米 D 50 米 解析 设 AB a 米 则由题意知 BC a 米 BD a 米 3 因为 CBD 30 CD 50 米 所以 2 500 a2 3a2 2a a 3 3 2 所以 a 50 故选 A 10 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 sin 若 2 10 4 ABC 的面积为 且 sin2A sin2B sin2C 则 c 的值为 D 3 15 4 13 16 A 2 B 3 C 2 D 4 23 解析 因为 cos C 1 2sin2 1 2 2 10 16 1 4 所以 sin C 1 2 15 4 因为 S ABC absin C 所以 ab 6 1 2 3 15 4 又因为 sin2A sin2B sin2C 则 a2 b2 c2 13 16 13 16 由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcos C 可得 c2 16 所以 c 4 故选 D 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 C 60 b c 3 6 则 A 解析 由正弦定理 得 6 3 60 所以 sin B 2 2 又 b c 所以 B C 所以 B 45 A 180 60 45 75 答案 75 12 某舰艇在 A 处测得一遇险渔船在北偏东 45 距离 A 处 10 海里的 C 处 此时得知 该渔船正沿南偏东 75 方向以每小时 9 海里的速度 向一小岛靠近 舰艇时速为 21 海里 求舰艇追上渔船的最短时间 单位 小时 解析 设舰艇 t 小时后在 B 处追上渔船 则由题意可知 AC 10 BC 9t AB 21t ACB 120 由余弦定理得 AB2 AC2 BC2 2AC BC cos ACB 即 441t2 100 81t2 90t 解得 t 或 t 舍去 2 3 5 12 所以舰艇追上渔船的时间为 小时 2 3 答案 2 3 13 在 ABC 中 已知 b 50 c 150 B 30 则边长 a 3 解析 由 b2 a2 c2 2ac cos B 得 50 2 a2 1502 150a 3 解得 a 50或 a 100 33 答案 50或 100 33 14 ABC 中 ac 12 S ABC 3 R 2 R 为 ABC 外接圆的半径 则 b 2 解析 S ABC ac sin B 3 则 sin B 1 2 1 2 由正弦定理 2R 得 b 2R sin B 2 2 答案 2 2 15 在 ABC 中 若 B 60 2b a c 则 ABC 的形状是 解析 由正弦定理 得 2sin B sin A sin C 因为 B 60 所以 A C 120 A 120 C 则 2sin 60 sin 120 C sin C 即 sin C cos C 1 3 2 1 2 故 sin C 30 1 所以 C 60 故为等边三角形 答案 等边三角形 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 本小题满分 12 分 设锐角三角形 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 a 2bsin A 1 求 B 的大小 2 若 a 3 c 5 求 ABC 的面积及 b 3 解 1 因为 a 2bsin A 由正弦定理得 sin A 2sin Bsin A 由于 sin A 0 故有 sin B 1 2 又因为 B 是锐角 所以 B 30 2 依题意得 S ABC acsin 30 1 2 3 5 1 23 1 2 15 3 4 由余弦定理 b2 a2 c2 2accos B 可得 b2 3 2 52 2 3 5 cos 30 33 27 25 45 7 所以 b 7 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 b 3 6 S ABC 3 求 A 和 a 解 因为 6 所以 bccos A 6 又 S ABC 3 所以 bcsin A 6 因此 tan A 1 又 0 A 所以 A 3 4 又 b 3 所以 c 2 2 由余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A 得 a2 9 8 2 3 2 29 2 2 2 所以 a 29 18 本小题满分 12 分 已知 a2 bc x2 2x 1 0 是关于 x 的二次方程 其中 a b c 是 2 2 ABC 的三边 1 若 A 为钝角 试判断方程的根的情况 2 若方程有两个相等的实根 求 A 解 1 因为 A 为钝角 所以 cos A 0 2 2 2 2 即 b2 c20 c 0 所以 0 此时方程无实根 2 由已知得 0 即 b2 c2 a2 bc 0 所以 b2 c2 a2 bc 由余弦定理得 cos A 2 2 2 2 2 1 2 又 A 0 所以 A 3 19 本小题满分 12 分 如图 要测量河对岸 A B 两点之间的距离 选取相距 km 的 C D 两点 并 3 测得 ACB 75 BCD ADB 45 ADC 30 请利用所测数据计 算 A B 之间的距离 解 在 ACD 中 ACD 75 45 120 所以 CAD 30 由正弦定理得 120 3 30 解得 AD 3 在 BCD 中 CDB 45 30 75 所以 CBD 60 由正弦定理得 3 60 45 解得 BD 2 在 ABD 中 由余弦定理得 AB 9 2 2 3 2 2 2 5 20 本小题满分 13 分 如图 在平面四边形 ABCD 中 AD 1 CD 2 AC 7 1 求 cos CAD 的值 2 若 cos BAD sin CBA 求 BC 的长 7 14 21 6 解 1 在 ADC 中 由余弦定理 得 cos CAD 2 2 2 2 故由题设知 cos CAD 7 1 4 2 7 2 7 7 2 设 BAC 则 BAD CAD 因为 cos CAD cos BAD 2 7 7 7 14 所以 sin CAD 1 2 1 2 7 7 2 21 7 sin BAD 1 2 1 7 14 2 3 21 14 于是 sin sin BAD CAD sin BADcos CAD cos BADsin CAD 3 21 14 2 7 7 7 14 21 7 3 2 在 ABC 中 由正弦定理 故 BC 7 3 2 21 6 3 21 本小题满分 14 分 如图 在平面四边形 ABCD 中 DA AB DE 1 EC EA 2 ADC 7 2 3 BEC 3 1 求 sin CED 的值 2 求 BE 的长 解 如题图 设 CED 1 在 CDE 中 由余弦定理 得 EC2 CD2 DE2 2CD DE cos EDC 由题设知 7 CD2 1 CD 即 CD2 CD 6 0 解得 CD 2 CD