一元二次方程知识要点

1 一元二次方程 1 一元二次方程的一般形式 a 0 时 ax2 bx c 0 叫一元二次方程的一般形式 研究一元二次 方程的有关问题时 多数习题要先化为一般形式 目的是确定一般形式中的 a b c 其中 a b c 可能是具体数 也可能是含待定字母或特定式子的代数式 2 一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法要求灵活运用 其中直接开平方法虽然简单 但是适用范围较小 公式法虽然适用范围大 但计算较繁 易发生计算错误 因式分解法适用 范围较大 且计算简便 是首选方法 配方法使用较少 3 一元二次方程根的判别式 当 ax2 bx c 0 a 0 时 b2 4ac 叫一元二次方程根的判别式 请注意以下等价命题 0 有两个不等的实根 0 有两个相等的实根 0 无实根 0 有两个实根 等或不等 4 一元二次方程的根系关系 当 ax2 bx c 0 a 0 时 如 0 有下列公式 a c xx a b xx 2 a2 ac4bb x 1 2121 2 2 1 5 当 ax2 bx c 0 a 0 时 有以下等价命题 以下等价关系要求会用公式 b2 4ac 分析 不要求背记 a c xx a b xx 2121 1 两根互为相反数 0 且 0 b 0 且 0 a b 2 两根互为倒数 1 且 0 a c 且 0 a c 3 只有一个零根 0 且 0 c 0 且 b 0 a c a b 4 有两个零根 0 且 0 c 0 且 b 0 a c a b 5 至少有一个零根 0 c 0 a c 6 两根异号 0 a c 异号 a c 7 两根异号 正根绝对值大于负根绝对值 0 且 0 a c 异号且 a b 异号 a c a b 8 两根异号 负根绝对值大于正根绝对值 0 且 0 a c 异号且 a b 同号 a c a b 9 有两个正根 0 0 且 0 a c 同号 a b 异号且 0 a c a b 10 有两个负根 0 0 且 0 a c 同号 a b 同号且 0 a c a b 6 求根法因式分解二次三项式公式 注意 当 0 时 二次三项式在实数范围内不能分解 2 ax2 bx c a x x1 x x2 或 ax2 bx c a2 ac4bb x a2 ac4bb xa 22 7 求一元二次方程的公式 x2 x1 x2 x x1x2 0 注意 所求出方程的系数应化为整数 8 平均增长率问题 应用题的类型题之一 设增长率为 x 1 第一年为 a 第二年为 a 1 x 第三年为 a 1 x 2 2 常利用以下相等关系列方程 第三年 第三年 或 第一年 第二年 第三年 总和 9 分式方程的解法 0 1 值 或原方程的每个分母验增根代入最简公分母 公分母 两边同乘最简 去分母法 0 2 分母 值验增根代入原方程每个 换元 凑元 设元 换元法 10 二元二次方程组的解法 0 3 0 2 0 4 0 1 0 4 0 2 0 3 0 1 0 4 3 0 2 1 3 02 1 分组为应注意 的方程 中含有能分解为方程组 分解降次法 程中含有一个二元一次方方程组法 代入消元 11 几个常见转化 或 xx xx4 xx xx xx xx4 xx xx xx2 x 1 x x 1 x 2 x 1 x x 1 xxx4 xx xx xx2 xx xx 1 2121 2 21 2 21 2121 2 21 2 21 21 2 2 2 2 2 2 21 2 21 2 2121 2 21 2 2 2 1 4xx 2 2xx2xx 1 2xx 2 2 21 2121 21 两边平方为 和分类为 2 3 4 x x 3 4 x x 1 9 16 x x 3 4 x x 3 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 因为增加次数两边平方一般不用 和分类为 或 0 x 0 x 1xx BsinAcos 1AcosAsin 90BABsinx Asinx 4 21 2 2 2 1 22 21 注意隐含条件可推出 由公式时且如 3 A B C c b a 0 x 0 x x x x x 5 2121 21 注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式 面积例如几何定理 相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长 k 6 辅助未知元 引入些线段的比 并且 可把它们转化为某比例式 等积式等条件角三角形 三角函数 如题目中给出特殊的直 7 知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值 少一个时 一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个 解三角形 1 三角函数的定义 在 Rt ABC 中 如 C 90 那么 sinA cosA c a 斜 对 c b 斜 对 tanA cotA b a 邻 对 a b 对 邻 2 余角三角函数关系 正余互化公式 如 A B 90 那么 sinA cosB cosA sinB tanA cotB cotA tanB 3 同角三角函数关系 sin2A cos2A 1 tanA cotA 1 tanA cotA Acos Asin Asin Acos 4 函数的增减性 在锐角的条件下 正弦 正切函数随角的增大 函数值增大 余弦 余切函数 随角的增大 函数值反而减小 5 特殊角的三角函数值 如图 这是两个特殊的直角三角形 通过设 k 它可以推出特殊角的直 角三角函数 值 要熟练记忆它们 4 6 函数值的取值范围 在 0 90 时 正弦函数值范围 0 1 余弦函数值范围 1 0 正切函数值范围 0 无穷大 余切函数值范围 无穷大 0 7 解直角三角形 对于直角三角形中的五个元素 可以 知二可求三 但 知二 中至少应该 有一个是边 8 关于直角三角形的两个公式 Rt ABC 中 若 C 90 m R r m 2 c R 2 cba r cc 斜边上中线外接圆半径 内切圆半径 9 坡度 i 1 m h l tan 坡角 10 方位角 11 仰角与俯角 A 0 30 45 60 90 sinA 0 2 1 2 2 2 3 1 cosA 1 2 3 2 2 2 1 0 tanA0 3 3 13 不存在 cotA 不存 在 3 1 3 3 0 30 70 l l h h a a i 1 m K3 K K K K2 K2 30 45 60 A B C A B C 5 12 解斜三角形 已知 SAS SSS ASA AAS 条件的任意三角形都可以经过 斜化 直 求出其余的边和角 13 解符合 SSA 条件的三角形 若三角形存在且符合 SSA 条件 则可分三种情况 1 A 90 图形唯一可解 2 A 90 A 的对边大于或等于它的已知邻 边 图形唯一可解 3 A 90 A 的对边小于它的已知邻边 图形分两类可解 14 解三角形的基本思路 1 斜化直 一般化特殊 加辅助线的依据 2 合理设 辅助元 k 并利用 k 进一步转化是分析三角形问题的常用方法 转化思想 3 三角函数的定义 几何定理 公式 相似形等都存在着大量的相等关系 利用其列方程 或方程组 是解决数学问题的常用方法 方程思想 函数及其图象 一 函数基本概念 1 函数定义 设在某个变化过程中 有两个变量 x y 如对 x 的每一个值 y 都有唯一的值与 它对应 那么就说 y 是 x 的函数 x 是自变量 2 相同函数三个条件 1 自变量范围相同 2 函数值范围相同 3 相同的自变量值 所对应的函数值也相同 3 函数的确定 对于 y kx2 k 0 如 x 是自变量 这个函数是二次函数 如 x2是自变量 这个函数是一次函数中的正比例函数 4 平面直角坐标系 1 平面上点的坐标是一对有序实数 表示为 M x y x 叫横坐标 y 叫纵坐标 2 一点 两轴 四半轴 四象限 象限中点的坐标符号规律如右图 3 x 轴上的点纵坐标为 0 y 轴上的点横坐标为 0 即 x 轴上的点纵为 0 y 轴上的点横为 0 反之也 成立 4 象限角平分线上点 M x y 的坐标特征 x y M 在一三象限角平分线上 x y M 在二四象限角平分线上 5 对称两点 M x1 y1 N x2 y2 的坐标特征 关于 y 轴对称的两点 横相反 纵相同 关于 x 轴对称的两点 纵相反 横相同 关于原点对称的两点 横 纵都相反 5 坐标系中常用的距离几个公式 点求距 x y o x y o Q P MN 6 1 如图 轴上两点 M N 之间的距离 MN x1 x2 x大 x小 PQ y1 y2 y大 y小 2 如图 象限上的点 M x y 到 y 轴距离 dy x 到 x 轴距离 dx y 22 yxr 到原点的距离 3 如图 轴上的点 M 0 y N x 0 到原点的距离 MO y NO x 4 如图 平面上任意两点 M x2 y2 N x2 y2 之间的距离 yy xx d 2 21 2 21 6 几个直线方程 y 轴 直线 x 0 x 轴 直线 y 0 与 y 轴平行 距离为 a 的直线 直线 x a 与 x 轴平行 距离为 b 的直线 直线 y b 7 函数的图象 1 把自变量 x 的一个值作为点的横坐标 把与它对应的函数值 y 作为点的纵坐标 组成一对有 序实数对 在平面坐标系中找出点的位置 这样取得的所有的点组成的图形叫函数的图象 2 图象上的点都适合函数解析式 适合函数解析式的点都在函数图象上 由此可得 图象上的 点就能代入 重要代入 3 坐标平面上 横轴叫自变量轴 纵轴叫函数轴 利用已知的图象 可由自变量值查出函数值 也可由函数值查出自变量值 可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围 也可由函数值 取值范围查出对应自变量取值范围 4 函数的图象由左至右如果是上坡 那么 y 随 x 增大而增大 叫递增函数 函数的图象由左 至右如果是下坡 那么 y 随 x 增大而减小 叫递减函数 8 自变量取值范围与函数取值范围 y x a b o x a y b 解析式 x取值范围 Y 取值范围 整式类 例 y 2x 1 取一切实数 取一切实数 y 0 二次根式类 x 2 非负数 综合类 x 2 正数 应用问题类 例 s vt t是自变量 t 0 非负数 2 1 y x 例 分式类 2 x 2 xy例 2 x 1 y 例 x y o M x y r x y o N x 0 M 0 y x y o M x y N x y C 7 一次函数 1 一次函数的一般形式 y kx b k 0 2 关于一次函数的几个概念 y kx b k 0 的图象是 一条直线 所以也叫直线 y kx b 图象必过 y 轴上的点 0 b 和 x 轴上的点 b k 0 注 意 如图 这两个点也是画直线图象时应取的两个点 b 叫直线 y kx b k 0 在 y 轴上的截 距 b 的本质是直线与 y 轴交点的纵坐标 知道截距即知道解析式中 b 的值 3 y kx b k 0 中 k b 符号与图象位置的关系 y x o y x o y x o y x o k 0 b 0 k 0 b 0 k 0 b 0 k0 4 两直线平行 两直线平行 k1 k2 两直线垂直 k1k2 1 5 直线的平移 若 m 0 n 0 那么一次函数 y kx b 图象向上平移 m 个单位长度得 y kx b m 向下平移 n 个单位长度得 y kx b n 直线平移时 k 值不变 6 函数习题的四个基本功 1 式求点 已知某直线的具体解析式 设 y 0 可求出直线与 x 轴的交点坐标 x0 0 设 x 0 可求出直线与 y 轴的交点坐标 0 y0 已知两条直线的具体解析式 可通过列二元一次 方程组求出两直线的交点坐标 x0 y0 交点坐标的本质是一个方程组的公共解 2 点求式 已知一次函数图象上的两个点 可设这个函数为 y kx b 然后代入这两个点的坐 标 得到关于 k b 的两个方程 通过解方程组求出 k b 从而求出解析式 待定系数 x y x y 0 0 0 b b k 0 b b k 0 8 法 3 距求点 已知点 M x0 y0 到 x 轴 y 轴的距离和所在象限 可求出点 M 的坐标 已知坐标轴上 的点 P 到原点的距离和所在半轴 可求出点 P 的坐标 4 点求距 函数题经常和几何相结合 利用点的坐标与它所在的象限或半轴特征可求有关线段 的长 从而使得函数问题几何化 正比例函数 1 正比例函数的一般形式 y kx k 0 属于一次函数的特殊情况 即 b 0 的一次函数 它的图象是一条过原点的直线 也叫直线 y kx 2 画正比例函数的图象 正比例函数 y kx k 0 的图象必过 0 0 点和 1 k 点 注意 如图 这两个点也是画正比例 函数图象时应取的两个点 即列表如右 3 y kx k 0 中 k 的符号与图象位置的关系 y xo k 0 k 0 y xo 4 求正比例函数解析式 已知正比例函数图象上的一点 可设这个正比例函数为 y kx 把已知点 的坐标代入后 可求 k 从而求出具体的函数解析式 待定系数法 二次函数 1 二次函数的一般形式 y ax2 bx c a 0 2 关于二次函数的几个概念 二次函数的图象是抛物线 所以也叫抛物线 y ax2 bx c 抛物线 关于对称轴对称且以对称轴为界 一半图象上坡 另一半图象下坡 其中 c 叫二次函数在 y 轴 上的截距 即二次函数图象必过 0 c 点 3 y ax2 a 0 的特性 当 y ax2 bx c a 0 中的 b 0 且 c 0 时二次函数为 y ax2 a 0 这 个二次函数是一个特殊的二次函数 有下列特性 1 图象关于 y 轴对称 2 顶点 0 0 3 y ax2 a 0 可以经过补 0 看做二次函数的 一般式 顶点式和双根式 即 y ax2 0 x 0 y a x 0 2 0 y a x 0 x 0 4 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象及几个重要点的公式 x y x y 0 0 1 K 0 0 1 K 9 5 二次函数 y ax2 bx c a 0 中 a b c 与 的符号与图象的关系 1 a 0 抛物线开口向上 a 0 抛物线开口向下 2 c 0 抛物线从原点上方通过 c 0 抛物线从原点通过 c 0 抛物线从原点下方通过 3 a b 异号 对称轴在 y 轴的右侧 a b 同号 对称轴在 y 轴的左侧 b 0 对称轴是 y 轴 4 0 抛物线与 x 轴有两个交点 0 抛物线与 x 轴有一个交点 即相切 0 抛物线与 x 轴无交点 6 求二次函数的解析式 已知二次函数图象上三点的坐标 可设解析式 y ax2 bx c 并把这三 点的坐标代入 解关于 a b c 的三元一次方程组 求出 a b c 的值 从而求出解析式 待定系数法 8 二次函数的顶点式 y a x h 2 k a 0 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标 h k 对称轴方程 x h 和函数的最值 y最值 k 9 求二次函数的解析式 已知二次函数的顶点坐标 x0 y0 和图象上的另一点的坐标 可设解 析式为 y a x x0 2 y0 再代入另一点的坐标求 a 从而求出解析式 注意 习题无特殊 说明 最后结果要求化为一般式 10 二次函数图象的平行移动 二次函数一般应先化为顶点式 然后才好判断图象的平行移动 y a x h 2 k 的图象平行移动时 改变的是 h k 的值 a 值不变 具体规律如下 k 值增大 图象向上平移 k 值减小 图象向下平移 10 x h 值增大 图象向左平移 x h 值减小 图象向右平移 11 二次函数的双根式 即交点式 y a x x1 x x2 a 0 由双根式直接可得二次函数图 象与 x 轴的交点 x1 0 x2 0 12 求二次函数的解析式 已知二次函数图象与 x 轴的交点坐标 x1 0 x2 0 和图象上的另 一点的坐标 可设解析式为 y a x x1 x x2 再代入另一点的坐标求 a 从而求出解析式 注意 习题最后结果要求化为一般式 13 二次函数图象的对称性 已知二次函数图象上的点与对称轴 可利用图象的对称性求出已知 点的对称点 这个对称点也一定在图象上 反比例函数 1 反比例函数的一般形式 图象叫双曲线 0k kxy x k y 1 或 2 关于反比例函数图象的性质 反比例函数 y kx 1中自变量 x 不能取 0 故函数图象与 y 轴 无交点 函数值 y 也不会是 0 故图象与 x 轴也不相交 3 反比例函数中 K 的符号与图象所在象限的关系 k 0 k 0 4 求反比例函数的解析式 已知反比例函数图象上的一点 即可设解析式 y kx 1 代入这一点可 求 k 值 从而求出解析式 函数综合题 1 数学思想在函数问题中的应用 数学思想经常在函数问题中得到体现 例如 分析函数习题 常常需要先估画符合题意的图象 利用数形结合降低难度 而点求式 式求点 点求距 距求 点等基本操作则是转化思想在函数中应用 当函数问题与几何问题相结合时 方程思想则成为 解决问题的基本思路 函数习题中 当图象与图形不唯一 点位置不唯一 可知条件不唯一时 往往造成函数问题的分类 2 数学方法在函数问题中的应用 建立坐标系 建立新函数 函数问题几何化 挖掘隐含条件 分类讨论 相等关系找方程 不等关系找不等式 等量代换 配方 换元 待定系数法 等各 种数学方法在函数中经常得到应用 了解这些数学方法是十分必要的 11 3 函数与方程的关系 正比例函数 y kx k 0 一次函数 y kx b k 0 都可以看作二元一次 方程 而二次函数 y ax2 bx c a 0 可以看作二元二次方程 反比例函数可 0k x k y 以看作分式方程 这些函数图象之间的交点 就是把它们联立为方程组时的公共解 4 二次函数与一元二次方程的关系 1 如二次函数 y ax2 bx c a 0 中的 0 时 图象与 x 轴相交 函数值 y 0 此时 二次 函数转化为一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 这个方程的两个根 x1 x2是二次函数 y ax2 bx c 与 x 轴相交两点的横坐标 交点坐标为 x1 0 x2 0 2 当研究二次函数的图象与 x 轴相交时的有关问题时 应立即把函数转化为它所对应的一元二 次方程 此时 一元二次方程的求根公式 值 根系关系等都可用于这个二次函数 3 如二次函数 y ax2 bx c a 0 中的 0 时 图象与 x 轴相交于两点 A x1 0 B x2 0 有重要关系式 OA x1 OB x2 若需要去掉绝对值符号 则必须据题意做进一步判断 同样 图象与 y 轴交点 C 0 c 也有关系式 OC c 5 二元二次方程组解的判断 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 若消去一 个未知数 则转化为一元二次方程 此时的 值将决定原方程组解的情况 即 0 方程组有两个解 0 方程组有一个解 0 方程组无实解 初三数学应知应会的知识点 圆 几何 A 级概念 要求深刻理解 熟练运用 主要用于几何证明 1 垂径定理及推论 如图 有五个元素 知二可推三 需记忆其中四个定理 即 垂径定理 中径定理 弧径定理 中垂定理 几何表达式举例 CD 过圆心 CD AB 2 平行线夹弧定理 圆的两条平行弦所夹的弧相等 几何表达式举例 AB C D O AB C D E O ACBC ADBD AE BE ABCD ACBD 12 3 角 弦 弧 距 定理 同圆或等圆中 等角对等弦 等弦对等角 等角对等弧 等弧对等角 等弧对等弦 等弦对等 优 劣 弧 等弦对等弦心距 等弦心距对等弦 几何表达式举例 1 AOB COD AB CD 2 AB CD AOB COD 4 圆周角定理及推论 1 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 2 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 如图 3 等弧对等角 等角对等弧 4 直径对直角 直角对直径 如图 5 如三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是 直角三角形 如图 1 2 3 4 几何表达式举例 1 ACB AOB 2 1 2 AB 是直径 ACB 90 3 ACB 90 AB 是直径 4 CD AD BD ABC 是 Rt 5 圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补 并且任何一个外 角都等于它的内对角 几何表达式举例 ABCD 是圆内接四边形 CDE ABC C A 180 6 切线的判定与性质定理 如图 有三个元素 知二可推一 需记忆其中四个定理 1 经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线 2 圆的切线垂直于经过切点的半径 3 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 4 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 几何表达式举例 1 OC 是半径 OC AB AB 是切线 2 OC 是半径 AB 是切线 OC AB 3 A B C D E F O AB C O A B C DE A B C O A B C D A B C O 13 7 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角 几何表达式举例 PA PB 是切线 PA PB PO 过圆心 APO BPO 8 弦切角定理及其推论 1 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 2 如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等 如图 3 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半 如图 1 2 几何表达式举例 1 BD 是切线 BC 是弦 CBD CAB 2 ED BC 是切线 CBA DEF 9 相交弦定理及其推论 1 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的乘积相等 2 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两 条线段长的比例中项 1 2 几何表达式举例 1 PA PB PC PD 2 AB 是直径 PC AB PC2 PA PB 10 切割线定理及其推论 1 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项 2 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等 几何表达式举例 1 PC 是切线 PB 是割线 PC2 PA PB 2 PB PD 是割线 PA PB PC PD A B C D A B C D E F P A B O A B CP A B C DP A B C D P AB C PO EFAB 14 A B O 1 2 11 关于两圆的性质定理 1 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 2 如果两圆相切 那么切点一定在连心线上 1 2 几何表达式举例 1 O1 O2是圆心 O1O2垂直平分 AB 2 1 2相切 O1 A O2三点 一线 12 正多边形的有关计算 1 中心角 n 半径 RN 边心距 rn 边长 an 内角 n 边数 n 2 有关计算在 Rt AOC 中进行 公式举例 1 n n 360 2 n 180 2 n 几何 B 级概念 要求理解 会讲 会用 主要用于填空和选择题 一 基本概念 圆的几何定义和集合定义 弦 弦心距 弧 等弧 弓形 弓形高 三角形的外接圆 三角形的外心 三角形的内切圆 三角形的内心 圆心角 圆周角 弦 切角 圆的切线 圆的割线 两圆的内公切线 两圆的外公切线 两圆的内 外 公切线长 正多边形 正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的边心距 正 多边形的中心角 二 定理 1 不在一直线上的三个点确定一个圆 2 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆 3 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分为 2n 个全等的直角三角形 三 公式 1 有关的计算 1 圆的周长 C 2 R 2 弧长 L 3 圆的面积 S R2 180 Rn 4 扇形面积 S扇形 5 弓形面积 S弓形 扇形面积 SAOB AOB 的面积 如图 LR 2 1 360 Rn 2 A B O1O2 A O1O2 n n A BC D E O a rn n n R 15 2 圆柱与圆锥的侧面展开图 1 圆柱的侧面积 S圆柱侧 2 rh r 底面半径 h 圆柱高 2 圆锥的侧面积 S圆锥侧 L 2 r R 是圆锥母线长 r 是底面半径 LR 2 1 四 常识 1 圆是轴对称和中心对称图形 2 圆心角的度数等于它所对弧的度数 3 三角形的外心 两边