三年高考(2016-2018)高考数学试题分项版解析-专题06-导数的几何意义-理(含解析)

1 专题专题 0606 导数的几何意义导数的几何意义 考纲解读明方向 考点内容解读要求常考题型预测热度 1 导数的概 念与几何意 义 1 了解导数概念的实际背景 2 理解导数的几何意义 选择题 填空题 2 导数的运 算 1 能根据导数定义求函数 y C C 为常数 y x y y x2 y x3 y 的导数 2 能利用基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数 选择题 解答题 本部分主要是对导数概念及其运算的考查 以导数的运算公式和运算法则为基础 以导数的几何意义为重点 1 导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率 方程 斜率与倾斜角的关系 切点的坐 标 或以平行 垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等 2 导数的运算是每年必考的内容 一般不单独考查 而在考查导数的应用时与单调性 极值与最值结合 出题考查 3 本节内容在高考中分值为 5 分左右 属于容易题 2018 年高考全景展示 1 2018 年理新课标 I 卷 设函数 若为奇函数 则曲线在点 处的切线方程为 A B C D 答案 D 点睛 该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题 在求解的过程中 首先需 要确定函数解析式 此时利用到结论多项式函数中 奇函数不存在偶次项 偶函数不存在奇次项 从而求 得相应的参数值 之后利用求导公式求得 借助于导数的几何意义 结合直线方程的点斜式求得结果 2 2018 年全国卷 理 曲线在点处的切线的斜率为 则 答案 解析 分析 求导 利用导数的几何意义计算即可 2 详解 则 所以 故答案为 3 点睛 本题主要考查导数的计算和导数的几何意义 属于基础题 3 2018 年理数全国卷 II 曲线在点处的切线方程为 答案 解析 分析 先求导数 再根据导数几何意义得切线斜率 最后根据点斜式求切线方程 详解 点睛 求曲线的切线要注意 过点 P 的切线 与 在点 P 处的切线 的差异 过点 P 的切线中 点 P 不一 定是切点 点 P 也不一定在已知曲线上 而在点 P 处的切线 必以点 P 为切点 4 2018 年理数天津卷 已知函数 其中a 1 I 求函数的单调区间 II 若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行 证明 III 证明当时 存在直线l 使l是曲线的切线 也是曲线的切线 答案 单调递减区间 单调递增区间为 证明见解析 证明见解析 解析 分析 I 由题意可得 令 解得x 0 据此可得函数的单调递减 区间 单调递增区间为 II 曲线在点处的切线斜率为 曲线在点处的切线斜率为 原问题等价于 两边取对数可得 III 由题意可得两条切线方程分别为l1 l2 则原 问题等价于当时 存在 使得l1和l2重合 转化为当时 关于x1 的方程存在实数解 构造函数 令 结合函数的性质可知存在唯一的x0 且x0 0 使得 据此 可证得存在实数t 使得 则题中的结论成立 详解 I 由已知 有 令 解得x 0 由a 1 可知当x变化时 的变化情况如下表 3 x0 0 极小值 所以函数的单调递减区间 单调递增区间为 II 由 可得曲线在点处的切线斜率为 由 可得曲线在点处的切线斜率为 因为这两条切线平行 故有 即 两边取以a为底的对数 得 所以 III 曲线在点处的切线l1 曲线在点处的切线l2 要证明当时 存在直线l 使l是曲线的切线 也是曲线的切线 只需证明当时 存在 使得l1和l2重合 即只需证明当时 方程组有解 由 得 代入 得 因此 只需证明当时 关于x1的方程 存在实数解 设函数 即要证明当时 函数存在零点 可知时 时 单调递减 又 故存在唯一的x0 且x0 0 使得 即 4 由此可得在上单调递增 在上单调递减 在处取得极大值 因为 故 所以 下面证明存在实数t 使得 由 I 可得 当时 有 所以存在实数t 使得 因此 当时 存在 使得 所以 当时 存在直线l 使l是曲线的切线 也是曲线的切线 点睛 导数是研究函数的单调性 极值 最值 最有效的工具 而函数是高中数学中重要的知识点 所以在 历届高考中 对导数的应用的考查都非常突出 本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看 对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行 1 考查导数的几何意义 往往与解析几何 微积分相联 系 2 利用导数求函数的单调区间 判断单调性 已知单调性 求参数 3 利用导数求函数的最值 极值 解决生活中的优化问题 4 考查数形结合思想的应用 5 2018 年理北京卷 设函数 若曲线y f x 在点 1 处的切线与 轴平行 求a 若在x 2 处取得极小值 求a的取值范围 答案 1 a的值为 1 2 a的取值范围是 由 得f x ax2 2a 1 x 2 ex ax 1 x 2 ex 若a 则当x 2 时 f x 0 所以f x 0 在x 2 处取得极小 值 5 若a 则当x 0 2 时 x 2 0 ax 1 x 10 所以 2 不是f x 的极小值 点 综上可知 a的取值范围是 点睛 利用导数的几何意义解题 主要是利用导数 切点坐标 切线斜率之间的关系来进行转化 以平行 垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值 则要求掌握平行 垂直与斜率之间的关系 进而和导数联系起 来求解 2017 年高考全景展示 1 2017 山东 理 20 已知函数 2 2cosf xxx cossin22 x g xexxx 其中 2 71828e 是自然对数的底数 求曲线 yf x 在点 f 处的切线方程 令 h xg xaf xaR 讨论 h x的单调性并判断有无极值 有极值时求出极值 答案 2 22yx 综上所述 当0a 时 h x在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 函数 h x有极小值 极小值是 021ha 当01a 时 函数 h x在 lna 和 0 lna和 0 上单调递增 在 ln 0a上单调递减 函数 h x有极大值 也有极小值 极大值是 2 lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa 极小值是 021ha 当1a 时 函数 h x在 上单调递增 无极值 6 当1a 时 函数 h x在 0 和 ln a 上单调递增 在 0 lna上单调递减 函数 h x有极大值 也有极小值 极大值是 021ha 极小值是 2 lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa 试题解析 由题意 2 2f 又 22sinfxxx 所以 2f 因此 曲线 yf x 在点 f 处的切线方程为 2 22yx 即 2 22yx 由题意得 2 cossin22 2cos x h xexxxa xx 因为 cossin22sincos222sin xx h xexxxexxaxx 2sin2sin x exxa xx 2sin x eaxx 令 sinm xxx 则 1cos0m xx 所以 m x在R上单调递增 因为 0 0 m 所以 当0 x 时 0 m x 当0 x 时 0m x 7 1 当0a 时 x ea 0 当0 x 时 0h x h x单调递减 当0 x 时 0h x h x单调递增 所以 当0 x 时 h x取得极小值 极小值是 021ha 2 当0a 时 ln 2sin xa h xeexx 由 0h x 得 1 lnxa 2 0 x 当01a 时 ln0a 当 lnxa 时 ln 0 0 xa eeh x h x单调递增 当 ln 0 xa 时 ln 0 0 xa eeh x h x单调递减 当 0 x 时 ln 0 0 xa eeh x h x单调递增 所以 当lnxa 时 h x取得极大值 极大值为 2 lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa 当0 x 时 h x取到极小值 极小值是 021ha 当1a 时 ln0a 所以 当 x 时 0h x 函数 h x在 上单调递增 无极值 当1a 时 ln0a 所以 当 0 x 时 ln 0 xa ee 0 h xh x 单调递增 当 0 lnxa 时 ln 0 xa ee 0 h xh x 单调递减 当 ln xa 时 ln 0 xa ee 0 h xh x 单调递增 所以 当0 x 时 h x取得极大值 极大值是 021ha 当lnxa 时 h x取得极小值 极小值是 2 lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa 综上所述 当0a 时 h x在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 8 函数 h x有极小值 极小值是 021ha 当01a 时 函数 h x在 lna 和 0 lna和 0 上单调递增 在 ln 0a上单调递减 函数 h x有极大值 也有极小值 极大值是 2 lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa 极小值是 021ha 当1a 时 函数 h x在 上单调递增 无极值 当1a 时 函数 h x在 0 和 ln a 上单调递增 在 0 lna上单调递减 函数 h x有极大值 也有极小值 极大值是 021ha 极小值是 2 lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa 考点 1 导数的几何意义 2 应用导数研究函数的单调性 极值 3 分类讨论思想 名师点睛 1 函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是曲线y f x 在点P x0 y0 处的切线 的斜率 相应地 切线方程为y y0 f x0 x x0 注意 求曲线切线时 要分清在点P处的切线与过 点P的切线的不同 2 本题主要考查导数的几何意义 应用导数研究函数的单调性与极值 分类讨论思想 本题覆盖面广 对 考生计算能力要求较高 是一道难题 解答本题 准确求导数是基础 恰当分类讨论是关键 易错点是分 类讨论不全面 不彻底 不恰当 或因复杂式子变形能力差 而错漏百出 本题能较好的考查考生的逻辑 思维能力 基本计算能力 分类讨论思想等 2 2017 北京 理 19 已知函数 e cos x f xxx 求曲线 yf x 在点 0 0 f 处的切线方程 求函数 f x在区间 0 2 上的最大值和最小值 答案 1y 最大值 1 最小值 2 解析 9 设 e cossin 1 x h xxx 则 e cossinsincos 2e sin xx h xxxxxx 当 0 2 x 时 0h x 所以 h x 在区间 0 2 上单调递减 所以对任意 0 2 x 有 0 0h xh 即 0fx 所以函数 f x 在区间 0 2 上单调递减 因此 f x 在区间 0 2 上的最大值为 0 1f 最小值为 22 f 考点 1 导数的几何意义 2 利用导数求函数的最值 名师点睛 这道导数题并不难 比一般意义上的压轴题要简单很多 第二问比较有特点是需要求二阶导 数 因为 fx 不能判断函数的单调性 所以需要再求一次导数 设 h xfx 再求 h x 一般 这时就可求得函数 h x 的零点 或是 h x 恒成立 这样就能知道函数 h x 的单调性 根据单调性求最 值 从而判断 yf x 的单调性 求得最值 2016 年高考全景展示 1 2016 高考山东理数 若函数 yf x 的图象上存在两点 使得函数的图象在这两点处的切线互相垂 直 则称 yf x 具有 T 性质 下列函数中具有 T 性质的是 A sinyx B lnyx C exy D 3 yx 答案 A 10 解析 试题分析 由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知 存在两点处的切线斜率的积 即导函数值的乘积 为负一 当sinyx 时 cosyx 有cos0 cos1 所以在函数sinyx 图象存在两点0 xx 使条 件成立 故 A 正确 函数 3 ln x yx yeyx 的导数值均非负 不符合题意 故选 A 考点 1 导数的计算 2 导数的几何意义 名师点睛 本题主要考查导数的计算 导数的几何意义及两直线的位置关系 本题给出常见的三角函数 指数函数 对数函数 幂函数 突出了高考命题注重基础的原则 解答本题 关键在于将直线的位置关系 与直线的斜率 切点处的导数值相联系 使问题加以转化 利用特殊化思想解题 降低难度 本题能较好 的考查考生分析问题解决问题的能力 基本计算能力及转化与化归思想的应用等 2 2016 年高考四川理数 设直线l1 l2分别是函数f x ln 01 ln 1 xx x x 图象上点P1 P2处的切线 l1与l2垂直相交于点P 且l1 l2分别与y轴相交于点A B 则 PAB的面积的取值范围是 A 0 1 B 0 2 C 0 D 1 答案 A 解析 试题分析 设 111222 ln lnP xxP xx 不妨设 12 1 01xx 则由导数的几何意义易得切线 12 ll的斜率分别为 12 12 11 kk xx 由已知得 1 2122 1 1 1 1 k kx xx x 切线 1 l的方程分别为 11 1 1 lnyxxx x 切线 2 l的方程为 22 2 1 lnyxxx x 即 11 1 1 lnyxxx x 分别令 0 x 得 11 0 1ln 0 1ln AxBx 又 1 l与 2 l的交点为 2 11 1 22 11 21 ln 11 xx Px xx 1 1x 2 11 22 11 211 1 211 PABABP xx Syyx xx 01 PAB S 故选 A 考点 1 导数的几何意义 2 两直线垂直关系 3 直线方程的应用 4 三角形面积取值范围 名师点睛 本题首先考查导数的几何意义 其次考查最值问题 解题时可设出切点坐标 利用切线垂直 求出这两点的关系 同时得出切线方程 从而得点 A B坐标 由两直线相交得出P点坐标 从而求得面积 题中把面积用 1 x表示后 可得它的取值范围 解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论 这也 11 是我们解决问题的一种基本方法 朴实而基础 简单而实用 3 2016 高考新课标 3 理数