中位线经典习题及答案

2014 年年 4 月王强的初中数学组卷月王强的初中数学组卷 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 2014 年年 4 月王强的初中数学组卷月王强的初中数学组卷 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 小题 1 2013 铜仁地区 已知 ABC 的各边长度分别为 3cm 4cm 5cm 则连结各边中点的三角形的周长为 A 2cmB 7cmC 5cmD 6cm 2 2013 怀化 如图 为测量池塘边 A B 两点的距离 小明在池塘的一侧选取一点 O 测得 OA OB 的中点分 别是点 D E 且 DE 14 米 则 A B 间的距离是 A 18 米B 24 米C 28 米D 30 米 3 2012 泰安 如图 AB CD E F 分别为 AC BD 的中点 若 AB 5 CD 3 则 EF 的长是 A 4B 3C 2D 1 4 2013 淄博 如图 ABC 的周长为 26 点 D E 都在边 BC 上 ABC 的平分线垂直于 AE 垂足为 Q ACB 的平分线垂直于 AD 垂足为 P 若 BC 10 则 PQ 的长为 A B C 3D 4 5 1997 海南 用反证法证明命题 如图 如果 AB CD AB EF 那么 CD EF 证明的第一个步骤是 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 A 假定 CD EFB 假定 CD 不 平行于 EF C 已知 AB EFD 假定 AB 不 平行于 EF 6 用反证法证明命题 在 Rt ABC 中 若 A 90 则 B 45 或 C 45 时 应先假设 A B 45 C 45 B B 45 C 45 C B 45 C 45 D B 45 C 45 7 用反证法证明 若 a c b c 则 a b 第一步应假设 A a bB a 与 b 垂直C a 与 b 不一定 平行 D a 与 b 相交 8 能证明命题 x 是实数 则 x 3 2 0 是假命题的反例是 A x 4B x 3C x 2D x 15 9 下列说法正确的是 A 等腰三角形 的角平分线 中线 高线 互相重合 B 面积相等的 两个三角形 一定全等 C 用反证法证 明命题 三角 形中至少有 一个角不大 于 60 的第 一步是 假设 三角形中三 个角都大于 60 D 反比例函数 y 中函数值 y 随自变量 x 的增大一定 而减小 10 下列命题宜用反证法证明的是 A等腰三角形 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 两腰上的高 相等 B 有一个外角 是 1200的等 腰三角形是 等边三角形 C 两条直线都 与第三条直 线平行 则 这两条直线 互相平行 D 全等三角形 的面积相等 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 小题 11 2013 烟台 如图 ABCD 的周长为 36 对角线 AC BD 相交于点 O 点 E 是 CD 的中点 BD 12 则 DOE 的周长为 12 2013 乌鲁木齐 如图 ABC 中 AD 是中线 AE 是角平分线 CF AE 于 F AB 5 AC 2 则 DF 的长 为 13 2012 枣庄 如图所示 DE 为 ABC 的中位线 点 F 在 DE 上 且 AFB 90 若 AB 5 BC 8 则 EF 的长 为 14 2011 柳州 如图 要测量的 A C 两点被池塘隔开 李师傅在 AC 外任选一点 B 连接 BA 和 BC 分别取 BA 和 BC 的中点 E F 量得 E F 两点间的距离等于 23 米 则 A C 两点间的距离 米 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 三 解答题 共三 解答题 共 16 小题 小题 15 2013 永州 如图 M 是 ABC 的边 BC 的中点 AN 平分 BAC BN AN 于点 N 延长 BN 交 AC 于点 D 已知 AB 10 BC 15 MN 3 1 求证 BN DN 2 求 ABC 的周长 16 2012 湘西州 如图 在 Rt ABC 中 C 90 B 60 AB 8cm E F 分别为边 AC AB 的中点 1 求 A 的度数 2 求 EF 的长 17 2005 乌鲁木齐 如图所示 在 ABC 中 ACB 90 点 D E 分别为 AC AB 的中点 点 F 在 BC 的延长 线上 且 CDF A 求证 四边形 DECF 为平行四边形 18 2004 苏州 已知 如图 正 ABC 的边长为 a D 为 AC 边上的一个动点 延长 AB 至 E 使 BE CD 连接 DE 交 BC 于点 P 1 求证 DP PE 2 若 D 为 AC 的中点 求 BP 的长 19 2013 镇江 如图 AB CD AB CD 点 E F 在 BC 上 且 BE CF 1 求证 ABE DCF 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 2 试证明 以 A F D E 为顶点的四边形是平行四边形 20 2013 梧州 如图 已知 AB CD BE AD 垂足为点 E CF AD 垂足为点 F 并且 AE DF 求证 四边形 BECF 是平行四边形 21 2013 鞍山 如图 E F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上两点 AF CE DF BE DF BE 求证 1 AFD CEB 2 四边形 ABCD 是平行四边形 22 2011 天水 已知 如图 E F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点 AF CE DF BE DF BE 四边形 ABCD 是平行四边形吗 请说明理由 23 2010 东莞 如图 分别以 Rt ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边 ACD 等边 ABE 已知 BAC 30 EF AB 垂足为 F 连接 DF 1 试说明 AC EF 2 求证 四边形 ADFE 是平行四边形 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 24 2006 镇江 已知 如图 在四边形 ABCD 中 AC 与 BD 相交于点 O AB CD AO CO 求证 四边形 ABCD 是平行四边形 25 2006 湛江 如图 点 E F G H 分别为四边形 ABCD 的边 AB BC CD DA 的中点 试判断四边形 EFGH 的形状 并证明你的结论 26 证明 在一个三角形中 至少有一个内角小于或等于 60 度 27 请用反证法证明 如果两个整数的积是偶数 那么这两个整数中至少有一个是偶数 28 判断下列命题是真命题还是假命题 若是假命题 请举出一个反例说明 1 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 2 有两个角是锐角的三角形是锐角三角形 29 2013 南充 如图 在平行四边形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O 经过点 O 的直线交 AB 于 E 交 CD 于 F 求证 OE OF 30 2013 茂名 如图 在 ABCD 中 点 E 是 AB 边的中点 DE 与 CB 的延长线交于点 F 1 求证 ADE BFE 2 若 DF 平分 ADC 连接 CE 试判断 CE 和 DF 的位置关系 并说明理由 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 2014 年年 4 月王强的初中数学组卷月王强的初中数学组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 小题 1 2013 铜仁地区 已知 ABC 的各边长度分别为 3cm 4cm 5cm 则连结各边中点的三角形的周长为 A 2cmB 7cmC 5cmD 6cm 考点 三角形中位 线定理 分析 由中点和中 位线定义可 得新三角形 的各边长为 原三角形各 边长的一半 即可求其周 长 解答 解 如图 D E F 分 别是 ABC 的三边的中 点 则 DE AC D F BC EF AB DEF 的周 长 DE DF EF AC BC AB 6cm 故选 D 点评 解决本题的 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 关键是利用 中点定义和 中位线定理 得到新三角 形各边长与 原三角形各 边长的数量 关系 2 2013 怀化 如图 为测量池塘边 A B 两点的距离 小明在池塘的一侧选取一点 O 测得 OA OB 的中点分 别是点 D E 且 DE 14 米 则 A B 间的距离是 A 18 米B 24 米C 28 米D 30 米 考点 三角形中位 线定理 分析 根据 D E 是 OA OB 的中点 即 DE 是 OAB 的中位线 根据三角形 的中位线定 理 三角形 的中位线平 行于第三边 且等于第三 边的一半 即可求解 解答 解 D E 是 OA OB 的中点 即 CD 是 OAB 的中位线 DE AB AB 2CD 2 14 28m 故选 C 点评 本题考查了 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 三角形的中 位线定理应 用 正确理 解定理是解 题的关键 3 2012 泰安 如图 AB CD E F 分别为 AC BD 的中点 若 AB 5 CD 3 则 EF 的长是 A 4B 3C 2D 1 考点 三角形中位 线定理 全 等三角形的 判定与性 质 专题 压轴题 分析 连接 DE 并 延长交 AB 于 H 由已 知条件可判 定 DCE HAE 利用 全等三角形 的性质可得 DE HE 进 而得到 EF 是 三角形 DHB 的中位线 利用中位线 性质定理即 可求出 EF 的 长 解答 解 连接 DE 并延长交 AB 于 H CD AB C A CDE AHE E 是 AC 中 点 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 AE CE DCE H AE AAS DE HE D C AH F 是 BD 中 点 EF 是 DHB 的中位线 EF BH BH AB AH AB DC 2 EF 1 故选 D 点评 本题考查了 全等三角形 的判定和性 质 三角形 的中位线的 判定和性质 解题的关键 是连接 DE 和 AB 相交 构造全等三 角形 题目 设计新颖 4 2013 淄博 如图 ABC 的周长为 26 点 D E 都在边 BC 上 ABC 的平分线垂直于 AE 垂足为 Q ACB 的平分线垂直于 AD 垂足为 P 若 BC 10 则 PQ 的长为 A B C 3D 4 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 考点 三角形中位 线定理 等 腰三角形的 判定与性 质 专题 压轴题 分析 首先判断 BAE CAD 是等腰 三角形 从 而得出 BA BE CA CD 由 ABC 的周长 为 26 及 BC 10 可 得 DE 6 利 用中位线定 理可求出 PQ 解答 解 BQ 平 分 ABC BQ AE BAE 是等 腰三角形 同理 CAD 是等腰三角 形 点 Q 是 AE 中点 点 P 是 AD 中点 三线合一 PQ 是 ADE 的中位 线 BE CD AB AC 26 BC 26 10 16 DE BE CD BC 6 PQ DE 3 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 故选 C 点评 本题考查了 三角形的中 位线定理 解答本题的 关键是判断 出 BAE CAD 是等腰 三角形 利 用等腰三角 形的性质确 定 PQ 是 ADE 的中位 线 5 1997 海南 用反证法证明命题 如图 如果 AB CD AB EF 那么 CD EF 证明的第一个步骤是 A 假定 CD EFB 假定 CD 不 平行于 EF C 已知 AB EFD 假定 AB 不 平行于 EF 考点 反证法 分析 根据要证 CD EF 直 接假设 CD 不平行于 EF 即可得出 解答 解 用反证 法证明命题 如果 AB CD AB EF 那么 CD EF 证明的第一 步应是 从 结论反面出 发 假设 CD 不平行于 EF 故选 B 点评 此题主要考 查了反证法 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 的第一步 根据题意得 出命题结论 的反例是解 决问题的关 键 6 用反证法证明命题 在 Rt ABC 中 若 A 90 则 B 45 或 C 45 时 应先假设 A B 45 C 45 B B 45 C 45 C B 45 C 45 D B 45 C 45 考点 反证法 分析 用反证法证 明命题的真 假 应先按 符合题设的 条件 假设 题设成立 再判断得出 的结论是否 成立即可 解答 解 用反证 法证明命题 在 Rt ABC 中 若 A 90 则 B 45 或 C 45 时 应先假设 B 45 C 45 故选 C 点评 此题主要考 查了反证法 注意逆命题 的与原命题 的关系是解 题关键 7 用反证法证明 若 a c b c 则 a b 第一步应假设 A a bB a 与 b 垂直C a 与 b 不一定 平行 D a 与 b 相交 考点 反证法 分析 根据反证法 的步骤 直 接得出即 可 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 解答 解 用反证 法证明 若 a c b c 则 a b 第一步应假 设 若 a c b c 则 a b 相 交 故选 D 点评 此题主要考 查了反证法 解此题关键 要懂得反证 法的意义及 步骤 反证 法的步骤是 1 假设结 论不成立 2 从假设 出发推出矛 盾 3 假 设不成立 则结论成 立 在假设 结论不成立 时要注意考 虑结论的反 面所有可能 的情况 如 果只有一种 那么否定一 种就可以了 如果有多种 情况 则必 须一一否 定 8 能证明命题 x 是实数 则 x 3 2 0 是假命题的反例是 A x 4B x 3C x 2D x 15 考点 反证法 分析 根据 x 3 时 x 3 2 0 得出能证明 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 命题 x 是实 数 则 x 3 2 0 是假命题的 反例是 x 3 解答 解 x 3 时 x 3 2 0 能证明命题 x 是实数 则 x 3 2 0 是假命 题的反例是 x 3 故选 B 点评 本题主要考 查了命题的 真假判断 正确的命题 叫真命题 错误的命题 叫做假命 题 判断命 题是假命题 只要找到一 个反例即 可 9 下列说法正确的是 A 等腰三角形 的角平分线 中线 高线 互相重合 B 面积相等的 两个三角形 一定全等 C 用反证法证 明命题 三角 形中至少有 一个角不大 于 60 的第 一步是 假设 三角形中三 个角都大于 60 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 D 反比例函数 y 中函数值 y 随自变量 x 的增大一定 而减小 考点 反证法 反 比例函数的 性质 全等 三角形的判 定 等腰三 角形的性 质 分析 分别根据等 腰三角形的 性质以及全 等三角形的 判定与性质 和反证法的 证明第一步 以及反比例 函数的增减 性得出即 可 解答 解 A 等腰 三角形的顶 角平分线和 底边上的中 线 高线互 相重合 故 此选项错误 B 面积相等 的两个三角 形不一定全 等 故此选 项错误 C 用反证法 证明命题 三 角形中至少 有一个角不 大于 60 的 第一步是 假 设三角形中 三个角都大 于 60 此 选项正确 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 D 反比例函 数 y 中 每个象限内 函数值 y 随 自变量 x 的 增大一定而 减小 故此 选项错误 故选 C 点评 此题主要考 查了反证法 反比例函数 性质 等腰 三角形的性 质等知识 正确把握相 关性质是解 题关键 10 下列命题宜用反证法证明的是 A 等腰三角形 两腰上的高 相等 B 有一个外角 是 1200的等 腰三角形是 等边三角形 C 两条直线都 与第三条直 线平行 则 这两条直线 互相平行 D 全等三角形 的面积相等 考点 反证法 分析 利用直接证 明的方法不 易证明的结 论 可以考 虑利用反证 法证明 据 此即可判 断 解答 解 A 利用 三角形的面 积公式比较 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 容易证明 故选项错误 B 利用等边 三角形的判 定定理即可 直接证明 故选项错误 C 正确 D 根据全等 的定义可以 直接证明 故选项错 误 故选 C 点评 本题结合角 的比较考查 反证法 解 此题关键要 懂得反证法 应用的条件 直接证明的 方法不易证 明的结论 可以考虑利 用反证法证 明 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 小题 11 2013 烟台 如图 ABCD 的周长为 36 对角线 AC BD 相交于点 O 点 E 是 CD 的中点 BD 12 则 DOE 的周长为 15 考点 三角形中位 线定理 平 行四边形的 性质 分析 根据平行四 边形的对边 相等和对角 线互相平分 可得 OB OD 又 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 因为 E 点是 CD 的中点 可得 OE 是 BCD 的中位 线 可得 OE BC 所以易求 DOE 的周 长 解答 解 ABCD 的周 长为 36 2 BC CD 36 则 BC CD 18 四边形 ABCD 是平 行四边形 对角线 AC BD 相 交于点 O BD 12 OD OB BD 6 又 点 E 是 CD 的中点 OE 是 BCD 的中位 线 DE CD OE BC DOE 的周 长 OD OE DE BD B C CD 6 9 15 即 DOE 的周 长为 15 故答案是 15 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 点评 本题考查了 三角形中位 线定理 平 行四边形的 性质 解题 时 利用了 平行四边形 对角线互相 平分 平行 四边形的对 边相等 的性 质 12 2013 乌鲁木齐 如图 ABC 中 AD 是中线 AE 是角平分线 CF AE 于 F AB 5 AC 2 则 DF 的长 为 考点 三角形中位 线定理 等 腰三角形的 判定与性 质 专题 压轴题 分析 延长 CF 交 AB 于点 G 证明 AFG AFC 从而 可得 ACG 是等腰三角 形 GF FC 点 F 是 CG 中点 判断出 DF 是 CBG 的中 位线 继而 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 可得出答 案 解答 解 延长 CF 交 AB 于点 G AE 平分 BAC GAF C AF AF 垂直 CG AFG AF C 在 AFG 和 AFC 中 AFG A FC ASA AC AG G F CF 又 点 D 是 BC 中点 DF 是 CBG 的中位 线 DF BG AB AG AB AC 故答案为 点评 本题考查了 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 三角形的中 位线定理 解答本题的 关键是作出 辅助线 同 学们要注意 培养自己的 敏感性 一 般出现即是 角平分线又 是高的情况 我们就需要 寻找等腰三 角形 13 2012 枣庄 如图所示 DE 为 ABC 的中位线 点 F 在 DE 上 且 AFB 90 若 AB 5 BC 8 则 EF 的长 为 考点 三角形中位 线定理 直 角三角形斜 边上的中 线 专题 压轴题 分析 利用直角三 角形斜边上 的中线等于 斜边的一半 可求出 DF 的 长 再利用 三角形的中 位线平行于 第三边 并 且等于第三 边的一半 可求出 DE 的长 进而 求出 EF 的长 解答 解 AFB 90 D 为 AB 的 中点 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 DF AB 2 5 DE 为 ABC 的中位 线 DE BC 4 EF DE DF 1 5 故答案为 1 5 点评 本题考查了 直角三角形 斜边上的中 线性质 在 直角三角形 中 斜边上 的中线等于 斜边的一半 和三角形的 中位线性质 三角形的中 位线平行于 第三边 并 且等于第三 边的一半 14 2011 柳州 如图 要测量的 A C 两点被池塘隔开 李师傅在 AC 外任选一点 B 连接 BA 和 BC 分别取 BA 和 BC 的中点 E F 量得 E F 两点间的距离等于 23 米 则 A C 两点间的距离 46 米 考点 三角形中位 线定理 专题 计算题 压 轴题 分析 根据 E F 分 别是线段 AB BC 中 点 利用三 角形中位线 定理 即可 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 求出 AC 的 长 解答 解 E F 分别是线段 AB BC 中 点 FE 是三角 形 ABC 的中 位线 FE AC AC 2FE 23 2 46 米 故答案为 46 点评 此题考查学 生对三角形 中位线定理 的理解和掌 握 要求学 生熟练掌握 三角形中位 线定理 为 进一步学习 奠定基础 三 解答题 共三 解答题 共 16 小题 小题 15 2013 永州 如图 M 是 ABC 的边 BC 的中点 AN 平分 BAC BN AN 于点 N 延长 BN 交 AC 于点 D 已知 AB 10 BC 15 MN 3 1 求证 BN DN 2 求 ABC 的周长 考点 三角形中位 线定理 等 腰三角形的 判定与性 质 分析 1 证明 ABN ADN 即可 得出结论 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 2 先判断 MN 是 BDC 的中位线 从而得出 CD 由 1 可得 AD AB 10 从而计算 周长即可 解答 1 证明 在 ABN 和 ADN 中 ABN A DN BN DN 2 解 ABN ADN AD AB 10 DN NB 又 点 M 是 BC 中点 MN 是 BDC 的中位 线 CD 2MN 6 故 ABC 的 周长 AB BC CD AD 10 15 6 10 41 点评 本题考查了 三角形的中 位线定理及 等腰三角形 的判定 注 意培养自己 的敏感性 一般出现高 角平分线重 合的情况 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 都需要找到 等腰三角 形 16 2012 湘西州 如图 在 Rt ABC 中 C 90 B 60 AB 8cm E F 分别为边 AC AB 的中点 1 求 A 的度数 2 求 EF 的长 考点 三角形中位 线定理 含 30 度角的直 角三角形 分析 1 由 直 角三角形的 两个锐角互 余 的性质来 求 A 的度数 2 由 30 度角所对的 直角边等于 斜边的一半 求得 AB 2BC 则 BC 4cm 然 后根据三角 形中位线定 理求得 EF BC 解答 解 1 如 图 在 Rt ABC 中 C 90 B 60 A 90 B 30 即 A 的度数是 30 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 2 由 1 知 A 30 在 Rt ABC 中 C 90 A 30 AB 8cm BC AB 4 cm 又 E F 分别 为边 AC AB 的 中点 EF 是 ABC 的中位线 EF BC 2 cm 点评 本题考查了 三角形中位 线定理 含 30 度角的直 角三角 形 在直角 三角形中 30 角所对的 直角边等于 斜边的一 半 17 2005 乌鲁木齐 如图所示 在 ABC 中 ACB 90 点 D E 分别为 AC AB 的中点 点 F 在 BC 的延长 线上 且 CDF A 求证 四边形 DECF 为平行四边形 考点 平行四边形 的判定 三 角形中位线 定理 专题 证明题 分析 根据 DE 是 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 三角形的中 位线得到 DE BC 根 据 CE 是直角 三角形斜边 上的中线得 到 CE AE 得 A ACE CDF A CDF ACE DF CE 再 根据 两组 对边分别平 行的四边形 是平行四边 形而得证 解答 证明 D E 分别 为 AC AB 的中点 DE 为 ACB 的中位 线 DE BC CE 为 Rt ACB 的斜边 上的中线 CE AB A E A ACE 又 CDF A CDF AC E DF CE 又 DE BC 四边形 DECF 为平行 四边形 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 点评 本题利用了 三角形中 位线的性 质 直角三角 形的斜边上 的中线等于 斜边的一 半 等边对等 角 平行四边 形的性质和 判定 内错角相 等 两直线 平行 18 2004 苏州 已知 如图 正 ABC 的边长为 a D 为 AC 边上的一个动点 延长 AB 至 E 使 BE CD 连接 DE 交 BC 于点 P 1 求证 DP PE 2 若 D 为 AC 的中点 求 BP 的长 考点 等边三角形 的性质 全 等三角形的 判定与性质 三角形中位 线定理 专题 计算题 证 明题 分析 1 过点 D 作 DF AB 构造三角形 全等 可证 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 得 CDF 为 等边三角形 得到 DF BE 可 由 AAS 证得 DFP EB P DP EP 2 若 D 为 AC 的中 点 则 DF 是 ABC 的中 位线 有 BF BC a 点 P 是 BF 的中点 得 到 BP BF a 解答 1 证明 过点 D 作 DF AB 交 BC 于 F ABC 为正 三角形 CDF A 60 CDF 为正 三角形 DF CD 又 BE CD BE DF 又 DF AB PEB PD F 在 DFP 和 EBP 中 DFP E BP AAS DP PE 2 解 由 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 1 得 DFP EBP 可得 FP BP D 为 AC 中 点 DF AB BF BC a BP BF a 点评 本题利用了 等边三角形 的判定和性 质 全等三 角形的判定 和性质求 解 19 2013 镇江 如图 AB CD AB CD 点 E F 在 BC 上 且 BE CF 1 求证 ABE DCF 2 试证明 以 A F D E 为顶点的四边形是平行四边形 考点 平行四边形 的判定 全 等三角形的 判定与性 质 专题 证明题 分析 1 由全等 三角形的判 定定理 SAS 证得 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 ABE DCF 2 利用 1 中的全 等三角形的 对应角相等 证得 AEB DFC 则 AEF DFE 所以根据 平行线的判 定可以证得 AE DF 由 全等三角形 的对应边相 等证得 AE DF 则 易证得结 论 解答 证明 1 如图 AB CD B C 在 ABE 与 DCF 中 ABE D CF SAS 2 如图 连接 AF DE 由 1 知 ABE DC F AE DF AEB DFC AEF DF E AE DF 以 A F D E 为顶点的 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 四边形是平 行四边形 点评 本题考查了 平行四边形 的判定 全 等三角形的 判定与性 质 在证明 2 题时 利用了 一组 对边平行且 相等的四边 形是平行四 边形 的判定 定理 20 2013 梧州 如图 已知 AB CD BE AD 垂足为点 E CF AD 垂足为点 F 并且 AE DF 求证 四边形 BECF 是平行四边形 考点 平行四边形 的判定 全 等三角形的 判定与性 质 专题 证明题 分析 通过全等三 角形 AEB DFC 的对 应边相等证 得 BE CF 由 在同一平 面内 同垂 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 直于同一条 直线的两条 直线相互平 行 证得 BE CF 则 四边形 BECF 是平行四边 形 解答 证明 BE AD C F AD AEB DF C 90 AB CD A D 在 AEB 与 DFC 中 AEB D FC ASA BE CF BE AD C F AD BE CF 四边形 BECF 是平行 四边形 点评 本题考查了 平行四边形 的判定 全 等三角形的 判定与性 质 一组对 边平行且相 等的四边形 是平行四边 形 21 2013 鞍山 如图 E F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上两点 AF CE DF BE DF BE 求证 1 AFD CEB 2 四边形 ABCD 是平行四边形 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 考点 平行四边形 的判定 全 等三角形的 判定 专题 证明题 压 轴题 分析 1 利用两 边和它们的 夹角对应相 等的两三角 形全等 SAS 这 一判定定理 容易证明 AFD CEB 2 由 AFD CEB 容易 证明 AD BC 且 AD BC 可根据一组 对边平行且 相等的四边 形是平行四 边形 解答 证明 1 DF BE DFE BE F 又 AF CE D F BE AFD C EB SAS 2 由 1 知 AFD CEB DAC B CA AD BC 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 AD BC 四边形 ABCD 是平 行四边形 一组对边 平行且相等 的四边形是 平行四边形 点评 此题主要考 查了全等三 角形的判定 和平行四边 形的判定 判定两个三 角形全等的 一般方法有 SSS SAS ASA AAS HL 平行 四边形的判 定 一组对 边平行且相 等的四边形 是平行四边 形 22 2011 天水 已知 如图 E F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点 AF CE DF BE DF BE 四边形 ABCD 是平行四边形吗 请说明理由 考点 平行四边形 的判定 全 等三角形的 判定与性 质 专题 压轴题 分析 首先根据条 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 件证明 AFD CEB 可得 到 AD CB D AF BCE 可证出 AD CB 根 据一条对边 平行且相等 的四边形是 平行四边形 可证出结 论 解答 解 结论 四边形 ABCD 是平 行四边形 证明 DF BE AFD CE B 又 AF CE DF BE AFD C EB SAS AD CB DAF BCE AD CB 四边形 ABCD 是平 行四边形 点评 此题主要考 查了平行四 边形的判定 以及三角形 全等的判定 与性质 解 题的关键是 根据条件证 出 AFD CEB 23 2010 东莞 如图 分别以 Rt ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边 ACD 等边 ABE 已知 BAC 30 EF AB 垂足为 F 连接 DF 1 试说明 AC EF 2 求证 四边形 ADFE 是平行四边形 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 考点 平行四边形 的判定 全 等三角形的 判定与性质 等边三角形 的性质 专题 证明题 压 轴题 分析 1 首先 Rt ABC 中 由 BAC 30 可以得到 AB 2BC 又 因为 ABE 是等边三角 形 EF AB 由 此得到 AE 2AF 并 且 AB 2AF 然 后即可证明 AFE BCA 再根 据全等三角 形的性质即 可证明 AC EF 2 根据 1 知道 EF AC 而 ACD 是等 边三角形 所以 EF AC AD 并且 AD AB 而 EF AB 由 此得到 EF AD 再 根据平行四 边形的判定 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 定理即可证 明四边形 ADFE 是平 行四边形 解答 证明 1 Rt ABC 中 BAC 30 AB 2BC 又 ABE 是 等边三角形 EF AB AB 2AF AF CB 在 Rt AFE 和 Rt BCA 中 AFE B CA HL AC EF 2 由 1 知道 AC EF 而 ACD 是 等边三角形 DAC 60 EF AC AD 且 AD AB 而 EF AB EF AD 四边形 ADFE 是平 行四边形 点评 此题是首先 利用等边三 角形的性质 证明全等三 角形 然后 利用全等三 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 角形的性质 和等边三角 形的性质证 明平行四边 形 24 2006 镇江 已知 如图 在四边形 ABCD 中 AC 与 BD 相交于点 O AB CD AO CO 求证 四边形 ABCD 是平行四边形 考点 平行四边形 的判定 全 等三角形的 判定与性 质 专题 证明题 分析 要证四边形 ABCD 是平 行四边形 根据平行四 边形的判定 和已知条件 只需证 AB CD 继 而需求证 ABO CDO 由已 知条件很快 确定 ASA 即证 解答 证明 AB CD ABO C DO AO CO AOB CO D ABO C DO AB CD 又 AB CD 四边形 ABCD 是平 行四边形 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 点评 平行四边形 的判定方法 共有五种 应用时要认 真领会它们 之间的联系 与区别 同 时要根据条 件合理 灵 活地选择方 法 25 2006 湛江 如图 点 E F G H 分别为四边形 ABCD 的边 AB BC CD DA 的中点 试判断四边形 EFGH 的形状 并证明你的结论 考点 平行四边形 的判定 三 角形中位线 定理 专题 压轴题 探 究型 分析 四边形 EFGH 是平 行四边形 连接 AC 根 据中位线定 理 可证得 EF AC 且 EF AC G H AC 且 GH AC EFGH 四边形 EFGH 是平 行四边形 解答 解 四边形 EFGH 是平 行四边形 证明 连接 AC 如图 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 E F 分别 是 AB BC 的中点 EF 是 ABC 的中位线 EF AC 且 EF AC 同理 GH AC 且 GH AC EFGH 四边形 EFGH 是平 行四边形 点评 此题主要考 查平行四边 形的判定 综合运用了 中位线定理 作辅助线是 关键 26 证明 在一个三角形中 至少有一个内角小于或等于 60 度 考点 反证法 专题 证明题 分析 当条件较少 无法直接证 明时 可用 反证法证明 先假设结论 不成立 然 后得到与定 理矛盾 从 而证得原结 论成立 解答 证明 假设 在一个三角 形中没有一 个角小于或 菁优网菁优网 2010 2014 菁优网 等于 60 即 都大于 60 那么 这个 三角形的三 个内角之和 就会大于 180 这与定理 三 角形的三个 内角之和等 于 180 相矛 盾 原命题 正确 点评 本题结合三 角形内角和 定理考查反 证法 解此 题关键要懂 得反证法的 意义及步 骤 反证法 的步骤是 1 假设结 论不成立 2 从假设 出发推出矛 盾 3 假设不 成立 则结 论成立 在假设结论 不成立时要 注意考虑结 论的反面所 有可能的情 况 如果只 有一种 那 么否定一种 就可以了 如果有多种 情况 则必 须一一否 定 27 请用反证法证明 如果两个整数的积是偶数 那么这两个整数中至少有一个是偶数 考点 反证法 分析 首先假设这 菁优网菁优网 2010 201