专题一--乘法公式及应用

1 专题一 乘法公式的复习 一 复习 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 归纳小结公式的变式 准确灵活运用公式 位置变化 x y y x x2 y2 符号变化 x y x y x 2 y2 x2 y2 指数变化 x2 y2 x2 y2 x4 y4 系数变化 2a b 2a b 4a2 b2 换式变化 xy z m xy z m xy 2 z m 2 x2y2 z m z m x2y2 z2 zm zm m2 x2y2 z2 2zm m2 增项变化 x y z x y z x y 2 z2 x y x y z2 x2 xy xy y2 z2 x2 2xy y2 z2 连用公式变化 x y x y x2 y2 x2 y2 x2 y2 x4 y4 2 逆用公式变化 x y z 2 x y z 2 x y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz 例 1 已知 求的值 2 ba1 ab 22 ba 解 2 ba 22 2baba 22 ba abba2 2 2 ba1 ab 22 ba 21222 例 2 已知 求的值 8 ba2 ab 2 ba 解 2 ba 22 2baba 2 ba 22 2baba 2 ba 2 baab4 2 baab4 2 ba 8 ba2 ab 2 ba562482 例 3 计算 19992 2000 1998 例 4 已知 a b 2 ab 1 求 a2 b2和 a b 2的值 例 5 已知 x y 2 y z 2 x z 14 求 x2 z2的值 例 6 判断 2 1 22 1 24 1 22048 1 1 的个位数字是几 例 7 运用公式简便计算 1 1032 2 1982 例 8 计算 1 a 4b 3c a 4b 3c 2 3x y 2 3x y 2 例 9 解下列各式 1 已知 a2 b2 13 ab 6 求 a b 2 a b 2的值 2 已知 a b 2 7 a b 2 4 求 a2 b2 ab 的值 3 已知 a a 1 a2 b 2 求的值 22 2 ab ab 3 4 已知 求的值 1 3x x 4 4 1 x x 例 11 计算 1 x2 x 1 2 2 3m n p 2 两数和的平方的推广 a b c 2 a b c 2 a b 2 2 a b c c2 a2 2ab b2 2ac 2bc c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 即 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 几个数的和的平方 等于它们的平方和加上每两个数的积的 2 倍 二 乘法公式的用法 一 套用 这是最初的公式运用阶段 在这个环节中 应弄清乘法公式 的来龙去脉 准确地掌握其特征 为辨认和运用公式打下基础 同时能提高 学生的观察能力 例 1 计算 解 原式 5353 2222 xyxy 53259 2 2 2 2 44 xyxy 二 连用 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题 例 2 计算 1111 24 a aaa 例 3 计算 32513251xyzxyz 三 逆用 学习公式不能只会正向运用 有时还需要将公式左 右两边交 换位置 得出公式的逆向形式 并运用其解决问题 例 4 计算 578578 22 abcabc 四 变用 题目变形后运用公式解题 例 5 计算 xyz xyz 26 五 活用 把公式本身适当变形后再用于解题 这里以完全平方公式为 例 经过变形或重新组合 可得如下几个比较有用的派生公式 12 22 32 44 2 22 2 22 22 22 22 ababab ababab ababab ababab 4 灵活运用这些公式 往往可以处理一些特殊的计算问题 培养综合运用 知识的能力 例 6 已知 求的值 abab 45 ab 22 解 ababab 22 2 2 242526 例 7 计算 abcdbcda 22 三 学习乘法公式应注意的问题 一 注意掌握公式的特征 认清公式中的 两数 例 1 计算 2x2 5 2x2 5 分析 本题两个因式中 5 相同 2x2 符号相反 因而 5 是公式 a b a b a2 b2中的 a 而 2x2 则是公式中的 b 解 原式 5 2x2 5 2x2 5 2 2x2 2 25 4x4 例 2 计算 a2 4b 2 分析 运用公式 a b 2 a2 2ab b2时 a2 就是公式中的 a 4b 就是公 式中的 b 若将题目变形为 4b a2 2时 则 4b 是公式中的 a 而 a2 就是公式 中的 b 解略 二 注意为使用公式创造条件 例 3 计算 2x y z 5 2x y z 5 分析 粗看不能运用公式计算 但注意观察 两个因式中的 2x 5 两项 同号 y z 两项异号 因而 可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方 差公式的形式 解 原式 2x 5 y z 2x 5 y z 2x 5 2 y z 2 4x2 20 x 25 y 2yz z2 例 4 计算 a 1 2 a2 a 1 2 a6 a3 1 2 分析 若先用完全平方公式展开 运算十分繁冗 但注意逆用幂的运算法 则 则可利用乘法公式 使运算简便 解 原式 a 1 a2 a 1 a6 a3 1 2 a3 1 a6 a3 1 2 a9 1 2 a18 2a9 1 例 5 计算 2 1 22 1 24 1 28 1 分析 此题乍看无公式可用 硬乘 太繁 但若添上一项 2 1 则可运用 公式 使问题化繁为简 5 解 原式 2 1 2 1 22 1 24 1 28 1 22 1 22 1 24 1 28 1 24 1 24 1 28 1 28 1 28 1 216 1 三 注意公式的推广 计算多项式的平方 由 a b 2 a2 2ab b2 可推广得到 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 可叙述为 多项式的平方 等于各项的平方和 加上每两项乘积的 2 倍 例 6 计算 2x y 3 2 解 原式 2x 2 y2 3 2 2 2x y 2 2x 3 2 y 3 4x2 y2 9 4xy 12x 6y 四 注意公式的变换 灵活运用变形公式 例 7 1 已知 x y 10 x3 y3 100 求 x2 y2的值 2 已知 x 2y 7 xy 6 求 x 2y 2的值 分析 粗看似乎无从下手 但注意到乘法公式的下列变形 x2 y2 x y 2 2xy x3 y3 x y 3 3xy x y x y 2 x y 2 4xy 问题则十分简单 解 1 x3 y3 x y 3 3xy x y 将已知条件代入得 100 103 3xy 10 xy 30 故 x2 y2 x y 2 2xy 102 2 30 40 2 x 2y 2 x 2y 2 8xy 72 8 6 1 例 8 计算 a b c 2 a b c 2 a b c b a c 2 分析 直接展开 运算较繁 但注意到由和及差的完全平方公式可变换出 a b 2 a b 2 2 a2 b2 因而问题容易解决 解 原式 a b c 2 a b c 2 c a b 2 c a b 2 2 a b 2 c2 2 c2 a b 2 2 a b 2 a b 2 4c2 4a2 4b2 4c2 五 注意乘法公式的逆运用 例 9 计算 a 2b 3c 2 a 2b 3c 2 分析 若按完全平方公式展开 再相减 运算繁杂 但逆用平方差公式 则能使运算简便得多 解 原式 a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c 2a 4b 6c 8ab 12ac 例 10 计算 2a 3b 2 2 2a 3b 5b 4a 4a 5b 2 分析 此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算 但逆用完全 平方公式 则运算更为简便 解 原式 2a 3b 2 2 2a 3b 4a 5b 4a 5b 2 6 2a 3b 4a 5b 2 6a 2b 2 36a2 24ab 4b2 四 怎样熟练运用公式 一 明确公式的结构特征 这是正确运用公式的前提 如平方差公式的结构特征是 符号左边是两 个二项式相乘 且在这四项中有两项完全相同 另两项是互为相反数 等号 右边是乘式中两项的平方差 且是相同项的平方减去相反项的平方 明确了 公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式 二 理解字母的广泛含义 乘法公式中的字母 a b 可以是具体的数 也可以是单项式或多项 式 理解了字母含义的广泛性 就能在更广泛的范围内正确运用公式 如计 算 x 2y 3z 2 若视 x 2y 为公式中的 a 3z 为 b 则就可用 a b 2 a2 2ab b2来解了 三 熟悉常见的几种变化 有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算 此 时要根据公式特征 合理调整变化 使其满足公式特点 常见的几种变化是 1 位置变化 如 3x 5y 5y 3x 交换 3x 和 5y 的位置后即可用平方差 公式计算了 2 符号变化 如 2m 7n 2m 7n 变为 2m 7n 2m 7n 后就 可用平方差公式求解了 思考 不变或不这样变 可以吗 3 数字变化 如 98 102 992 912等分别变为 100 2 100 2 100 1 2 90 1 2后就能够用乘法公式加以解答了 4 系数变化 如 4m 2m 变为 2 2m 2m 后即可用平 2 n 4 n 4 n 4 n 方差公式进行计算了 5 项数变化 如 x 3y 2z x 3y 6z 变为 x 3y 4z 2z x 3y 4z 2z 后再适当分组就可以用乘法公式来解了 四 注意公式的灵活运用 有些题目往往可用不同的公式来解 此时要选择最恰当的公式以使计 算更简便 如计算 a2 1 2 a2 1 2 若分别展开后再相乘 则比较繁琐 若 逆用积的乘方法则后再进一步计算 则非常简便 即原式 a2 1 a2 1 2 a4 1 2 a8 2a4 1 对数学公式只会顺向 从左到右 运用是远远不够的 还要注意逆向 从 7 右到左 运用 如计算 1 1 1 1 1 若分别 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 9 1 2 10 1 算出各因式的值后再行相乘 不仅计算繁难 而且容易出错 若注意到各因 式均为平方差的形式而逆用平方差公式 则可巧解本题 即原式 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 10 1 10 1 2 1 2 3 3 2 3 4 10 9 10 11 2 1 10 11 20 11 有时有些问题不能直接用乘法公式解决 而要用到乘法公式的变式 乘 法公式的变式主要有 a2 b2 a b 2 2ab a2 b2 a b 2 2ab 等 用这些变式解有关问题常能收到事半