湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题(解析)

1 长沙市长沙市 20192019 届高三年级统一模拟考试届高三年级统一模拟考试 文科数学文科数学 第第 卷 共卷 共 6060 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 个小题个小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 若集合 则 A B C D 答案 B 解析 分析 写出集合 N 然后对集合 M N 取交集即可得到答案 详解 则 故选 B 点睛 本题考查集合的交集运算 属于简单题 2 在复平面内表示复数 为虚数单位 的点位于第二象限 则实数 的取值范围是 A B C D 答案 C 解析 分析 利用复数的除法运算将复数化简为 a bi 的形式 然后根据复数对应点位于第二象限 即可得到 m 范围 详解 复数对应的点为 若点位于第二象限 只需 m 0 故选 C 点睛 本题考查复数的有关概念和复数的商的运算 属于基础题 3 下列函数中 图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是 2 A B C D 答案 D 解析 分析 由题意可知函数为奇函数 由奇函数和单调性对四个选项逐个进行检验即可得到答案 详解 由函数图象关于原点对称知函数为奇函数 选项 B 函数定义域为 不关于原点对称 不具有奇偶性 故排除 选项 C 因为 f x f x 函数为偶函数 故排除 选项 A 函数为奇函数且 f x cosx 1可知函数在定义域上单调递减 故排除 选项 D 函数为奇函数 由指数函数单调性可知函数在定义域上单调递增 故选 D 点睛 本题考查函数奇偶性和单调性的判断方法 属于基础题 4 某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台的整点报时 则他等待的时间不多于 5 分钟的概率 为 A B C D 答案 B 解析 分析 由于电台的整点报时之间的间隔 60 分 等待的时间不多于 5 分钟 根据几何概型的概率公式可求 详解 设电台的整点报时之间某刻的时间 x 由题意可得 0 x 60 等待的时间不多于 5 分钟的概率为 P 故选 B 点睛 本题考查几何概型 先要判断概率模型 对于几何概型 它的结果要通过长度 面积或体积之 比来得到 属于基础题 5 设 表示不同直线 表示不同平面 下列命题 若 则 若 则 若 则 若 则 3 真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 A 解析 分析 利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择 详解 对于 由平行公理 4 可知正确 对于 若 a 显然结论不成立 故 错误 对于 若 a b 则 a b 可能平行 可能相交 可能异面 故 错误 对于 a a b a 与 b 平行或异面 故 错误 真命题的个数为 1 个 故选 A 点睛 本题考查命题真假的判断 考查空间中线线 线面间的位置关系等基础知识 考查空间想象能力 是中档题 6 若 满足 则的取值范围是 A B C D 答案 A 解析 分析 由约束条件画出可行域 化目标函数为直线方程的斜截式 数形结合得到最优解 联立方程组得到最优解的 坐标 代入目标函数得到答案 详解 根据约束条件画出可行域如图 即 y 2x z 由图得当 z 2x y 过点 O 0 0 时 纵截距最大 z 最小为 0 当 z 2x y 过点 B 1 1 时 纵截距最小 z 最大为 3 故所求 z 2x y 的取值范围是 故选 A 4 点睛 本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值和范围 求目 标函数范围的一般步骤是 一画 二移 三求 1 作出可行域 一定要注意是实线还是虚线 2 找到目标函数对应的最优解对应点 在可行域内平移变形后的目标函数 最先通过或最后通过的顶点就是最 优解 3 将最优解坐标代入目标函数求出最值 从而得到范围 7 已知 是双曲线的上 下焦点 点 是其一条渐近线上一点 且以为直径的圆经过点 则的面积为 A B C D 答案 A 解析 分析 由双曲线方程得到渐近线方程和以为直径的圆的方程 设点 P 坐标 根据点 P 在渐近线上和圆上 得点 P 坐标 从而可得三角形的面积 详解 等轴双曲线的渐近线方程为 不妨设点 在渐近线上 则 以为直径的圆为 又在圆上 解得 故选 点睛 本题考查双曲线方程和渐近线的简单应用 考查三角形面积的求法 属于基础题 8 若 则的最小值为 A 2 B 4 C 6 D 8 5 答案 B 解析 分析 利用基本不等式即可直接得到所求最小值 详解 于是或 舍 当时取等号 则 a b 的最小值为 4 故选 点睛 本题考查利用基本不等式求最值问题 属于基础题 9 已知是函数 图象的一个最高点 是与 相邻的两个最低点 若 则的图象对称中心可以是 A B C D 答案 C 解析 分析 根据题意可得函数周期 从而得点 B C 的坐标 即是图象的对称中心 详解 因为 P 是函数图象的一个最高点 是与 相邻的两最低点 可知 BC的周期 半个周期为 3 则得 由图像可知 1 0 都是图象的对称中心 故选 点睛 本题考查函数 的周期性和对称性 属于基础题 10 在中 且 是的外心 则 A 16 B 32 C 16 D 32 答案 D 解析 分析 利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案 详解 又 是的外心 由投影的定义可知 6 则 故选 点睛 本题考查向量的数量积的运算 考查投影定义的简单应用 属于基础题 11 已知抛物线的焦点为 点 在 上 若直线与 交于另一点 则的值 是 A 12 B 10 C 9 D 4 5 答案 C 解析 分析 由点 A 在抛物线上得点 A 坐标 又 F 2 0 设直线 AF 方程并与抛物线方程联立 利用抛物线的定义即可得 到弦长 详解 法一 因为 在 上 所以 解得或 舍去 故直线的方程为 由 消去 得 解得 由抛物线的定义 得 所以 故选 法二 直线过焦点 又 所以 故选 点睛 本题考查直线与抛物线的位置关系 考查利用抛物线定义求过焦点的弦长问题 考查学生计算能力 12 已知 若函数有三个零点 则实数 的取值范围是 A B C D 答案 A 解析 分析 本道题将零点问题转化成交点个数问题 利用数形结合思想 即可 详解 有三个零点 有一个零点 故 有两个零点 代入的解析式 得到 构造新函数 绘制这两个函数的图像 如图可知 7 因而介于 A O 之间 建立不等关系 解得 a 的范围为 故选 A 点睛 本道题考查了函数零点问题 难度加大 第第 卷 共卷 共 9090 分 分 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 5 分 满分分 满分 2020 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 设曲线在点处的切线与直线垂直 则 答案 1 解析 分析 对函数求导 利用导数的几何意义可得曲线在点 1 a 处的切线斜率 根据两条直线垂直斜率乘积为 1 即可得 a 值 详解 所以切线的斜率 又切线与直线垂直 得 解得 故答案为 1 点睛 本题考查导数的几何意义的应用 属于基础题 14 在平面直角坐标系中 角 的顶点在原点 始边与 轴的非负半轴重合 终边过点 则 答案 解析 分析 由三角函数定义可得和 然后利用正弦的二倍角公式计算即可得到答案 8 详解 由三角函数定义可得 所以 故答案为 点睛 本题考查三角函数定义和二倍角公式的应用 考查学生计算能力 属于简单题 15 在正方体中 点 在线段上运动 则异面直线与所成角的取值范围是 答案 解析 分析 由得为异面直线与所成角 求解即可 详解 在正方体中 连 则 所以为异面直线与所成角 点 与 重合 最大 且最大为 当点 与无限接近时 趋近于零 故异面直线与所成角的取值范围 是 故答案为 点睛 本题考查异面直线所成角 求异面直线所成角先要利用三角形中位线定理以及平 行四边形找到异面直线所成的角 然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解 16 中 内角 所对的边分别为 已知 且 则面积的最大值 是 答案 解析 分析 由正弦定理将已知化简可得角 B 再由余弦定理和基本不等式得 ac 的最大值 即可得到面 积的最大值 详解 由及正弦定理得 即 9 又 于是可得 即 在中 由余弦定理得 即 又因为 由此可得 当且仅当时等号成立 面积 故面积 最大值为 故答案为 点睛 本题考查正弦定理 余弦定理和三角形面积公式的应用 考查利用基本不等式求最值问题 属于常 考题型 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知数列的首项 且对任意的 都有 数列满足 求数列 的通项公式 求使成立的最小正整数 的值 答案 10 解析 分析 由已知的递推关系式可知数列为等差数列 从而可得的通项公式 代入可得的通 项公式 利用分组求和法和等比数列的求和公式得到数列的前 n 项和 通过判断数列的单调 性可得满足条件的 n 的值 详解 令得 解得 又由知 故数列是首项 公差的等差数列 于是 10 由 知 于是 令 易知是关于 的单调递增函数 又 故使成立的最小正整数 的值是 10 点睛 本题考查等差 等比数列的通项公式和等差 等比数列的前 n 项和公式的应用 以及数列单调性的 判断 考查学生推理和计算能力 18 如图 已知三棱锥的平面展开图中 四边形为边长等于的正方形 和均为正三 角形 在三棱锥中 证明 平面平面 求三棱锥的表面积和体积 答案 详见解析 表面积 体积 解析 分析 由题意知和为等腰三角形 可取 AC 中点 O 连接 PO OB 可证明平面然后利用 面面垂直的判定定理即可得到证明 求各个面的面积之和即可到棱锥的表面积 由平面 利用棱锥的体积公式计算即可得到答案 详解 解 设的中点为 连接 由题意 得 因为在中 为的中点 所以 因为在中 所以 因为 平面 所以平面 11 因为平面 所以平面平面 三棱锥的表面积 由 知 平面 所以三棱锥的体积为 点睛 本题考查线面垂直 面面垂直判定定理的应用 考查棱锥的表面积和体积的计 算 考查学生的空间想象能力和计算能力 19 为了解某校学生参加社区服务的情况 采用按性别分层抽样的方法进行调查 已知该校共有学生 960 人 其中男生 560 人 从全校学生中抽取了容量为 的样本 得到一周参加社区服务的时间的统计数据好下表 超过 1 小时不超过 1 小时 男 208 女 12m 求 能否有 95 的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有关 以样本中学生参加社区服务时间超过 1 小时的频率作为该事件发生的概率 现从该校学生中随机调查 6 名学生 试估计 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数 附 0 0500 0100 001 3 8416 63510 828 12 答案 没有 95 把握 4 人 解析 分析 由已知得该校女生人数 利用分层抽样的原则列等式得 m 值 由列联表中的数据可得 n 值 由 列联表计算的值 对照临界值 即可得出结论 由列联表中的数据可得学生一周参加社区服务时间 超过 1 小时的概率 从而得到 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数 详解 解 由已知 该校有女生 400 人 故 得 从而 作出列联表如下 超过 1 小时的人数不超过 1 小时的人数合计 男 20828 女 12820 合计 321648 所以没有 95 的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有关 根据以上数据 学生一周参加社区服务时间超过 1 小时的概率 故估计这 6 名学生一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数是 4 人 点睛 本题考查概率的计算 考查独立性检验知识的运用 考查学生的计算能力 属于中档题 20 已知椭圆 的离心率 左 右焦点分别为 为椭圆 上一点 且 求椭圆 的方程 设椭圆 的左 右顶点为 过 分别作 轴的垂直 椭圆 的一条切线与 交于 两点 求证 的定值 13 答案 详见解析 解析 分析 由和离心率以及进行计算即可得到椭圆的方程 由已知可得点 M 和点 N 的坐标 然后将切线 l 方程与椭圆方程联立 利用0 可得 利用的夹角公式进行计算可得到 为定值 详解 得 又 解得 故所求椭圆 的标准方程为 由题可知 的方程为 的方程为 直线 与直线 联立得 所以 所以 联立得 因为直线 椭圆 相切 所以 化简得 所以 所以 故为定值 注 可以先通过计算出此时 再验证一般性 点睛 本题考查椭圆标准方程的求法 考查直线与椭圆相切问题和椭圆中的定值问题 考查学生推理和计 算能力 属于中档题 14 21 已知函数 试讨论的单调性 记的零点为 的极小值点为 当时 求证 答案 详见解析 见解析 解析 分析 对函数 f x 求导 分和 a 0 进行讨论 可得函数单调性 对函数 g x 求导 分析单 调性 由零点存在性定理可确定的零点即极小值点 从而得到 a 与的等量关系 将等量关系代入 中 利用函数 f x 的单调性即可得到证明 详解 解 若 则 在上单调递增 若 则必有一正一负两根 且正根为 当 在上单调递增 当 在上单调递减 综上可知 当时 在上单调递增 当时 在上单调递增 在上单调递减 所以在单调递增 又 故存在零点 且在区间上单调递减 在区间上单调递增 即为的极小值点 故 由知 15 所以 又 所以 由 可知 时 在单调递增 因此 点睛 本题考查利用导数研究函数的单调性 极值问题 考查导数的综合应用 考查分类讨论思想和推理 能力 属于中档题 请考