三角函数、平面向量综合题九种类型

1 三角函数与平面向量综合题的九种类型三角函数与平面向量综合题的九种类型 题型一 题型一 三角函数与平面向量平行三角函数与平面向量平行 共线共线 的综合的综合 例例 1 已知 A B C 为三个锐角 且 A B C 若向量 2 2sinA cosA sinA 与向量 p sinA cosA 1 sinA 是共线向量 q 求角 A 求函数 y 2sin2B cos的最大值 C 3B 2 题型二题型二 三角函数与平面向量垂直的综合三角函数与平面向量垂直的综合 例例 2 已知向量 3sin cos 2sin 5sin 4cos 2 且 a b 3 2 a b 求 tan 的值 求 cos 的值 2 3 题型三题型三 三角函数与平面向量的模的综合三角函数与平面向量的模的综合 例例 3 已知向量 cos sin cos sin 求 cos 的值 若 a b a b 2 5 5 0 且 sin 求 sin 的值 2 2 5 13 题型四 结合向量的数量积题型四 结合向量的数量积 考查三角函数的化简或求值考查三角函数的化简或求值 例例 4 2010 年高考安徽卷 已知 为的最小正周期 0 4 cos 2 8 f xx 求的值 tan 1 cos 2 4 aba bm 2 2cossin2 cossin 练习 设函数 f x 其中向量 m cosx 1 sinx 1 x R 且 f 2 求实数 m 的 a b a b 2 值 求函数 f x 的最小值 2 题型五 结合向量的夹角公式 考查三角函数中的求角问题题型五 结合向量的夹角公式 考查三角函数中的求角问题 例例 5 浙江卷 如图 函数 其中 的图像与轴交于点 0 1 2sin yxxR 0 2 y 求的值 设是图像上的最高点 M N 是图像与轴的交点 求与的夹角 PxPM PN 题型六 结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算题型六 结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 例例 6 山东卷 在中 角的对边分别为 ABC A B C a b ctan3 7C 1 求 2 若 且 求 cosC 5 2 CB CA 9ab c 题型七 结合三角函数的有界性 考查三角函数的最值与向量运算题型七 结合三角函数的有界性 考查三角函数的最值与向量运算 例例 7 陕西卷 其中向量 且函数 f xa b cos2 amx 1 sin2 1 bx xR 的图象经过点 yf x 2 4 求实数的值 求函数的最小值及此时值的集合 m yf x x 题型八 结合向量平移问题 考查三角函数解析式的求法题型八 结合向量平移问题 考查三角函数解析式的求法 例例 8 湖北卷 将的图象向左平移 4 向下平移 2 个单位 则平移后所得图象的解析式 2cos 36 x y 为 2cos2 34 x y 2cos2 34 x y 2cos2 312 x y 2cos2 312 x y 题型九 结合向量的坐标运算 考查与三角不等式相关的问题题型九 结合向量的坐标运算 考查与三角不等式相关的问题 例例 9 湖北卷 设向量 函数 sin cos cos cos axx bxx xR f xaab 求函数的最大值与最小正周期 f x 求使不等式成立的的取值集 3 2 f x x 3 专题训练专题训练 一 选择题 1 已知 cos40 sin40 cos20 sin20 则 a b a b A 1B C D 1 2 2 将函数 y 2sin2x 的图象按向量 平移后得到图象对应的解析式是 2 2 2 A 2cos2xB 2cos2xC 2sin2xD 2sin2x 3 已知 ABC 中 若 0 则 ABC 是 AB a AC b a b A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形 4 设 sin cos 且 则锐角 为 a 3 2 b 1 3 a b A 30 B 45 C 60 D 75 5 已知 sin 1 其中 则一定有 a1 cos b1 cos 3 2 A B C 与夹角为 45 D a b a b a b a b 6 已知向量 6 4 0 2 若 C 点在函数 y sinx 的图象上 实数 a b c a b 12 A B C D 5 2 3 2 5 2 3 2 7 设 0 2 时 已知两个向量 cos sin 2 sin 2 cos 则向量长度的最大值是 OP1 OP2 P1P2 A B C 3D 2 2323 8 若向量 cos sin cos sin 则与一定满足 a b a b A 与的夹角等于 B a b a b C D a b a b a b 9 已知向量 cos25 sin25 sin20 cos20 若 t 是实数 且 t 则 的最小值为 a b u a b u A B 1C D 2 1 2 10 O 是平面上一定点 A B C 是该平面上不共线的 3 个点 一动点 P 满足 OP OA AB AC 0 则直线 AP 一定通过 ABC 的 A 外心B 内心C 重心D 垂心 二 填空题 11 已知向量 sin 2cos 若 则 sin2 的值为 m n3 1 2 m n 12 已知在 OAB O 为原点 中 2cos 2sin 5cos 5sin 若 5 则 S AOB的 OA OB OA OB 值为 4 13 已知向量 1 1 向量与向量夹角为 且 1 则向量 m n m 3 4 m n n 三 解答题 14 已知向量 sinA cosA 1 1 且为锐角 m n3 m n A 求角 A 的大小 求函数 f x cos2x 4cosAsinx x R 的值域 15 在 ABC 中 A B C 所对边的长分别为 a b c 已知向量 1 2sinA sinA 1 cosA m n 满足 b c a 求 A 的大小 求 sin B 的值 m n3 6 16 ABC 的角 A B C 的对边分别为 a b c 2b c a cosA cosC 且 m n m n 求角 A 的大小 当 y 2sin2B sin 2B 取最大值时 求角的大小 6 B 17 已知 cosx sinx sinx cosx sinx 2cosx a b 求证 向量与向量不可能平行 a b 若 f x 且 x 时 求函数 f x 的最大值及最小值 a b 4 4 18 设函数 其中向量 f xabc sin cos sin 3cos axx bxx cos sin cxx xR 求函数的最大值和最小正周期 xf 将函数的图像按向量平移 使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称 求长度最小 xfy d 的 d 19 已知向量 sin 1 1 cos 22 ab 若 求 ab 求的最大值 ab 5 参考答案参考答案 三角函数与平面向量综合题的九种类型三角函数与平面向量综合题的九种类型 例例 1 解解 共线 2 2sinA 1 sinA cosA sinA cosA sinA p q 则 sin2A 又 A 为锐角 所以 sinA 则 A 3 4 3 y 2sin2B cos 2sin2B cos 2sin2B cos 2B 1 cos2B cos2B sin2B C 3B 2 3 1 2 sin2B cos2B 1 sin 2B 1 B 0 2B 2B 解得 B 1 2 6 2 6 6 5 6 6 2 3 ymax 2 2 解解 0 而 3sin cos 2sin 5sin 4cos a b a b a b 故 6sin2 5sin cos 4cos2 0 由于 cos 0 6tan2 5tan 4 0 解之 得 tan 或 a b 4 3 tan 2 tan 0 故 tan 舍去 tan 1 2 3 2 1 2 4 3 2 由 tan 求得 tan tan 2 舍去 3 2 2 3 4 4 3 2 1 2 2 sin cos cos cos cos sin sin 2 2 2 3 2 3 2 3 1 2 3 解解 2 2 2 将向量 cos sin cos sin 代入上式得 a b 2 5 5 a a b b 4 5 a b 12 2 cos cos sin sin 12 cos 4 5 3 5 0 0 由 cos 得 sin 又 sin cos 2 2 3 5 4 5 5 13 12 13 sin sin sin cos cos sin 33 65 4 解答解答 因为为的最小正周期 故 因为 cos 2 8 f xx a bm 又 故 costan 2 4 a b costan 2 4 m 由于 所以0 4 2 2cossin2 cossin 2 2cossin 22 cossin 2 2cossin2 cossin 2cos cossin cossin 1tan 2cos 1tan costan 2 4 m 练习解 解 f x m 1 sinx cosx 由 f 2 得 m 1 sin cos 2 解得 m 1 a b 2 2 2 6 由 得 f x sinx cosx 1 sin x 1 当 sin x 1 时 f x 的最小值为 1 2 4 42 5 解答解答 I 因为函数图像过点 所以即 0 1 2sin1 1 sin 2 因为 所以 0 2 6 II 由函数及其图像 得2sin 6 yx 115 0 2 0 636 MPN 所以从而 11 2 2 22 PMPN 故 cos PM PN PM PN PMPN 15 17 PM PN 15 arccos 17 6 解答解答 1 又 解得 tan3 7C sin 3 7 cos C C 22 sincos1CC 1 cos 8 C 是锐角 tan0C C 1 cos 8 C 2 又 5 2 CB CA 5 cos 2 abC 20ab 9ab 22 281aabb 22 41ab 222 2cos36cababC 6c 7 解答解答 由已知 f xa b 1 sin2 cos2mxx 4 f 1 sin cos2 22 m 得 1m 由 得 1 sin2cos212sin 2 4 f xxxx 当时 的最小值为 sin 2 1 4 x yf x 12 由 得值的集合为 sin 2 1 4 x x 3 8 x xkkZ 8 解答解答 平移后的解析式为 选 2 4 a 2cos2 3612 x y 2cos2 34 x A 9 解答解答 f xaab 222 sincossin coscosa aa bxxxxx 1132 1sin2 cos21 sin 2 22224 xxx 的最大值为 最小正周期是 f x 32 22 2 2 要使成立 当且仅当 3 2 f x 323 sin 2 2242 x 即 sin 2 0 4 x 222 4 kxk 3 88 kxkkZ 7 即成立的的取值集合是 3 2 f x x 3 88 x kxkkZ 专题训练专题训练 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 B 解析解析 由数量积的坐标表示知 cos40 sin20 sin40 cos20 sin60 a b 3 2 2 D 解析解析 y 2sin2x y 2sin2 x 即 y 2sin2x 2 2 2 2 3 A 解析解析 因为 cos BAC 0 BAC 为钝角 4 B 解析解析 由平行的充要条件得 sin cos 0 sin2 1 2 90 45 3 2 1 3 5 B 解析解析 sin sin sin sin 0 a b 3 2 a b a b 6 A 6 4 2 代入 y sinx 得 4 2 sin 1 解得 c a b 12 2 5 2 7 C 解析解析 3 P1P2 2 sin cos 2 2 cos sin 210 8cos 2 8 D 解析解析 cos cos sin sin cos cos sin sin a b a b a b a b cos2 cos2 sin2 sin2 0 a b a b 9 C 解析解析 2 2 t2 2 2t 1 t2 2t sin20 cos25 cos20 sin25 t2 t 1 t u a b a b2 2 min 1 2 u2min 1 2 u 10 C 解析解析 设 BC 的中点为 D 则 2 又由 2 所以 AB AC AD OP OA AB AC AP AD 与共线 即有直线 AP 与直线 AD 重合 即直线 AP 一定通过 ABC 的重心 AP AD 二 填空题二 填空题 11 解析解析 由 得 sin 2cos tan 4 sin2 m n 1 233 2sin cos sin2 cos2 2tan tan2 1 12 解析解析 5 10cos co s 10sin sin 5 10cos 5 cos OA OB sin AOB 又 2 5 S AOB 2 5 1 2 OA OB 1 2 13 1 0 或 0 1 解析解析 设 x y 由 1 有 x y 1 由与夹角为 有 n m n m n 3 4 8 cos 1 则 x2 y2 1 由 解得或 即 1 0 或 m n m n 3 4 n n 0 1 n 三 解答题三 解答题 14 解解 由题意得 sinA cosA 1 2sin A 1 sin A m n3 6 6 1 2 由 A 为锐角得 A A 6 6 3 由 知 cosA 所以 f x cos2x 2sinx 1 2sin2x 2sinx 2 sinx 2 1 2 1 2 3 2 因为 x R 所以 sinx 1 1 因此 当 sinx 时 f x 有最大值 1 2 3 2 当 sinx 1 时 f x 有最小值 3 所以所求函数 f x 的值域是 3 3 2 15 解解 由 得 2sin2A 1 cosA 0 即 2cos2A cosA 1 0 cosA 或 cosA 1 m n 1 2 A 是 ABC 内角 cosA 1 舍去 A 3 b c a 由正弦定理 sinB sinC sinA 33 3 2 B C sinB sin B 2 3 2 3 3 2 cosB sinB 即 sin B 3 2 3 2 6 16 解解 由 得 0 从而 2b c cosA acosC 0 m n m n 由正弦定理得 2sinBcosA sinCcosA sinAcosC 0 2sinBcosA sin A C 0 2sinBcosA sinB 0 A B 0 sinB 0 cosA 故 A 1 2 3 y 2sin2B 2sin 2B 1 cos2B sin2Bcos cos2Bsin 6 6 6 1 sin2B cos2B 1 sin 2B 1 2 6 由 得 0 B 2B 2 3 6 6 7 6 当 2B 即 B 时 y 取最大值 2 6 2 3