三角函数高考题及练习题

三角函数高考题及练习题 含答案 1 掌握正弦函数 余弦函数 正切函数的图象与性质 会用 五点法 作出正弦函数 及余弦函数的图象 掌握函数 y Asin x 的图象及性质 2 高考试题中 三角函数题相对比较传统 位置靠前 通常是以简单题形式出现 因 此在本讲复习中要注重三角知识的基础性 特别是要熟练掌握三角函数的定义 三角函数 图象的识别及其简单的性质 周期 单调性 奇偶 最值 对称 图象平移及变换等 3 三角函数是每年高考的必考内容 多数为基础题 难度属中档偏易 这几年的高考 加强了对三角函数定义 图象和性质的考查 在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些 特殊方法 如函数法 待定系数法 数形结合法等 1 函数 y 2sin2 1 是最小正周期为 的 填 奇 或 偶 函 x 4 数 答案 奇 解析 y cos sin2x 2x 2 2 函数 f x lgx sinx 的零点个数为 答案 3 解析 在 0 内作出函数 y lgx y sinx 的图象 即可得到答案 3 函数 y 2sin 3x 的一条对称轴为 x 则 2 12 答案 4 解析 由已知可得 3 k k Z 即 k k Z 因为 所以 12 2 4 2 4 4 若 f x 2sin x 0 1 在区间上的最大值是 则 0 3 2 答案 3 4 解析 由 0 x 得 0 x 则 f x 在上单调递增 且在这个区间上的 3 3 3 0 3 最大值是 所以 2sin 且 0 0 0 的部分图象如图所示 1 求 f 0 的值 2 若 0 0 所得函数的图象关于直线 x 对称 17 8 1 求 m 的最小值 2 证明 当 x 时 经过函数 f x 图象上任意两点的直线的斜率恒 17 8 15 8 为负数 3 设 x1 x2 0 x1 x2 且 f x1 f x2 1 求 x1 x2的值 1 解 f x sin2x 2sinxcosx 3cos2x sin2x 3 cos2x sin2x 2 cos 1 cos2x 2 1 cos2x 22 2 2x 4 因为将 f x 的图象沿 x 轴向左平移 m 个单位 m 0 得到 g x 2 的 2 2 x m 4 图象 又 g x 的图象关于直线 x 对称 17 8 所以 2 k 即 m k Z 17 8 m 4 2k 9 4 因为 m 0 所以 m 的最小值为 4 2 证明 因为 x 所以 4 2x 所以 f x 在 17 8 15 8 4 7 2 上是减函数 所以当 x1 x2 且 x1f x2 17 8 15 8 17 8 15 8 从而经过任意两点 x1 f x1 和 x2 f x2 的直线的斜率 k 0 1 若 y f x 在上单调递增 求 的取值范围 4 2 3 2 令 2 将函数 y f x 的图象向左平移个单位 再向上平移 1 个单位 得到函 6 数 y g x 的图象 区间 a b a b R 且 a0 根据题意有 4 2 2 3 2 0 3 4 2 f x 2sin2x g x 2sin2 1 2sin 1 g x x 6 2x 3 0 sin x k 或 x k k Z 即 g x 的零点相邻间隔依次为 2x 3 1 2 3 7 12 和 故若 y g x 在 a b 上至少含有 30 个零点 则 b a 的最小值为 14 15 3 2 3 2 3 3 43 3 已知函数 f x sin x cos x 0 0 为偶函数 且函 3 数 y f x 图象的两相邻对称轴间的距离为 2 1 求 f的值 8 2 将函数 y f x 的图象向右平移个单位后 得到函数 y g x 的图象 求函数 g x 6 的单调递减区间 解 1 f x sin x cos x 2 2sin 3 3 2 sin x 1 2cos x 因为 f x 为偶函数 所以对 x R f x f x 恒成立 x 6 因此 sin sin x 6 x 6 即 sin xcos cos xsin sin xcos cos xsin 6 6 6 6 整理得 sin xcos 0 因为 0 且 x R 6 所以 cos 0 又 0 故 6 6 2 所以 f x 2sin 2cos x 由题意得 2 所以 2 故 f x 2cos2x 因 x 2 2 2 此 f 2cos 8 42 2 将 f x 的图象向右平移 个单位后 得到 f的图象 所以 g x f 2cos 6 x 6 x 6 2cos 当 2k 2x 2k k Z 即 k x k k Z 2 x 6 2x 3 3 6 2 3 时 g x 单调递减 因此 g x 的单调递减区间为 k Z k 6 k 2 3 题型四题型四 三角函数图象及性质 三角公式综合运用三角函数图象及性质 三角公式综合运用 例例 4 已知函数 f x 2sin2 cos2x 1 x R 4 x 3 1 求 f x 的最小正周期 2 若 h x f x t 的图象关于点对称 且 t 0 求 t 的值 6 0 3 当 x 时 不等式 f x m 0 0 在同一周期内 当 x 时 f x 12 取得最大值 3 当 x 时 f x 取得最小值 3 7 12 1 求函数 f x 的解析式 2 求函数 f x 的单调递减区间 3 若 x 时 函数 h x 2f x 1 m 有两个零点 求实数 m 的取值范 3 6 围 解 1 由题意 A 3 T 2 2 7 12 12 2 T 由 2 2k 得 2k k Z 12 2 3 又 f x 3sin 3 2x 3 2 由 2k 2x 2k 得 2k 2x 2k 即 2 3 3 2 6 7 6 k x k k Z 12 7 12 函数 f x 的单调递减区间为 k Z 12 k 7 12 k 3 由题意知 方程 sin 在上有两个根 2x 3 m 1 6 3 6 x 2x 3 6 3 3 2 3 m 1 3 7 m 1 6 3 2 1 3 1 2013 江西卷 设 f x sin3x cos3x 若对任意实数 x 都有 f x a 则实数 a 的 3 取值范围是 答案 a 2 解析 f x sin3x cos3x 2sin f x 2 所以 a 2 3 3x 6 2 2013 天津卷 函数 f x sin在区间上的最小值是 2x 4 0 2 答案 2 2 3 2013 全国卷 函数 y cos 2x 0 0 若 f x 在区 间上具有单调性 且 f f f 则 f x 的最小正周期为 6 2 2 2 3 6 答案 解析 由 f x 在区间上具有单调性 f f知 函数 f x 的对称中心为 6 2 2 6 3 0 函数 f x 的对称轴为直线 x 设函数 f x 的最小正周期为 T 所以 1 2 2 2 3 7 12 T 即 T 所以 解得 T 1 2 2 6 2 3 7 12 3 T 4 5 2014 福建卷 已知函数 f x cosx sinx cosx 1 2 1 若 0 且 sin 求 f 的值 2 2 2 2 求函数 f x 的最小正周期及单调递增区间 解 解法 1 1 因为 0 sin 所以 cos 2 2 2 2 2 所以 f 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 因为 f x sinxcosx cos2x sin2x sin2x cos2x sin 1 2 1 2 1 cos2x 2 1 2 1 2 1 2 2 2 所以 T 由 2k 2x 2k k Z 得 2x 4 2 2 2 4 2 k x k k Z 所以 f x 的单调递增区间为 k Z 3 8 8 k 3 8 k 8 解法 2 f x sinxcosx cos2x sin2x sin2x cos2x sin 1 2 1 2 1 cos2x 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2x 4 1 因为 0 0 函数 f x asinxcosx sinx cosx x 的最大值为 G A 0 2 1 设 t sinx cosx x 求 t 的取值范围 并把 f x 表示为 t 的函数 m t 0 2 2 求 G A 解 1 t sinx cosx sin 2 x 4 x x 0 2 4 4 3 4 sin 1 2 2 x 4 1 t 即 t 的取值范围为 1 3 分 22 另解 x t sinx cosx 由 2x 0 得 0 sin2x 1 0 2 1 sin2x 1 t 2 t sinx cosx sinxcosx 5 分 t2 1 2 m t a t at2 t a t 1 a 0 7 分 t2 1 2 1 2 1 22 2 由二次函数的图象与性质得 当 2 1 时 G A m a 10 分 1 a 1 2 222 1 22 当 即 0 2 2 1 2 0 a 2 2 1 1 若 x 则函数 y tan2xtan3x 的最大值为 4 2 答案 8 解析 令 tanx t 1 y y t 得 t 时 y 2t4 1 t2 4t3 t 2 t 2 1 t2 22 取最大值 8 2 已知函数 f x 2cos2x sin2x 求 1 f的值 3 2 f x 的最大值和最小值 解 1 f 2cos sin2 1 3 2 3 3 3 4 1 4 2 f x 2 2cos2x 1 1 cos2x 3cos2x 1 x R 因为 cosx 1 1 所以当 cosx 1 时 f x 取最大值 2 当 cosx 0 时 f x 取最小值 1 3 已知 A 为 ABC 的内角 求 y cos2A cos2的取值范围 2 3 A 解 y cos2A cos2 2 3 A 1 cos2A 2 1 cos2 2 3 A 2 1 cos2A 2 1 2 cos 4 3 cos2A sin4 3 sin2A 1 1 cos 1 2 1 2cos2A 3 2 sin2A 1 2 2A 3 A 为三角形内角 0 A 1 cos 1 2A 3 y cos2A cos2的取值范围是 2 3 A 1 2 3 2 4 设函数 f x cos2x 4tsin cos 4t3 t2 3t 4 x R 其中 t 1 将 f x 的最 x 2 x 2 小值记为 g t 1 求 g t 的表达式 2 讨论 g t 在区间 1 1 内的单调性并求极值 解 1 f x cos2x 4tsin cos 4t3 t2 3t 4 x 2 x 2 sin2x 2tsinx 4t3 t2 3t 3 sinx t 2