二次函数系数a、b、c与图像的关系----精选练习题

1 二次函数系数二次函数系数 a b c 与图像的关系与图像的关系 知识要点知识要点 二次函数 y ax2 bx c 系数符号的确定 1 a 由抛物线开口方向确定 开口方向向上 则 a 0 否则 a 0 2 b 由对称轴和 a 的符号确定 由对称轴公式对称轴公式 x 判断符号判断符号 3 c 由抛物线与 y 轴的交点确定 交点在交点在 y 轴正半轴 则轴正半轴 则 c 0 否则 c 0 4 b2 4ac 的符号由抛物线与 x 轴交点的个数确定 2 个交点 个交点 b2 4ac 0 1 个交点 个交点 b2 4ac 0 没有交点 没有交点 b2 4ac 0 5 当 x 1 时 可确定 a b c 的符号 当 x 1 时 可确定 a b c 的符号 6 由对称轴公式 x 可确定 2a b 的符号 一 选择题 共一 选择题 共 9 小题 小题 1 2014 威海 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 则下列说法 c 0 该抛物线的对称轴是直线 x 1 当 x 1 时 y 2a am2 bm a 0 m 1 其中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 2 2014 仙游县二模 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 给出以下结论 a b c 0 a b c 0 b 2a 0 abc 0 其中所有正确结论的序号是 A B C D 3 2014 南阳二模 二次函数 y ax2 bx c 的图 象 如图所示 那么关于此二次函数的下列四个结论 a 0 c 0 b2 4ac 0 0 中 正 确 的结论有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 4 2014 襄城区模拟 函数 y x2 bx c 与 y x 的 图象如图 有以下结论 b2 4c 0 c b 1 0 3b c 6 0 当 1 x 3 时 x2 b 1 x c 0 其中正确结论的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 5 2014 宜城市模拟 如图是二次函数 y ax2 bx c 图象的一部分 其对称 轴为 x 1 且过点 3 0 下列说法 abc 0 2a b 0 4a 2b c 0 若 5 y1 2 y2 是抛物线 上的两点 则 y1 y2 其中说法正确的是 A B C D 2 6 2014 莆田质检 如图 二次函数 y x2 2 m x m 3 的 图象交 y 轴于负半轴 对称轴在 y 轴的右侧 则 m 的取值范 围是 A m 2B m 3C m 3D 2 m 3 7 2014 玉林一模 如图是二次函数 y ax2 bx c 图 象的一部分 图象过点 A 3 0 对称轴为 x 1 给 出四个结论 b2 4ac 2a b 0 3a c 0 a b c 0 其中正确结论的个数是 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 8 2014 乐山市中区模拟 如图 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于点 A 1 0 顶点坐标为 1 n 与 y 轴的交点在 0 2 0 3 之间 包含端点 有下列结论 当 x 3 时 y 0 3a b 0 1 a n 4 其中正确的是 A B C D 9 2014 齐齐哈尔二模 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴 交于点 1 0 x1 0 且 1 x1 2 下列结论正确的个数为 b 0 c 0 a c 0 4a 2b c 0 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 10 2011 重庆 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 在平面直角坐标系中的位 置如图所示 则下列结论中 正确的是 A a 0 B b 0 C c 0 D a b c 0 11 2011 雅安 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如 图 其对称轴 x 1 给出下列结果 b2 4ac abc 0 2a b 0 a b c 0 a b c 0 则正确的结论是 A B C D 12 2011 孝感 如图 二次函数 y ax2 bx c 的 图象与 y 轴正半轴相交 其顶点坐标为 12 1 下列结论 ac 0 a b 0 4ac b2 4a a b c 0 其中正确结论的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 3 答案答案 一 选择题 共一 选择题 共 9 小题 小题 1 2014 威海 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 则下列说法 c 0 该抛物线的对称轴是直线 x 1 当 x 1 时 y 2a am2 bm a 0 m 1 其中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 分析 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理 进而对所得结论进行判断 解答 解 抛物线与 y 轴交于原点 c 0 故 正确 该抛物线的对称轴是 直线 x 1 故 正确 当 x 1 时 y a b c 对称轴是直线 x 1 b 2a 1 b 2a 又 c 0 y 3a 故 错误 x m 对应的函数值为 y am2 bm c x 1 对应的函数值为 y a b c 又 x 1 时函数取得最小值 a b c am2 bm c 即 a b am2 bm b 2a am2 bm a 0 m 1 故 正确 故选 C 点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系 二次函数 y ax2 bx c a 0 系数符号由抛物线开口方向 对称轴 抛物线与 y 轴的交点 抛物线与 x 轴交点的个数确定 2 2014 仙游县二模 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 给出以下结论 a b c 0 a b c 0 b 2a 0 abc 0 其中所 有正确结论的序号是 A B C D 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 专题 数形结合 分析 由抛物线的开口方向判断 a 的符号 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符 号 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理 进而对所得结 论进行判断 解答 解 当 x 1 时 y a b c 0 故 错误 4 当 x 1 时 图象与 x 轴交点负半轴明显大于 1 y a b c 0 故 正确 由抛物线的开口向下知 a 0 对称轴为 0 x 1 2a b 0 故 正确 对称轴为 x 0 a 0 a b 异号 即 b 0 由图知抛物线与 y 轴交于正半轴 c 0 abc 0 故 错误 正确结论的序号为 故选 B 点评 二次函数 y ax2 bx c 系数符号的确定 1 a 由抛物线开口方向确定 开口方向向上 则 a 0 否则 a 0 2 b 由对称轴和 a 的符号确定 由对称轴公式 x 判断符号 3 c 由抛物线与 y 轴的交点确定 交点在 y 轴正半轴 则 c 0 否 则 c 0 4 当 x 1 时 可以确定 y a b c 的值 当 x 1 时 可以确定 y a b c 的值 3 2014 南阳二模 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 那么关于此二 次函数的下列四个结论 a 0 c 0 b2 4ac 0 0 中 正确的结论有 A1 个B 2 个C 3 个D4 个 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 专题 数形结合 分析 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理 进而 对所得结论进行判断 解答 解 图象开口向下 a 0 故本选项正确 该二次函数的图象与 y 轴交于正半轴 c 0 故本选项正确 二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴有两个不相同交点 根的判别 式 b2 4ac 0 故本选项正确 对称轴 x 0 0 故本选项正确 综上所述 正确的结论有 4 个 故选 D 点评 本题主要考查了二次函数的图象和性质 解答本题关键是掌握二次函数 y ax2 bx c 系数符号的确定 做题时要注意数形结合思想的运用 同学 们加强训练即可掌握 属于基础题 4 2014 襄城区模拟 函数 y x2 bx c 与 y x 的图象如图 有以下结论 b2 4c 0 c b 1 0 3b c 6 0 当 1 x 3 时 x2 b 1 x c 0 其中正确结论的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 5 分析 由函数 y x2 bx c 与 x 轴无交点 可得 b2 4c 0 当 x 1 时 y 1 b c 0 当 x 3 时 y 9 3b c 3 当 1 x 3 时 二次函数值小于 一次函数值 可得 x2 bx c x 继而可求得答案 解答 解 函数 y x2 bx c 与 x 轴无交点 b2 4ac 0 故 正确 当 x 1 时 y 1 b c 0 故 错误 当 x 3 时 y 9 3b c 3 3b c 6 0 正确 当 1 x 3 时 二次函数值小于一次函数值 x2 bx c x x2 b 1 x c 0 故 正确 故选 C 点评 主要考查图象与二次函数系数之间的关系 此题难度适中 注意掌握数 形结合思想的应用 5 2014 宜城市模拟 如图是二次函数 y ax2 bx c 图象的一部分 其对称 轴为 x 1 且过点 3 0 下列说法 abc 0 2a b 0 4a 2b c 0 若 5 y1 2 y2 是抛物线 上的两点 则 y1 y2 其中说法正确的是 A B C D 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 分析 根据抛物线开口方向得到 a 0 根据抛物线的对称轴得 b 2a 0 则 2a b 0 则可对 进行判断 根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得到 c 0 则 abc 0 于是可对 进行判断 由于 x 2 时 y 0 则得到 4a 2b c 0 则可对 进行判断 通过点 5 y1 和点 2 y2 离对 称轴的远近对 进行判断 解答 解 抛物线开口向上 a 0 抛物线对称轴为直线 x 1 b 2a 0 则 2a b 0 所以 正确 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方 c 0 abc 0 所以 正确 x 2 时 y 0 4a 2b c 0 所以 错误 点 5 y1 离对称轴要比点 2 y2 离对称轴要远 y1 y2 所以 正确 故选 D 点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系 二次函数 y ax2 bx c a 0 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小 当 a 0 时 抛物线向上 开口 当 a 0 时 抛物线向下开口 一次项系数 b 和二次项系数 a 共 同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴左 当 a 与 b 异号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴右 简称 左同右异 抛 物线与 y 轴交于 0 c 抛物线与 x 轴交点个数 b2 4ac 0 时 抛 物线与 x 轴有 2 个交点 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 1 个交点 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴没有交点 6 2014 莆田质检 如图 二次函数 y x2 2 m x m 3 的图象交 y 轴于负 半轴 对称轴在 y 轴的右侧 则 m 的取值范围是 6 A m 2B m 3C m 3D 2 m 3 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 分析 由于二次函数的对称轴在 y 轴右侧 根据对称轴的公式即可得到关于 m 的不等式 由图象交 y 轴于负半轴也可得到关于 m 的不等式 再求两个 不等式的公共部分即可得解 解答 解 二次函数 y x2 2 m x m 3 的图象交 y 轴于负半轴 m 3 0 解得 m 3 对称轴在 y 轴的右侧 x 解得 m 2 2 m 3 故选 D 点评 此题主要考查了二次函数的性质 解题的关键是利用对称轴的公式以及 图象与 y 轴的交点解决问题 7 2014 玉林一模 如图是二次函数 y ax2 bx c 图象的一部分 图象过点 A 3 0 对称轴为 x 1 给出四个结论 b2 4ac 2a b 0 3a c 0 a b c 0 其中正确结论的个数是 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 分析 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理 进而 对所得结论进行判断 解答 解 抛物线的开口方向向下 a 0 抛物线与 x 轴有两个交点 b2 4ac 0 即 b2 4ac 正确 由图象可知 对称轴 x 1 2a b 2a b 4a a 0 2a b 0 错误 图象过点 A 3 0 9a 3b c 0 2a b 所以 9a 6a c 0 c 3a 正确 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上 c 0 由图象可知 当 x 1 时 y 0 a b c 0 正确 故选 C 点评 考查了二次函数图象与系数的关系 解答本题关键是掌握二次函数 y ax2 bx c a 0 系数符号由抛物线开口方向 对称轴 抛物线与 y 轴的交点 抛物线与 x 轴交点的个数确定 7 8 2014 乐山市中区模拟 如图 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于点 A 1 0 顶点坐标为 1 n 与 y 轴的交点在 0 2 0 3 之间 包含端点 有下列结论 当 x 3 时 y 0 3a b 0 1 a n 4 其中正确的是 A B C D 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 分析 由抛物线的对称轴为直线 x 1 一个交点 A 1 0 得到另一个交 点坐标 利用图象即可对于选项 作出判断 根据抛物线开口方向判定 a 的符号 由对称轴方程求得 b 与 a 的关系 是 b 2a 将其代入 3a b 并判定其符号 根据两根之积 3 得到 a 然后根据 c 的取值范围利用不等 式的性质来求 a 的取值范围 把顶点坐标代入函数解析式得到 n a b c c 利用 c 的取值范围可 以求得 n 的取值范围 解答 解 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于点 A 1 0 对称轴直线是 x 1 该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是 3 0 根据图示知 当 x 3 时 y 0 故 正确 根据图示知 抛物线开口方向向下 则 a 0 对称轴 x 1 b 2a 3a b 3a 2a a 0 即 3a b 0 故 错误 抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别是 1 0 3 0 1 3 3 3 则 a 抛物线与 y 轴的交点在 0 2 0 3 之间 包含端点 2 c 3 1 即 1 a 故 正确 根据题意知 a 1 b 2a