湖南省长沙市2019届高三高考模拟数学(理)试题

1 科目 数学 理科 科目 数学 理科 试题卷 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号写在答题卡和该试题卷 的封面上 并认真核对条形码的姓名 准考证号和科目 2 选择题和非选择题均须在答题卡上作答 在本试题卷和草稿纸上作 答无效 考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题 3 本试题卷共 5 页 如缺页 考生须及时报告监考老师 否则后果自 负 4 考试结束后 将本试题卷和答题一并交回 姓 名 准考证号 2 正视 图 侧视 图 俯视 图 绝密 启用前 2019 年长沙市高考模拟试卷 一 年长沙市高考模拟试卷 一 数数 学 理科 学 理科 长沙市教科院组织名优教师联合命制 满分 150 分 时量 120 分钟 说明 本卷为试题卷 要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 已知是复数 i 是虚数单位 在复平面中对应的点为 P 若 P 对应的复数是模等于 2z 1i z 的负实数 那么 z A B C D i 1i 1i 1i 2 已知不等式的解集为 是二项式的展开式的常数项 那么 2 0 x axb 1 2 m 6 2 b ax x 77 2 ma ab A B C D 15 5 a5 5 3 以双曲线的离心率为首项 以函数的零点为公比的等比数列的前项 1 54 22 yx 24 x xfn 的和 n S A B C D 2 3 123 n n 2 3 3 3 2 3 2 1 n 3 2 3 4 n 4 已知几何体 M 的正视图是一个面积为 2的半圆 俯视图是正三角形 那么这个几何体的表面 积和体积为 A 6和B 6 4和 3 34 3 3 38 C 6 4和D 4 和 3 3 34 3 3 34 5 执行下列的程序框图 输出的 s A 9900B 10100C 5050D 4950 6 与抛物线相切倾斜角为的直线 L 与 x 轴和 y 轴的交点分别是 A 和 B 那么过xy8 2 0 135 高考湘军高考湘军 输出 s 开始 i i 1i 1a 100 i MOD 100 s s aS 0 i 200 结束 是 否 3 A B 两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为xy8 2 A 4B 2C 2D 22 7 已知直线 与平面平行 P 是直线 上的一点 平面内的动点 B 满足 PB 与直线 成 l l l 0 60 那么 B 点轨迹是 A 双曲线B 椭圆C 抛物线D 两直线 8 使得函数的值域为的实数对 bxaxxxf 5 7 5 4 5 1 2 baba ba 有 对 A 1B 2C 3D 无数 二 填空题 每大题共8 小题 考生作答7 小题 每小题5 分 共 35 分 把答案填在题中的横线上 选 做题 从13 题 14 题和 15 题中选两题作答 全做则按前两题记分 9 表示函数的导数 在区间上 随机取值 的概率为 xG3cos2 xy 3 a 1 aG 10 已知向量 设集合 当 yxa 1 2 xb baxP 5Qx b 时 的取值范围是 xPQ y 11 计算 2 2 1 1 xdx x 12 从正方体的各表面对角线中随机取两条 这两条表面对角线成的角的度数的数学期望为 13 极坐标和参数方程 4 4 极坐标系中 质点 P 自极点出发作直线运动到达圆 的圆心位置后顺时针方向旋转 60o后直线方向到达圆周上 此0cos4 0cos4 时 P 点的极坐标为 14 几何证明 4 1 已知 O1和 O2交于点 C 和 D O1上的点 P 处的切线交 O2于 A B 点 交直 线 CD 于点 E M 是 O2上的一点 若 PE 2 EA 1 AMB 30o 那么 O2的半径为 15 不等式4 5 已知 那么 的最小值332 0 0 0 zyxzyx 222 2 1 3 6 1 2 4 1 x z z y y x 为 A B C D P M E O1 O2 4 16 方程 1 1 2 3 4 2019 的曲线中 所有圆面积的和等于 离 a x2 b y2 ba 心率最小的椭圆方程为 三 解答题 前三题各12 分 后三道题各13 分 满分75 分 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 17 函数在一个周期内的图像如 03sin3 2 cos6 2 x x xf 图所示 A 为图像的最高点 B C 为图像与轴的交点 且为正三xABC 角形 1 若 求函数的值域 1 0 x xf 2 若 且 求的值 5 38 0 xf 3 2 3 10 0 x 1 0 xf 18 如图一 ABC 是正三角形 ABD 是等腰直角三角形 AB BD 2 将 ABD 沿边 AB 折起 使得 ABD 与 ABC 成 30o的二面角 如图二 在二面角中 CABD CABD 1 求 D C 之间的距离 2 求 CD 与面 ABC 所成的角的大小 3 求证 对于 AD 上任意点 H CH 不与面 ABD 垂直 19 某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快 欲将这种食品价格控制在适当范围内 决定对这种 食品生产厂家提供政府补贴 设这种食品的市场价格为元 千克 政府补贴为 元 千克 根据xt 市场调查 当时 这种食品市场日供应量万千克与市场日需量万千克近似地满1624x pq 足关系 当市场价格称为市 2414 16 0pxtxt 20 248ln 1624qx x qp 场平衡价格 B C D A B D C 图一图二 A 5 1 将政府补贴表示为市场平衡价格的函数 并求出函数的值域 2 为使市场平衡价格不高于每千克 20 元 政府补贴至少为每千克多少元 20 设命题p 函数 1 5 x bxa xf 在上是增函数 命题q 方程有两个不 002 2 baxx 相等的负实数根 求使得pq 是真命题的实数对为坐标的点的轨迹图形及其面积 ba 21 已知 点 B 是轴上的动点 过 B 作 AB 的垂线 交轴于点 Q 若 0 4 1 Aylx ABAQAP2 0 4M 1 求点 P 的轨迹方程 2 是否存在定直线 以 PM 为直径的圆与直线的相交弦长为定值 若存在 求出定ax ax 直线方程 若不存在 请说明理由 x O y A B Q 6 22 1 已知 求证 0 1cbacba1logloglog 333 ccbbaa 2 已知 0 i 1 2 3 3n 求证 1 3 21 n aaa i a 1 a 3 log 1 a 2 a 3 log 2 a 3 a 3 log 3 a n a3 3 logna n 3 2019 年长沙市高考数学模拟试卷年长沙市高考数学模拟试卷 一 一 数学 理科 参考答案及评分标准数学 理科 参考答案及评分标准 一 选择题 一 选择题 本大题共本大题共 8 小题小题 每小题每小题 5 分 共分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 题号12345678 答案ADBCBCAB 二 填空题 二 填空题 每大题共每大题共 8 小题 考生作答小题 考生作答 7 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 35 分 把答案填在题中的横线分 把答案填在题中的横线 上上 9 10 8 1 11 12 8 77 ln2 3 0 60 13 2 14 3 15 3 6 5 4 27 16 1 和 1 2027091 2012 2 x 2013 2 y 2013 2 x 2012 2 y 三 解答题 前三题各三 解答题 前三题各 12 分 后三道题各分 后三道题各 13 分 满分分 满分 75 分 解答应写出文字说明 证明过程分 解答应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 或演算步骤 17 解 1 由已知得 3 sin32sin3cos3 xxxxf 7 又为正三角形 且高为 则 BC 4 所以函数的最小正周期为 8 即 ABC 32 xf 4 8 2 34 sin32 xxf 因为 所以 1 0 x 323 12 7 343 xfx 函数的值域为 6 分 xf 32 3 2 因为 有 5 38 34 sin32 0 0 x xf 5 4 34 sin 0 x 即 5 38 0 xf 由 x0 2 2 34 x 3 2 3 10 0 得 所以 5 3 5 4 1 34 cos 20 x 即 故 1 0 xf 344 sin32 0 x 4 34 sin 32 0 x 2 2 5 3 2 2 5 4 32 4 sin 34 cos 4 cos 34 sin32 00 xx 5 67 12 分 18 解 依题意 ABD 90o 建立如图的坐标系使得 ABC 在 yoz 平面上 ABD 与 ABC 成 30o的二面角 DBY 30o 又 AB BD 2 A 0 0 2 B 0 0 0 C 0 1 D 1 0 33 1 CD 5 分 222 10 33 01 2 2 x 轴与面 ABC 垂直 故 1 0 0 是面 ABC 的一个法向量 设 CD 与面 ABC 成的角为 而 1 0 1 CD sin 222222 1 01001 1 0 1 0 0 1 2 2 0 8 分 2 4 3 设 t t 1 2 t t 2 t AHAD33 0 1 t t 2 t t t 2 t 1 CHCAAH3333 A B D C x y z 8 若 则 t t 2 t 1 0 0 2 0 得 t 10 分CH BA33 2 1 此时 0 CH 2 1 2 3 而 1 0 10 和不垂直 BD3CHBD 2 1 2 3 CHBD 即 CH 不可能同时垂直 BD 和 BA 即 CH 不与面 ABD 垂直 12 分 19 解 1 由 P Q 得 2 x 4t 14 24 8ln 16 x 24 t 0 x 20 t x ln 16 x 24 3 分 2 13 4 1 x 20 t 0 1 5 x bxa 2 1 5 x ba 对于 x 0 成立a b 5 0 q 真方程 x2 ax b 2 0 有两个不相等的负实数根 4分 084 02 0 2 ba b a pq 是真命题p 真且 q 真 084 05 02 0 2 ba ba b a 实数对 a b 为坐标的点的轨迹图形如图 阴影部分 不包括边界 8分 解 得 a1 2 a2 6 解得 a 3 084 05 2 ba ba 2 05 b ba a b 为坐标的点的轨迹图形的面积 a b o P A B 9 S 11分 2 3 25 daa 0 2 2 22 4 da a 2 3 3 daa 0 2 2 4 da a a2 3a a3 13分 2 1 2 3 12 1 0 2 6 7 21 解 1 设 B 0 t 设 Q m 0 t2 m m0 m 4t2 4 1 Q 4t2 0 设 P x y 则 x y AP 4 1 4t2 0 2 2 t 2 AQ 4 1 AB 2 1 APAQAB x y 4t2 0 2 t 4 1 4 1 2 1 x 4t2 y 2 t y2 x 此即点 P 的轨迹方程 6分 2 由 1 点 P 的轨迹方程是 y2 x 设 P y2 y M 4 0 则以 PM 为直径的圆的圆心即 PM 的中点 T 以 PM 为直径的圆与直线 x a 的相交弦长 2 4 2 y 2 y L 2 2 2 22 2 2 4 0 2 4 2 4 a yyy 2 2 10分 4 4 2 2 y aya 4 4 15 2 aaya 若 a 为常数 则对于任意实数 y L 为定值的条件是 a 0 即 a 时 L 4 15 4 15 15 存在定直线x 以PM 为直径的圆与直线x 的相交弦长为定值 13分 4 15 4 15 15 22 解 1 证明 a b c 1 a b c 0 alog3a blog3b clog3c alog3a blog3b 1 a b log3 1 a b f a 那么 f a log3a log3 1 a b 当 a 0 时 f a 0 2 1b 2 1 b f a 在 0 上递减 在 1 上递增 2 1b 2 1 b f a f 1 b log3 blog3b 记 g b 1 b log3 blog3b 3 分 2 1 b 2 1 b 2 1 b 得 g b log3b log3 当 b 0 时 g b 0 2 1 b 3 1 3 1 g b 在 0 递减 在 1 上递增 g b g 1 3 1 3 1 3 1 alog3a blog3b clog3c 1 当 a b c 时等号成立 5 分 3 1 x O y A B Q 10 2 证明 n 1 时 1 0 i 1 2 3 由 1 知 1 a 2 a 3 a i a 1 成立 即 n 1 时 结论成立 1 a 3 log 1 a 2 a 3 log 2 a 3 a 3 log 3 a 设 n k 时结论成立 即 1 0 i 1 2 3 3k 时 1 a 2 a k a3 i a k 1 a 3 log 1 a 2 a 3 log 2 a 3 a 3 log 3 a k a3 3 log k a3 那么 n k 1 时 若 1 0 i 1 2 3 3k 1 时 1 a 2 a k a3 13 k a 1 3 k a i a 令 t 则 1 由归纳假设 13 k a 1 3 k a t a 1 1 t a 1 2 t a k 1 3 k 8分 t a 1 1 3 log t a 1 1 t a 1 2 3 log t a 1 2 t a k 1 3 3 log t a k 1 3 1 t 1 t k 1 t 1 a 3 log 1 a 2 a 3 log 2 a 3 a 3 log 3 a k a3 3 log k a3 3 log k 1 t 1 t 1 t 1 1 a 3 log 1 a 2 a 3 log 2 a 3 a 3 log 3 a k a3 3 log k a3 3 log 设 s 则 t s 1 132 k a 1 3 k a 13 k a k a 32 st a k 13 st a k 23 st a k 32 由归纳假设 k st a k 13 3 log st a k 1