中考数学-折叠问题

中考数学专题复习 1 20162016 年中考专题 年中考专题 折叠问题折叠问题 折叠型问题是近年中考的热点问题 通常是把某个图形按照给定的条件折叠 通过折叠前后图形变 换的相互关系来命题 折叠型问题立意新颖 变幻巧妙 对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解 决问题的能力非常有效 图形折叠问题中题型的变化比较多 主要有以下几点 1 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状 大小不变 是全等形 2 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称 3 将长方形纸片折叠 三角形是否为等腰三角形 4 解决折叠问题时 要抓住图形之间最本质的位置关系 从而进一步发现其中的数量关系 5 充分挖掘图形的几何性质 将其中的基本的数量关系 用方程的形式表达出来 并迅速求解 这 是解题时常用的方法之一 折叠问题数学思想 1 思考问题的逆向 反方向 2 从一般问题的特例人手 寻找问题解决的思路 3 把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想 4 归纳与分类的思想 把折纸中发现的诸多关系归纳出来 并进行分类 5 从变化中寻找不变性的思想 用 操作 观察 猜想 分析 的手段去感悟几何图形的性 质是学习几何的方法 折叠问题主要有以下题型 题型 1 动手问题 此类题目考查学生动手操作能力 它包括裁剪 折叠 拼图 它既考查学生的动手能力 又考查学 生的想象能力 往往与面积 对称性质联系在一起 题型 2 证明问题 动手操作的证明问题 既体现此类题型的动手能力 又能利用几何图形的性质进行全等 相似等证 明 题型 3 探索性问题 此类题目常涉及到画图 测量 猜想证明 归纳等问题 它与初中代数 几何均有联系 此类题目 对于考查学生注重知识形成的过程 领会研究问题的方法有一定的作用 也符合新课改的教育理论 典型例题典型例题 一 折叠后求度数一 折叠后求度数 例例 1 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠 BC BD 为折痕 则 CBD 的度数为 A 600 B 750 C 900 D 950 练习练习 1 如图 把一个长方形纸片沿 EF 折叠后 点 D C 分别落在 D C 的位置 若 EFB 65 则 AED 等 于 中考数学专题复习 2 A 50 B 55 C 60 D 65 2 把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后 ED 与 BC 的交点为 G D C 分别在 M N 的位置上 若 EFG 55 则 1 2 3 用一条宽相等的足够长的纸条 打一个结 如图 1 所示 然后轻轻拉紧 压平就可以得到如图 2 所示的正五边形 ABCDE 其中 BAC 度 二 折叠后求面积二 折叠后求面积 例例 2 2 如图 有一矩形纸片 ABCD AB 10 AD 6 将纸片折叠 使 AD 边落在 AB 边上 折痕为 AE 再将 AED 以 DE 为折痕向右折叠 AE 与 BC 交于点 F 则 CEF 的面积为 A 4B 6C 8D 10 练习练习 1 如图 正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4 点 E F 分别是 AB BC 的中点 若沿左图中的虚线剪开 拼成 如下右图的一座 小别墅 则图中阴影部分的面积是 A 2 B 4 C 8 D 10 2 如图 a ABCD 是一矩形纸片 AB 6cm AD 8cm E 是 AD 上一点 且 AE 6cm 操作 1 将 AB 向 AE 折过去 使 AB 与 AE 重合 得折痕 AF 如图 b 2 将 AFB 以 BF 为折痕向右折过去 得图 c 则 GFC 的面积是 A 1cm2 B 2 cm2 C 3 cm2 D 4 cm2 三 折叠后求长度三 折叠后求长度 例例 3 3 如图 已知边长为 5 的等边三角形 ABC 纸片 点 E 在 AC 边上 点 F 在 AB 边上 沿着 EF 折叠 使 点 A 落在 BC 边上的点 D 的位置 且EDBC 则 CE 的长是 A 10 315 B 105 3 C 5 35 D 20 10 3 练习练习 1 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 BC 8 将矩形 ABCD 沿 CE 折叠后 使点 D 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处 求 EF 的长 2 求梯形 ABCE 的面积 图 1 CD E B A 图 2 EAA A B BB CCC G DDD FFF 图 a 图 b图 c A B C D E 中考数学专题复习 3 2 如图 折叠长方形 四个角都是直角 对边相等 的一边 AD 点 D 落在 BC 边的点 F 处 已知 AB 8cm BC 10cm 求 EC 的长 F FC C D D B B A A E E 3 如图 将边长为 8 cm 的正方形纸片 ABCD 折叠 使点 D 落在 BC 中点 E 处 点 A 落在点 F 处 折痕 为 MN 求线段 CN 的长 四 折叠后得图形四 折叠后得图形 例例 4 将一张矩形纸对折再对折 如图 然后沿着图中的虚线剪下 得到 两部分 将 展开后得 到的平面图形是 A 矩形 B 三角形 C 梯形 D 菱形 练习练习 1 如图 把一个正方形三次对折后沿虚线剪下 得到的图形是 2 如图 把矩形 ABCD 对折 折痕为 MN 图甲 再把 B 点叠在折痕 MN 上的 B 处 得到 Rt AB E 图乙 再延长 EB 交 AD 于 F 所得到的 AEF 是 A 等腰三角形B 等边三角形 C 等腰直角三角形D 直角三角形 中考数学专题复习 4 3 如图 已知 BC 为等腰三角形纸片 ABC 的底边 AD BC AD BC 将此三角形纸片沿 AD 剪开 得到两 个三角形 若把这两个三角形拼成一个平面四边形 则能拼出互不全等的四边形的个数是 A 2 B 3 C 4 D 5 五 折叠后得结论五 折叠后得结论 例例 5 5 把 ABC 纸片沿 DE 折叠 当点 A 落在四边形 BCDE 内部时 则 A 与 1 2 之间有一种数量关系 始终保持不变 请试着找一找这个规律 你发现的规律是 A A 1 2 B 2 A 1 2 C 3 A 2 1 2D 3 A 2 1 2 练习练习 1 从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小正方形 如图 1 然后将剩余部分剪拼成一个矩形 如图 2 上述操作所能验证的等式是 A a2 b2 a b a b a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 a2 ab a a b 2 如图 一张矩形报纸 ABCD 的长 AB a cm 宽 BC b cm E F 分别是 AB CD 的中点 将这张报纸沿 着直线 EF 对折后 矩形 AEFD 的长与宽之比等于矩形 ABCD 的长与宽之比 则 a b 等于 A 1 2 B 2 1 C 1 3 D 3 1 六 折叠和剪切的综合应用六 折叠和剪切的综合应用 例例 6 6 在一张长 12cm 宽 5cm 的矩形纸片内 要折出一个菱形 李颖同学按照取两组对边中点的方法折出 菱 形EFGH 见方案一 张丰同学沿矩形的对角线 AC折出 CAE DAC ACF ACB的方法得到菱形 AECF 见方 案二 请你通过计算 比较李颖同学和张丰同学的折法中 哪种菱形面积较大 练习练习 1 已知如图 矩形 ABCD 中 图 1 AD AB O 为对角线的交点 过 O 作 一直线分别交于 BC AD 于 N M 1 求证 梯形 ABNM 的面积等于梯形 CDMN 的面积 2 如图 2 当 MN 满足什么条件时 将矩形 ABCD 以 MN 为折痕 翻折后 能使 C 点恰好与 A 点重合 只写出满足的条件 不要求证明 3 在 2 的条件下 若翻折后重叠部分的面积是总覆盖部分面积的一半 求 BN NC 的值 2 如图 矩形 AOBC 以 O 为坐标原点 OB OA 分别在 x 轴 y 轴上 点 A 坐标为 0 3 OAB 60 以 AB 为轴对折后 使 C 点落在点 D 处 求 D 点坐标 AD E H F BC G 方案一 AD E F BC 方案二 1 2 AC B D Ox y 中考数学专题复习 5 3 图 是由五个边长都是 1 的正方形纸片拼接而成的 过点 A1的直线分别与 BC1 BE 交于点 M N 且图 被直线 MN 分成面积相等的上 下两部分 求 NB 1 MB 1 的值 求 MB NB 的长 图 沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒 图 后 求点 M N 间的距离 4 将一矩形纸片 OABC 放在平面直角坐标系中 O 0 0 A 6 0 C 0 3 动点 Q 从点 O 出发以每秒 1 个 单位长的速度沿 OC 向终点 C 运动 运动 2 3 秒时 动点 P 从点 A 出发以相等的速度沿 AO 向终点 O 运 动 当其中一点到达终点时 另一点也停止运动 设点 P 的运动时间为 t 秒 1 用含t的代数式表示 OP OQ 2 当1t 时 如图 1 将 OPQ 沿 PQ 翻折 点 O 恰好落在 CB 边上的点 D 处 求点 D 的坐标 3 连结 AC 将 OPQ 沿 PQ 翻折 得到 EPQ 如图 2 问 PQ 与 AC 能否平行 PE 与 AC 能否 垂直 若能 求出相应的 t 值 若不能 说明理由 巩固练习巩固练习 1 如图所示 有一块直角三角形纸片 90C 4cmAC 3cmBC 将斜边AB翻折 使点 B落在直角边AC的延长线上的点E处 折痕为AD 则CE的长为 图 1 O P A x B D C Q y 图 2 OPA x BC Q y E 中考数学专题复习 6 F E D A BC B E A N D C M 2 如图 一圆柱高 8cm 底面半径 2cm 一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食 要爬行的最短路程 取 3 是 3 矩形纸片 ABCD 中 AD 4cm AB 10cm 按如图 18 1 方式折叠 使点 B 与点 D 重合 折痕为 EF 则 DE cm 1 题 2 题 3 题 5 题 4 在RtABC 中 903BACABM 为边BC上的点 联结AM 如果将ABM 沿直线 AM翻折后 点B恰好落在边AC的中点处 那么点M到AC的距离是 5 如图 在一块砖宽 AN 5cm 长 ND 10cm CD 上的点 B 距地面 BD 8cm 地面上 A 处的一只蚂 蚁到 B 处吃食 需要爬行的最短路径是 6 如图 折叠矩形纸片 ABCD 先折出折痕 对角线 BD 再折叠 使 AD 落在对角线 BD 上 得折痕 DG 若 AB 2 BC 1 求 AG 7 如图 把矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠 点 B 落在点 E 处 EC 与 AD 相交于点 F 1 求证 FAC 是等腰三角形 2 若 AB 4 BC 6 求 FAC 的周长和面积 8 如图 将矩形ABCD沿直线AE折叠 顶点D恰好落在BC边上F点处 已知cmCE6 cmAB16 求BF的长 B C A C E D F B D C A E G D AB C 中考数学专题复习 7 F E D CB A 9 矩形纸片 ABCD 的边长 AB 4 AD 2 将矩形纸片沿 EF 折叠 使点 A 与点 C 重合 折叠后在其一面 着色 如图 求着色部分的面积 10 如图 在边长为 2 的菱形 ABCD 中 B 450 AE 为 BC 边上的高 将 ABE 沿 AE 所在直线翻折 得 AB1E 求 AB1E 与四边形 AECD 重叠部分的面积 11 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 CB 8 将矩形沿对角线 BD 折叠 点 C 落在 C1处 再将所得图形 对折 使点 D 与点 A 重合 设折痕为 MN 求折痕 MN 的长 12 如图 一副三角板拼在一起 O 为 AD 的中点 AB a 将 ABO 沿 BO 对折于 A BO M 为 BC 上 一动点 则 A M 的最小值为 13 已知矩形纸片ABCD 1 2 ADAB 将纸片折叠 使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合 A B CD E G F F 45 60 A B M A O D C A B C D E F G A B CD EF G 中考数学专题复习 8 1 如果折痕 FG 分别与 AD AB 交于点 F G 如图 1 3 2 AF求 DE 的长 2 如果折痕 FG 分别与 CD AB 交于点 F G 如图 2 AED 的外接圆与直线 BC 相切 求折 痕 FG 的长 14 如图 1 在平面直角坐标系中 O 是坐标原点 ABCD 的顶点 A 的坐标为 2 0 点 D 的坐标 为 0 32 点 B 在 x 轴的正半轴上 点 E 为线段 AD 的中点 过点 E 的直线 l 与 x 轴交于点 F 与射 线 DC 交于点 G 1 求 DCB 的度数 2 当点 F 的坐标为 4 0 时 求点 G 的坐标 3 连结 OE 以 OE 所在直线为对称轴 OEF 经轴对称变换后得到 OEF 记直线 EF 与射线 DC 的交点为 H 如图 2 当点 G 在点 H 的左侧时 求证 DEG DHE 若 EHG 的面积为33 请直接写出点 F 的坐标 15 如图 在一面积为 1 的正方形纸片 ABCD 中 M N 分别是 AD BC 边的中点 将 C 点折叠至 MN 上 落 在 P 点的位置 折痕为 BQ 连结 PQ 1 则 MP 2 则 PQ B C A D M P N QB1 A B C D M 图 2 D BOA G F C x l E y H F 图 1 D BOA G F C x l E y 备用图 D BOA C x E y 中考数学专题复习 9 16 如图 一张长方形的纸片 ABCD 其长 AD 为 a 宽为 b a b 在 BC 边上选取一点 M 将 ABM 沿 AM 翻折 后 B 至 B1的位置 若 B1为长方形纸片 ABCD 的对称中心 则 a b 的值是 17 如图 在平行四边形 ABCD 中 点 E 在边 AD 上 以 BE 为折痕 将 ABE 向上翻折 点 A 正好落在 CD 上的点 F 若 FDE 的周长为 8 FCB 的周长为 22 则 FC 的长为 18 正方形纸片 ABCD E 为 AD 的中点 将正方形纸片折起 使 C 点与 E 点重合 折痕为 HF 若正方形的 边长为 8 那么 FC 折痕 HF 19 如图 已知 ABCD 是一矩形纸片 有是 AB 上一点 且 BE EA 5 3 EC 153 把 BCE 沿折痕 EC 向上翻折 若点 B 恰好落在 AD 上 设这个点为 F 1 AB 2 BC 3 若 O 内切于以 F E B C 为顶点的四边形则 O 的面积为 20 如图 矩形ABCD沿DF折叠后 点C落在AB边上的点E处 DE DF