中线与中位线(培优)

直角三角形斜边上的中线的应用直角三角形斜边上的中线的应用 知识储备 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识储备 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 根据这个性质可知 直角三角形被分割成两个顶角互补 底角互余的等腰三角形 灵活运用此性质在解 答一些与中点或中线有关的问题时 常能收到事半功倍之效 例 1 如图 1 已知 ABC 中 ACB 90 OA OC 求证 OB OC O C A B 基本结论 基本结论 若若 OA OB 则 则 OA OB OC 若若 OA OC 则 则 OB OC 若若 OB OC 则 则 OA OC 例 2 1 如图 1 已知 ABC 和 ABD 中 ACB ADB 90 点 O 是 AB 的中点 求证 OC OD 2 在上述条件下 如图 2 1 中结论还成立吗 为什么 O C A B D O C A B D 基本结论 若基本结论 若 OA OB 则 则 OA OB OC OD 例 3 如图 DBC BCE 90 M 为 DE 的中点 求证 MB MC C M D B E 例 4 如图 在 ABC 中 AB AC ABC 90 点 E F 分别在 AB AC 上 且 AE EF 点 O M 分别 为 AF CE 的中点 求证 1 OM CE 2 OB OM 1 2 2 O F M A BC E 例 5 如图 ABC 中 AB AC ABD CBD DE BD DE 交 BC 于 E 求证 CD BE 1 2 E D C A B 例 6 如图 在 ABC 中 BD AC 于 D CE AB 于 E 点 M N 分别是 BC DE 的中点 1 求证 MN DE 2 连 ME MD 若 A 60 求的值 MN DE N D E M A BC 例 7 BCD 和 BCE 中 BDC BEC 90 O 为 BC 的中点 BD CE 交于 A 1 如图 1 若 BAC 120 求证 DE OE 2 如图 2 若 BAC 135 求证 DE OE 2 3 若 BAC 则 EOD 的度数为 用 表示 D E O A B C O D E A CB 图 1 图 2 图 1图 2 构造三角形中位线构造三角形中位线 知识储备 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边 并且等于第三边的一半知识储备 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边 并且等于第三边的一半 这个定理的特点是 同一题设下 有两个结论 一个结论表明位置关系 另一个结论表明数量关系 应用这一定理时 不一定同时用到两个结论 有时用到平行关系 有时用到倍分关系 常用构造三角形中 位线的方法处理中点问题 题型一 利用角平分线和垂直构造中位线 例 1 如图 在 ABC 中 AB BC ABC 90 F 为 BC 上一点 M 为 AF 的中点 BE 平分 ABC 且 EF BE 求证 CF 2ME E M A B C F 题型二 倍长构造三角形中位线 例 2 如图 在 ABC 中 ABC 90 BA BC BEF 为等腰直角三角形 BEF 90 M 为 AF 的中 点 求证 ME CF 1 2 E M AB C F 题型三 取中点构造三角形中位线 例 3 如图 在 ABC 中 C 90 CA CB E F 分别为 CA CB 上的一点 CE CF M N 分别为 AF BE 的中点 求证 AE MN 2 N E M F B C A 题型四 连接两点构造三角形中位线 例 4 如图 在 ABC 中 B 2 A CD AB 于 D 点 E F 分别为 AB BC 的中点 求证 DE DF ED F C B A 例 5 已知 ACB BCD 90 AC BC CD CE 1 如图 1 AE 与 BD 的大小关系为 位置关系为 2 如图 2 点 P M N 分别为 AB AD BE 的中点 试探究 PM 与 PN 之间的数量关系和位置关系 3 将图 2 中的 CDE 绕点 C 旋转至如图 3 所示的位置 其余条件不变 则 MN 与 PN 的数量关系 为 E C DA B M P N CA B E D M P N C E A B D 图 1 图 3图 2 例 7 如图 在 ABC 中 B 2 C AD BC 于 D M 是 BC 的中点 求证 AB