五下第三单元因数与倍数讲解与培优

第三单元 因数与倍数 一 因数与倍数 如果整数 a a 0 和整数 b b 0 相乘得到的整数 c 那么 a b 是 c 的因数 因数又叫约数 c 是 a b 的倍数 例 1 2 9 18 可以说 2 是 18 的因数 18 是 2 的倍数 9 是 18 的因数 18 是 9 的倍数 注 1 因数与倍数是两个数之间的相互关系 是相互依存的 不能单独说某个数是因数或倍 数 所以不能单独说 2 是因数 18 是倍数 2 研究因数与倍数时 所说的数一般指不是 0 的自然数 练习 1 说出下面哪个数是因数 哪个数是倍数 3 7 21 4 8 32 13 9 117 2 7 8 56 和 是 的因数 是 和 的倍数 判断 7 和 8 是因数 56 是倍数 3 判断 a b c 整数 a b c 0 那么 a b 是因数 c 是倍数 二 找一个数的因数 方法 列乘法算式使积就是这个数 两个乘数就是这个数的因数 为了做到不重复 不遗漏 可以从 1 开始列起 成对记录比较简便 例题 30 的因数有 1 30 2 15 3 10 5 6 注 一个数最小的因数是 1 最大的因数是它本身 一个数因数的个数是有限的 练习 1 找出下列各数的因数 72 42 25 63 2 32 的因数有 最小的因数是 最大的因数是 三 找一个数的倍数 方法 用这个数分别去乘 1 2 3 所得的积就是这个数的倍数 例题 4 的倍数有 4 8 12 16 20 24 若无限制条件 一定要加省略号 注 一个数最小的倍数是它本身 没有最大的倍数 一个数倍数的个数是无限的 一个数的本身既是它的最大的因数 又是它的最小的倍数 练习 1 找出下列个数的倍数 7 11 5 6 2 2 的倍数中 最小的一位数是 最小的两位数是 写出既是 8 的倍数 又是 72 的因数 3 一个数倍数的个数是 最小的倍数是 4 一个数最小的因数是 最大的因数是 5 一个数的因数和倍数都是 9 这个数是 6 一个数最大的因数和最小的倍数和是 16 这个数是多少 写出这个数的倍数 7 妈妈买回 30 个苹果 他把苹果放入蓝子中让小明拿 约定既不许一次那完 也不许一个 一个地拿 且每次拿的个数相同 拿到最后正好一个不剩 小明共有几种拿法 每种拿法每 次各拿几个 小明将 40 颗棋子装入盒中 然后从中拿棋子 不许一次那完 且每次拿的个数相同 拿到最 后正好一个不剩 有几种拿法 每次各拿几个 8 判断 一个数的因数一定比它的倍数小 A B C A B C 均为自然数 则 A 是 C 的因数 C 是 B 的倍数 任何数最小的因数都是 1 一个数的因数和倍数都有无限个 培优 爸爸今年 40 岁 小明和爷爷的年龄分别是爸爸年龄的因数和倍数 并且爷爷的年龄 是小明年龄的 10 倍 小明和爷爷今年各多少岁 四 5 和 2 的倍数的特征 1 5 的倍数的特征 个位上是 5 或 0 2 2 的倍数的特征 个位上是 2 4 6 8 或 0 既是 2 的倍数又是 5 的倍数的特征 个位上是 0 3 自然数中 是 2 的倍数的数叫做偶数 不是 2 的倍数的数叫做奇数 也可以说个位是 2 4 6 8 0 的数是偶数 个位是 1 3 5 7 9 的数是奇数 4 偶数与奇数的个数都是无限的 没有最大的偶数或奇数 最小的偶数是 0 最小的奇数是 1 练习 1 23 中 里填 既是 2 的倍数 又是 5 的倍数 2 1 3 25 39 48 50 329 1320 中奇数有 偶数有 2 的倍数有 5 的 倍数有 既是 2 的倍数又是 5 的倍数有 3 30 以内 5 的倍数有 4 五个连续奇数的和是 75 这 5 个数分别是 三个连续偶数的和是 72 这三个偶数分别是 五 3 的倍数的特征 1 3 的倍数 它各位上数的和一定是 3 的倍数 如果一个数不是 3 的倍数 那么 它各位上数的和也不是 3 的倍数 练习 1 1 4 9 18 36 45 89 100 中 偶数是 奇数是 2 的倍数是 5 的倍数是 3 的倍数是 既是 2 的倍数又是 5 的倍数是 既是 2 的倍数又是 3 的倍数是 既是 3 的倍数又是 5 的倍数是 2 3 的倍数中 最大的一位数是 最小的两位数是 1000 以内最大的 3 的倍数 是 35 加上 或减去 是 3 的倍数 3 一个三位数同时是 2 3 和 5 的倍数 这个三位数最小是 最大是 能被 2 3 5 除都余 1 的最小自然数是 在 1 100 中 同时是 2 3 5 的倍数有 4 按要求在 里填上合适的数字 既是 2 的倍数又是 5 的倍数 5 13 24 既是 2 的倍数又是 3 的倍数 35 7 4 7 0 7 既是 3 的倍数又是 5 的倍数 18 1 5 2 0 4 既是 2 和 5 的倍数又是 3 的倍数 4 2 0 4 5 用 0 4 3 2 四个数 按要求组成一个两位数 组成的数是 2 的倍数 组成的数既是 2 的倍数 又是 5 的倍数 组成的数既是 2 的倍数 又是 3 的倍数 6 桌子上放着 7 个茶杯 全部底朝上 每次翻转 2 个 经过多少次杯口全部朝上 7 有 36 个苹果 把它放在 13 个盘子里 每个盘子里只能放奇数个 这件事你能办到吗 8 判断 自然数中 不是奇数就是偶数 个位上是 0 3 6 9 的数一定是 3 的倍数 所有的自然数都是整数 解析 错 整数包含正整数 负整数和 0 而自然数只有 0 和正整数 用 2 1 3 组成的三位数一定是 3 的倍数 偶数是 2 的倍数 奇数是 3 的倍数 培优 1 在 重填上合适的数 使它是 9 的倍数 1 67 2 4 3 3 58 2 一盒羽毛球 5 个 5 个的取 最后剩下 1 个 3 个 3 个的取 最后剩下 1 个 2 个 2 个地取 最后还是剩下 1 个 这 盒羽毛球最少有多少个 六 质数与合数 1 一个数只有 1 和它本身两个因数 像这样的数叫作质数 或素数 只有 2 个因数 2 一个数除了 1 和它本身还有别的因数 像这样的数叫作合数 有 2 个以上的因数 3 1 既不是质数也不是合数 1 的因数只有一个 注意 质数与合数的个数都是无限的 没有最大的质数或合数 最小的质数是 2 最小的合数是 4 2 是唯一一个既是偶数又是质数的数 自然数 0 除外 可以分成质数 合数和 1 练习 1 判断 2 既不是素数 又不是合数 9 是奇数也是素数 一个自然数 0 除外 如果不是素数就是合数 2 最小的自然数是 最小的素数是 最小的合数是 最小的奇数是 10 以内的素数有 合数有 20 以内既是合数又是奇数的数有 50 以内最大的质数与最小的合数乘积是 有两个数都是质数 这两个数的和是 8 两个数的积是 15 这两个数是 和 既不是质数 又不是偶数的最小自然数是 既是质数 又是偶数的最小自然数是 既是奇数 又是质数的最小自然数是 既是偶数 又是合数的最小自然数是 既是奇数又是合数的最小自然数是 一个四位数 千位上既不是质数也不是合数 百位上是最小的合数 十位上是最小的质数 个位上既是奇数又是合数 这个数是 一个合数至少有 个因数 一个三位数既有因数 2 又是 5 的倍数 百位上是最小的质数 十位上是最大的一位奇数 这 个数是 3 在括号里填上合适的素数 质数 8 9 12 15 18 24 七 质因数与分解质因数 1 如果一个数的因数是质数 这个因数就是它的质因数 1 没有质因子 5 只有 1 个质因子 5 本身 5 是质数 6 的质因子是 2 和 3 6 2 3 2 4 8 16 等只有 1 个质因子 2 2 是质数 4 2 8 2 如此类推 10 有 2 个质因子 2 和 5 10 2 5 2 把一个合数用质数相乘的形式表示出来 叫作分解质因数 方法 短除法或塔形分解法 练习 1 先找出下面的合数 再把它们分解质因数 11 20 36 49 53 72 2 下面的式子 是分解质因数 A 54 2 3 9 B 42 2 3 7 C 15 3 5 1 D 20 4 5 3 两个质数的和是 22 积是 85 这两个质数是 和 4 一个三位数 它的个位上是最小的质数 十位上是最小的合数 百位上是最小的奇数 这 个三位数是 它同时是质数 和 的倍数 八 公因数与最大公因数 几个数公有的因数叫作这几个数的公因数 方法 找出小数的因数 在小数的因数中筛选大数的因数 例 1 找出下面每组数的最大公因数 6 和 15 8 和 16 1 和 20 30 和 6 8 和 9 9 和 25 注意 1 公因数的个数是有限的 2 几个数的公因数中最大的一个 叫作这几个数的最大公因数 最大公因数只有 1 个 3 不同的两个数至少有 1 个公因数 1 4 用短除法可以找出最大公因数 共有的质因数的积就是最大公因数 练习 1 25 和 40 的因数 公因数分别填在下面的圈里 25 的因数 40 的因数 2 在每个分数后面的括号中写上 分子 分母的最大公因数 9 4 27 15 25 和 40 的公因数 15 9 30 29 例 2 找出每组数的最大公因数 A 5 和 15 8 和 16 10 和 20 3 和 9 发现 倍数关系 最大公因数是小数 反之 最大公因数是小数 这两个数就是倍数关系 B 9 和 7 1 和 7 11 和 12 3 和 11 发现 互质关系 最大公因数是 1 反之 最大公因数是 1 这两个数就互质 当两个数的公因数或最大公因数是 1 时 我们就说这两个数互质 练习 1 写出下面每组数的最大公因数 12 和 24 18 和 19 5 和 17 14 和 42 8 和 9 11 和 4 12 和 6 6 和 8 13 和 39 35 和 7 2 一个数既是 12 的因数又是 18 的因数 这个数最大是 4A B A B 0 A 和 B 的最大公因数是 如果 a 2 3 5 b 2 3 7 那么 a 和 b 的最大公因数是 3 判断 两个合数的最大公因数不可能是 1 两个数的公因数一定比这两个数小 3 和 4 没有公因数 A 是 B 的倍数 那么 A B 的最大公因数是 A 两个数的公因数一定是这两个数的因数 例 3 1 王先生准备将家里的贮藏室铺上地板 贮藏室长 16 分米 宽 12 分米 如果都使用 整块的地砖 可以选择边长是几分米的地砖 边长最大是几分米 在一张长 40 厘米 宽 32 厘米的长方形铁皮上剪同样大小且面积最大的正方形 不能 有剩余 剪出的正方形边长是多少厘米 在一间长 6 米 宽 4 米的教室里铺同样大小的正方形地板 已知市场上有边长 6 分米 和 5 分米的正方形地砖 选哪种型号比较合适 为什么 2 两根彩带 一根长 15 厘米 另一根长 20 厘米 把它们剪成同样长的小段 没有剩余 每 小段最长多少厘米 两根铁丝 一根 16 厘米 一根 28 厘米 把它们剪成同样长的小段 没有剩余 每小段最 长多少厘米 3 赵阿姨买回一条 50 分米长的红彩带和一条 43 分米长的绿彩带 分别把它们裁成同样长 的小段 结果红彩带剩余 2 分米 绿彩带剩余 3 分米 所裁成的小段最长是多少分米 分别 能裁成多少段这样长度相等的小段 4 五 2 班男生 30 人 女生 25 人 把它们分成若干小组 如果每组中男生人数相同 女生 人数也相同 最多可以分成几个小组 每组中的男生和女生各多少人 5 有 36 支铅笔和 40 本练习本平均奖给几个三好学生 结果铅笔多 1 支 练习本多 2 本 得 奖的三好学生至少有多少人 6 按要求写出两个数 使最大公因数是 1 两个数都是合数 和 两个数都是奇数 和 一个偶数和一个奇数 和 九 公倍数与最小公倍数 几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数 方法 先写出较大的数的倍数 再从中找出哪些也是较小数的倍数 例 1 3 和 4 的公倍数有哪些 其中最小的是几 注意 1 公倍数的个数是无限的 所以在没有限制的条件下在后面要加省略号 2 几个数的公倍数中最小的一个叫做这个数的最小公倍数 最小公倍数只有 1 个 3 找最小公倍数可以用短除法 所有质因数的积就是这两个数的最小公倍数 练习 找出下面每组数的最小公倍数和最大公因数 10 和 4 6 和 8 5 和 10 4 和 9 12 和 10 16 和 4 4 两个数的最大公因数和最小公倍数的积等于这两个数的积 例 2 找出下列每组数的最小公倍数 你发现了什么 1 5 和 6 11 和 8 3 和 4 7 和 4 发现 互质关系 最小公倍数是这两个数的积 反之 最小公倍数是积 这两个数互质 2 3 和 6 7 和 21 4 和 8 1 和 10 发现 倍数关系 最小公倍数是大数 反之最小公倍数是大数 这两个数是倍数关系 练习 1 找出下列每组数的最小公倍数 注意利用互质和倍数关系快速计算 或用短除法 3 和 7 13 和 39 5 和 22 4 和 12 2 和 16 12 和 48 9 和 4 7 和 14 14 和 56 77 和 44 24 和 36 2 判断 两个不同合数的最小公倍数一定不是这两个数的乘积 两个不同素数的最小公倍数一定是这两个数的乘积 两个数的最小公倍数一定比这两个数都大 两个数的公倍数的个数是无限的 公因数的个数是有限的 如果 A B 7 那么 A B 的最小公倍数就是 A 两个数的乘积是这两个数的最大公倍数 72 是倍