二次函数压轴题——角的存在性

二次函数压轴题 角的存在性 第 1 页 共 17 页 一 解答题 共一 解答题 共 5 小题 小题 例例 1 2013 河南 如图 抛物线河南 如图 抛物线 y x2 bx c 与直线与直线 y x 2 交于交于 C D 两点 其两点 其 中点中点 C 在在 y 轴上 点轴上 点 D 的坐标为 的坐标为 3 点 点 P 是是 y 轴右侧的抛物线上一动点 过点轴右侧的抛物线上一动点 过点 P 作作 PE x 轴于点轴于点 E 交 交 CD 于点于点 F 1 求抛物线的解析式 求抛物线的解析式 2 若点 若点 P 的横坐标为的横坐标为 m 当 当 m 为何值时 以为何值时 以 O C P F 为顶点的四边形是平行四边为顶点的四边形是平行四边 形 请说明理由 形 请说明理由 3 若存在点 若存在点 P 使 使 PCF 45 请直接写出相应的点 请直接写出相应的点 P 的坐标 的坐标 例例 2 2012 惠山区校级模拟 如图 抛物线惠山区校级模拟 如图 抛物线 y ax2 bx 3a 经过经过 A 1 0 C 0 3 两点 与 两点 与 x 轴交于另一点轴交于另一点 B 1 求此抛物线的解析式 求此抛物线的解析式 2 已知点 已知点 D m m 1 在第四象限的抛物线上 求点 在第四象限的抛物线上 求点 D 关于直线关于直线 BC 对称的点对称的点 D 的坐的坐 标 标 3 在 在 2 的条件下 连接 的条件下 连接 BD 问在 问在 x 轴上是否存在点轴上是否存在点 P 使 使 PCB CBD 若存在 若存在 请求出请求出 P 点的坐标 若不存在 请说明理由 点的坐标 若不存在 请说明理由 第 2 页 共 17 页 例例 3 2014 湖州 如图 已知在平面直角坐标系湖州 如图 已知在平面直角坐标系 xOy 中 中 O 是坐标原点 抛物线是坐标原点 抛物线 y x2 bx c c 0 的顶点为 的顶点为 D 与 与 y 轴的交点为轴的交点为 C 过点 过点 C 作作 CA x 轴交抛物线于点轴交抛物线于点 A 在 在 AC 延长线上取点延长线上取点 B 使 使 BC AC 连接 连接 OA OB BD 和和 AD 1 若点 若点 A 的坐标是 的坐标是 4 4 求求 b c 的值 的值 试判断四边形试判断四边形 AOBD 的形状 并说明理由 的形状 并说明理由 2 是否存在这样的点 是否存在这样的点 A 使得四边形 使得四边形 AOBD 是矩形 若存在 请直接写出一个符合条是矩形 若存在 请直接写出一个符合条 件的点件的点 A 的坐标 若不存在 请说明理由 的坐标 若不存在 请说明理由 练习练习 1 2013 十堰 已知抛物线十堰 已知抛物线 y x2 2x c 与与 x 轴交于轴交于 A B 两点 与两点 与 y 轴交于轴交于 C 点 抛物线的顶点为点 抛物线的顶点为 D 点 点点 点 A 的坐标为 的坐标为 1 0 1 求 求 D 点的坐标 点的坐标 2 如图 如图 1 连接 连接 AC BD 并延长交于点并延长交于点 E 求 求 E 的度数 的度数 3 如图 如图 2 已知点 已知点 P 4 0 点 点 Q 在在 x 轴下方的抛物线上 直线轴下方的抛物线上 直线 PQ 交线段交线段 AC 于点于点 M 当 当 PMA E 时 求点时 求点 Q 的坐标 的坐标 第 3 页 共 17 页 2 2012 合川区模拟 如图 二次函数合川区模拟 如图 二次函数 y x2 bx c 的图象与的图象与 x 轴交于点轴交于点 B 3 0 与与 y 轴交于点轴交于点 C 0 3 1 求直线 求直线 BC 及二次函数的解析式 及二次函数的解析式 2 设抛物线的顶点为 设抛物线的顶点为 D 与 与 x 轴的另一个交点为轴的另一个交点为 A 点 点 P 在抛物线的对称轴上 且在抛物线的对称轴上 且 APD ACB 求点 求点 P 的坐标 的坐标 3 连接 连接 CD 求 求 OCA 与与 OCD 两角和的度数 两角和的度数 第 4 页 共 17 页 2015 年年 05 月月 13 日的初中数学组卷日的初中数学组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 5 小题 小题 1 2013 河南 如图 抛物线河南 如图 抛物线 y x2 bx c 与直线与直线 y x 2 交于交于 C D 两点 其中点两点 其中点 C 在在 y 轴上 点轴上 点 D 的坐标为 的坐标为 3 点 点 P 是是 y 轴右侧的抛物线上一动点 过点轴右侧的抛物线上一动点 过点 P 作作 PE x 轴轴 于点于点 E 交 交 CD 于点于点 F 1 求抛物线的解析式 求抛物线的解析式 2 若点 若点 P 的横坐标为的横坐标为 m 当 当 m 为何值时 以为何值时 以 O C P F 为顶点的四边形是平行四边为顶点的四边形是平行四边 形 请说明理由 形 请说明理由 3 若存在点 若存在点 P 使 使 PCF 45 请直接写出相应的点 请直接写出相应的点 P 的坐标 的坐标 考点考点 二次函数综合题 二次函数综合题 菁优网版权所有菁优网版权所有 专题专题 压轴题 压轴题 分析 分析 1 首先求出点 首先求出点 C 的坐标 然后利用待定系数法求出抛物线的解析式 的坐标 然后利用待定系数法求出抛物线的解析式 2 本问采用数形结合的数学思想求解 将直线 本问采用数形结合的数学思想求解 将直线 y x 2 沿沿 y 轴向上或向下平移轴向上或向下平移 2 个单位之后得到的直线 与抛物线个单位之后得到的直线 与抛物线 y 轴右侧的交点 即为所求之交点 由答图轴右侧的交点 即为所求之交点 由答图 1 可可 以直观地看出 这样的交点有以直观地看出 这样的交点有 3 个 联立解析式解方程组 即可求出个 联立解析式解方程组 即可求出 m 的值 的值 3 本问符合条件的点 本问符合条件的点 P 有有 2 个 如答图个 如答图 2 所示 注意不要漏解 在求点所示 注意不要漏解 在求点 P 坐标的坐标的 时候 需要充分挖掘已知条件 构造直角三角形或相似三角形 解方程求出点时候 需要充分挖掘已知条件 构造直角三角形或相似三角形 解方程求出点 P 的的 坐标 坐标 解答 解答 解 解 1 在直线解析式 在直线解析式 y x 2 中 令中 令 x 0 得 得 y 2 C 0 2 第 5 页 共 17 页 点点 C 0 2 D 3 在抛物线 在抛物线 y x2 bx c 上 上 解得解得 b c 2 抛物线的解析式为 抛物线的解析式为 y x2 x 2 2 PF OC 且以 且以 O C P F 为顶点的四边形是平行四边形 为顶点的四边形是平行四边形 PF OC 2 将直线将直线 y x 2 沿沿 y 轴向上 下平移轴向上 下平移 2 个单位之后得到的直线 与抛物线个单位之后得到的直线 与抛物线 y 轴右侧轴右侧 的交点 即为所求之交点 的交点 即为所求之交点 由答图由答图 1 可以直观地看出 这样的交点有可以直观地看出 这样的交点有 3 个 个 将直线将直线 y x 2 沿沿 y 轴向上平移轴向上平移 2 个单位 得到直线个单位 得到直线 y x 4 联立联立 解得解得 x1 1 x2 2 m1 1 m2 2 将直线将直线 y x 2 沿沿 y 轴向下平移轴向下平移 2 个单位 得到直线个单位 得到直线 y x 联立联立 解得解得 x3 x4 在 在 y 轴左侧 不合题意 舍去 轴左侧 不合题意 舍去 m3 当当 m 为值为为值为 1 2 或或时 以时 以 O C P F 为顶点的四边形是平行四边形 为顶点的四边形是平行四边形 3 存在 存在 理由 设点理由 设点 P 的横坐标为的横坐标为 m 则 则 P m m2 m 2 F m m 2 如答图如答图 2 所示 过点所示 过点 C 作作 CM PE 于点于点 M 则 则 CM m EM 2 FM yF EM m tan CFM 2 第 6 页 共 17 页 在在 Rt CFM 中 由勾股定理得 中 由勾股定理得 CF m 过点过点 P 作作 PN CD 于点于点 N 则则 PN FN tan PFN FN tan CFM 2FN PCF 45 PN CN 而而 PN 2FN FN CF m PN 2FN m 在在 Rt PFN 中 由勾股定理得 中 由勾股定理得 PF m PF yP yF m2 m 2 m 2 m2 3m m2 3m m 整理得 整理得 m2 m 0 解得解得 m 0 舍去 或 舍去 或 m P 同理求得 另一点为同理求得 另一点为 P 符合条件的点符合条件的点 P 的坐标为 的坐标为 或 或 第 7 页 共 17 页 点评 点评 本题是二次函数综合题型 考查了二次函数的图象与性质 一次函数的图象与性质 本题是二次函数综合题型 考查了二次函数的图象与性质 一次函数的图象与性质 解方程 方程组 解方程 方程组 平行四边形 相似三角形 或三角函数 平行四边形 相似三角形 或三角函数 勾股定理等重要知识 勾股定理等重要知识 点 第 点 第 2 问采用数形结合思想求解 直观形象且易于理解 第 问采用数形结合思想求解 直观形象且易于理解 第 3 问中 符合 问中 符合 条件的点条件的点 P 有两个 注意不要漏解 有两个 注意不要漏解 2 2012 惠山区校级模拟 如图 抛物线惠山区校级模拟 如图 抛物线 y ax2 bx 3a 经过经过 A 1 0 C 0 3 两点 两点 与与 x 轴交于另一点轴交于另一点 B 1 求此抛物线的解析式 求此抛物线的解析式 2 已知点 已知点 D m m 1 在第四象限的抛物线上 求点 在第四象限的抛物线上 求点 D 关于直线关于直线 BC 对称的点对称的点 D 的坐的坐 标 标 3 在 在 2 的条件下 连接 的条件下 连接 BD 问在 问在 x 轴上是否存在点轴上是否存在点 P 使 使 PCB CBD 若存在 若存在 请求出请求出 P 点的坐标 若不存在 请说明理由 点的坐标 若不存在 请说明理由 考点考点 二次函数综合题 二次函数综合题 菁优网版权所有菁优网版权所有 分析 分析 1 将 将 A 1 0 C 0 3 两点坐标代入抛物线 两点坐标代入抛物线 y ax2 bx 3a 中 列方程组求中 列方程组求 a b 的值即可 的值即可 2 将点 将点 D m m 1 代入 代入 1 中的抛物线解析式 求 中的抛物线解析式 求 m 的值 再根据对称性的值 再根据对称性 求点求点 D 关于直线关于直线 BC 对称的点对称的点 D 的坐标 的坐标 3 当 当 PCB CBD 时 可知时 可知 CP BD 根据三角形的全等关系确定 根据三角形的全等关系确定 P 点坐标 点坐标 第 8 页 共 17 页 解答 解答 解 解 1 将 将 A 1 0 C 0 3 代入抛物线 代入抛物线 y ax2 bx 3a 中 中 得得 解得解得 y x2 2x 3 2 将点 将点 D m m 1 代入 代入 y x2 2x 3 中 得中 得 m2 2m 3 m 1 解得解得 m 2 或或 1 点点 D m m 1 在第四象限 在第四象限 D 2 3 直线直线 BC 解析式为解析式为 y x 3 BCD BCO 45 CD CD 2 OD 3 2 1 点点 D 关于直线关于直线 BC 对称的点对称的点 D 0 1 3 存在 存在 过过 D 点作点作 DE x 轴 垂足为轴 垂足为 E 交直线 交直线 BC 于于 F 点 如图 点 如图 PCB CBD CP BD 又又 CD x 轴 四边形轴 四边形 PCDB 为平行四边形 为平行四边形 OCP EDB OP BE 1 设设 CP 与与 BD 相交于相交于 M 点 点 m 3m 9 第 9 页 共 17 页 易求易求 BD 解析式为 解析式为 y 3x 9 由由 BM CM 得到关于 得到关于 m 的方程 解方程后 得的方程 解方程后 得 m 于是 于是 M 点坐标为 点坐标为 M 于是于是 CM 解析式为 解析式为 y x 3 令令 CM 方程中 方程中 y 0 则 则 x 9 所以 所以 P 点坐标为 点坐标为 P 9 0 P 1 0 或 或 9 0 点评 点评 本题考查了二次函数的综合运用 关键是由已知条件求抛物线解析式 根据抛物线本题考查了二次函数的综合运用 关键是由已知条件求抛物线解析式 根据抛物线 的对称性 直线的对称性 直线 BC 的特殊性求点的坐标 的特殊性求点的坐标 3 2014 湖州 如图 已知在平面直角坐标系湖州 如图 已知在平面直角坐标系 xOy 中 中 O 是坐标原点 抛物线是坐标原点 抛物线 y x2 bx c c 0 的顶点为 的顶点为 D 与 与 y 轴的交点为轴的交点为 C 过点 过点 C 作作 CA x 轴交抛物线于点轴交抛物线于点 A 在 在 AC 延长线上取点延长线上取点 B 使 使 BC AC 连接 连接 OA OB BD 和和 AD 1 若点 若点 A 的坐标是 的坐标是 4 4 求求 b c 的值 的值 试判断四边形试判断四边形 AOBD 的形状 并说明理由 的形状 并说明理由 2 是否存在这样的点 是否存在这样的点 A 使得四边形 使得四边形 AOBD 是矩形 若存在 请直接写出一个符合条是矩形 若存在 请直接写出一个符合条 件的点件的点 A 的坐标 若不存在 请说明理由 的坐标 若不存在 请说明理由 考点考点 二次函数综合题 二次函数综合题 菁优网版权所有菁优网版权所有 专题专题 几何综合题 压轴题 几何综合题 压轴题 分析 分析 1 将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出 b c 的值 的值 求证求证 AD BO 和和 AD BO 即可判定四边形为平行四边形 即可判定四边形为平行四边形 2 根据矩形的各角为 根据矩形的各角为 90 可以求得可以求得 ABO OBC 即即 再根据勾股定理可 再根据勾股定理可 得得 OC BC AC OC 可求得横坐标为 可求得横坐标为 c 纵坐标为 纵坐标为 c 第 10 页 共 17 页 解答 解答 解 解 1 AC x 轴 轴 A 点坐标为 点坐标为 4 4 点点 C 的坐标是 的坐标是 0 4 把把 A C 两点的坐标代入两点的坐标代入 y x2 bx c 得 得 解得解得 四边形四边形 AOBD 是平行四边形 是平行四边形 理由如下 理由如下 由由 得抛物线的解析式为得抛物线的解析式为 y x2 4x 4 顶点顶点 D 的坐标为 的坐标为 2 8 过过 D 点作点作 DE AB 于点于点 E 则则 DE OC 4 AE 2 AC 4 BC AC 2 AE BC AC x 轴 轴 AED BCO 90 AED BCO AD BO DAE OBC AD BO 四边形四边形 AOBD 是平行四边形 是平行四边形 2 存在 点 存在 点 A 的坐标可以是 的坐标可以是 2 2 或 或 2 2 要使四边形要使四边形 AOBD 是矩形 是矩形 则需则需 AOB BCO 90 ABO OBC ABO OBC 又又 AB AC BC 3BC OB BC 在在 Rt OBC 中 根据勾股定理可得 中 根据勾股定理可得 OC BC AC OC C 点是抛物线与点是抛物线与 y 轴交点 轴交点 OC c A 点坐标为 点坐标为 c c 第 11 页 共 17 页 顶点横坐标顶点横坐标 c b c 将将 A 点代入可得点代入可得 c c 2 c c c 横坐标为横坐标为 c 纵坐标为 纵坐标为 c 即可 即可 令令 c 2 A 点坐标可以为 点坐标可以为 2 2 或者 或者 2 2 点评 点评 本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式 以及函数与坐标轴交点坐标的求本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式 以及函数与坐标轴交点坐标的求 解方法 解方法 4 2013 十堰 已知抛物线十堰 已知抛物线 y x2 2x c 与与 x 轴交于轴交于 A B 两点 与两点 与 y 轴交于轴交于 C 点 抛物线点 抛物线 的顶点为的顶点为 D 点 点点 点 A 的坐标为 的坐标为 1 0 1 求 求 D 点的坐标 点的坐标 2 如图 如图 1 连接 连接 AC BD 并延长交于点并延长交于点 E 求 求 E 的度数 的度数 3 如图 如图 2 已知点 已知点 P 4 0 点 点 Q 在在 x 轴下方的抛物线上 直线轴下方的抛物线上 直线 PQ 交线段交线段 AC 于点于点 M 当 当 PMA E 时 求点时 求点 Q 的坐标 的坐标 考点考点 二次函数综合题 二次函数综合题 菁优网版权所有菁优网版权所有 第 12 页 共 17 页 专题专题 压轴题 压轴题 分析 分析 1 将点 将点 A 的坐标代入到抛物线的解析式求得的坐标代入到抛物线的解析式求得 c 值 然后配方后即可确定顶点值 然后配方后即可确定顶点 D 的坐标 的坐标 2 连接 连接 CD CB 过点 过点 D 作作 DF y 轴于点轴于点 F 首先求得点 首先求得点 C 的坐标 然后证得的坐标 然后证得 DCB AOC 得到得到 CBD OCA 根据 根据 ACB CBD E OCA OCB 得到 得到 E OCB 45 3 设直线 设直线 PQ 交交 y 轴于轴于 N 点 交点 交 BD 于于 H 点 作点 作 DG x 轴于轴于 G 点 得到点 得到 DGB PON 后利用相似三角形的性质求得后利用相似三角形的性质求得 ON 的长 从而求得点的长 从而求得点 N 的坐标 进而的坐标 进而 求得直线求得直线 PQ 的解析式 设的解析式 设 Q m n 根据点 根据点 Q 在在 y x2 2x 3 上 得到上 得到 m 2 m2 2m 3 求得 求得 m n 的值后即可求得点的值后即可求得点 Q 的坐标 的坐标 解答 解答 解 解 1 把 把 x 1 y 0 代入代入 y x2 2x c 得 得 1 2 c 0 c 3 y x2 2x 3 y x 1 2 4 顶点坐标为 顶点坐标为 1 4 2 如图 如图 1 连接 连接 CD CB 过点 过点 D 作作 DF y 轴于点轴于点 F 由由 x2 2x 3 0 得得 x 1 或或 x 3 B 3 0 当当 x 0 时 时 y x2 2x 3 3 C 0 3 OB OC 3 BOC 90 OCB 45 BC 3 又又 DF CF 1 CFD 90 FCD 45 CD BCD 180 OCB FCD 90 BCD COA 又又 DCB AOC CBD OCA 第 13 页 共 17 页 又又 ACB CBD E OCA OCB E OCB 45 3 如图 如图 2 设直线 设直线 PQ 交交 y 轴于轴于 N 点 交点 交 BD 于于 H 点 作点 作 DG x 轴于轴于 G 点点 PMA 45 EMH 45 MHE 90 PHB 90 DBG OPN 90 又又 ONP OPN 90 DBG ONP DGB PON 90 DGB PON 即 即 ON 2 N 0 2 设直线设直线 PQ 的解析式为的解析式为 y kx b 则则 解得 解得 y x 2 设设 Q m n 且 且 n 0 n m 2 又又 Q m n 在 在 y x2 2x 3 上 上 n m2 2m 3 m 2 m2 2m 3 解得 解得 m 2 或或 m n 3 或或 n 点点 Q 的坐标为 的坐标为 2 3 或 或 第 14 页 共 17 页 点评 点评 本题考查了二次函数的综合知识 难度较大 题目中渗透了许多的知识点 特别是本题考查了二次函数的综合知识 难度较大 题目中渗透了许多的知识点 特别是 二次函数与相似三角形的结合 更是一个难点 同时也是中考中的常考题型之一 二次函数与相似三角形的结合 更是一个难点 同时也是中考中的常考题型之一 5 2012 合川区模拟 如图 二次函数合川区模拟 如图 二次函数 y x2 bx c 的图象与的图象与 x 轴交于点轴交于点 B 3 0 与 与 y 轴交于点轴交于点 C 0 3 1 求直线 求直线 BC 及二次函数的解析式 及二次函数的解析式 2 设抛物线的顶点为 设抛物线的顶点为 D 与 与 x 轴的另一个交点为轴的另一个交点为 A 点 点 P 在抛物线的对称轴上 且在抛物线的对称轴上 且 APD ACB 求点 求点 P 的坐标 的坐标 3 连接 连接 CD 求 求 OCA 与与 OCD 两角和的度数 两角和的度数 考点考点 二次函数综合题 二次函数综合题 菁优网版权所有菁优网版权所有 专题专题 代数几何综合题 代数几何综合题 分析 分析 1 根据待定系数法求直线 根据待定系数法求直线 BC 的解析式即可 把点的解析式即可 把点 B C 的坐标代入二次函数 的坐标代入二次函数 利用待定系数法求函数解析式解答 利用待定系数法求函数解析式解答 2 根据抛物线解析式求出顶点 根据抛物线解析式求出顶点 D 的坐标 再根据二次函数的对称性求出点的坐标 再根据二次函数的对称性求出点 A 的的 坐标 连接坐标 连接 AD 然后求出 然后求出 ADP ABC 45 然后证明 然后证明 ADP 和和 ABC 相似 根相似 根 第 15 页 共 17 页 据相似三角形对应边成比例列出比例式求出据相似三角形对应边成比例列出比例式求出 PD 的长度 从而得解 的长度 从而得解 3 连接 连接 BD 利用勾股定理求出 利用勾股定理求出 BD BC 的长度 再求出的长度