2017年高考数学空间几何高考真题

第 1 页 共 43 页 2017 年高考数学空间几何高考真题年高考数学空间几何高考真题 一 选择题 共一 选择题 共 9 小题 小题 1 如图 在下列四个正方体中 A B 为正方体的两个顶点 M N Q 为所在 棱的中点 则在这四个正方体中 直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 A B C D 2 已知圆柱的高为 1 它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上 则该圆柱的体积为 A B C D 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 为棱 CD 的中点 则 A A1E DC1B A1E BDC A1E BC1D A1E AC 4 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积为 A 60B 30C 20D 10 第 2 页 共 43 页 5 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体积 单位 cm2 是 A 1B 3C 1D 3 6 如图 已知正四面体 D ABC 所有棱长均相等的三棱锥 P Q R 分别为 AB BC CA 上的点 AP PB 2 分别记二面角 D PR Q D PQ R D QR P 的平面角为 则 A B C D 7 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某几何体的三视图 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得 则该几何体的体积为 第 3 页 共 43 页 A 90 B 63 C 42 D 36 1 某多面体的三视图如图所示 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 角形组成 正方形的边长为 2 俯视图为等腰直角三角形 该多面体的各个面 中有若干个是梯形 这些梯形的面积之和为 A 10B 12C 14D 16 2 已知直三棱柱 ABC A1B1C1中 ABC 120 AB 2 BC CC1 1 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 A B C D 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 小题 8 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上 SC 是球 O 的直径 若平 面 SCA 平面 SCB SA AC SB BC 三棱锥 S ABC 的体积为 9 则球 O 的表面积 为 9 长方体的长 宽 高分别为 3 2 1 其顶点都在球 O 的球面上 则球 O 的 表面积为 10 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 若这个正方体的表面积为 18 则这个球的体积为 11 由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图 则该几何体的 体积为 第 4 页 共 43 页 12 如图 在圆柱 O1O2内有一个球 O 该球与圆柱的上 下底面及母线均相切 记圆柱 O1O2的体积为 V1 球 O 的体积为 V2 则的值是 三 解答题 共三 解答题 共 9 小题 小题 13 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AB CD 且 BAP CDP 90 1 证明 平面 PAB 平面 PAD 2 若 PA PD AB DC APD 90 且四棱锥 P ABCD 的体积为 求该四棱 锥的侧面积 14 如图 四棱锥 P ABCD 中 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD AB BC AD BAD ABC 90 1 证明 直线 BC 平面 PAD 2 若 PCD 面积为 2 求四棱锥 P ABCD 的体积 第 5 页 共 43 页 15 如图四面体 ABCD 中 ABC 是正三角形 AD CD 1 证明 AC BD 2 已知 ACD 是直角三角形 AB BD 若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点 且 AE EC 求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比 16 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1的底面为直角三角形 两直角边 AB 和 AC 的长 分别为 4 和 2 侧棱 AA1的长为 5 1 求三棱柱 ABC A1B1C1的体积 2 设 M 是 BC 中点 求直线 A1M 与平面 ABC 所成角的大小 17 如图 在三棱锥 P ABC 中 PA AB PA BC AB BC PA AB BC 2 D 为线段 AC 的中点 E 为线段 PC 上一点 1 求证 PA BD 2 求证 平面 BDE 平面 PAC 3 当 PA 平面 BDE 时 求三棱锥 E BCD 的体积 第 6 页 共 43 页 18 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AD 平面 PDC AD BC PD PB AD 1 BC 3 CD 4 PD 2 求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值 求证 PD 平面 PBC 求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 19 如图 已知四棱锥 P ABCD PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形 BC AD CD AD PC AD 2DC 2CB E 为 PD 的中点 证明 CE 平面 PAB 求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值 20 由四棱柱 ABCD A1B1C1D1截去三棱锥 C1 B1CD1后得到的几何体如图所示 四 边形 ABCD 为正方形 O 为 AC 与 BD 的交点 E 为 AD 的中点 A1E 平面 ABCD 证明 A1O 平面 B1CD1 第 7 页 共 43 页 设 M 是 OD 的中点 证明 平面 A1EM 平面 B1CD1 21 如图 在三棱锥 A BCD 中 AB AD BC BD 平面 ABD 平面 BCD 点 E F E 与 A D 不重合 分别在棱 AD BD 上 且 EF AD 求证 1 EF 平面 ABC 2 AD AC 3 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AB CD 且 BAP CDP 90 1 证明 平面 PAB 平面 PAD 2 若 PA PD AB DC APD 90 求二面角 A PB C 的余弦值 4 如图 四棱锥 P ABCD 中 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD AB BC AD BAD ABC 90 E 是 PD 的中点 1 证明 直线 CE 平面 PAB 2 点 M 在棱 PC 上 且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45 求二面角 M AB D 的余弦值 第 8 页 共 43 页 5 如图 四面体 ABCD 中 ABC 是正三角形 ACD 是直角三角形 ABD CBD AB BD 1 证明 平面 ACD 平面 ABC 2 过 AC 的平面交 BD 于点 E 若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两 部分 求二面角 D AE C 的余弦值 6 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为正方形 平面 PAD 平面 ABCD 点 M 在线段 PB 上 PD 平面 MAC PA PD AB 4 1 求证 M 为 PB 的中点 2 求二面角 B PD A 的大小 3 求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值 7 如图 在三棱锥 P ABC 中 PA 底面 ABC BAC 90 点 D E N 分别为 棱 PA PC BC 的中点 M 是线段 AD 的中点 PA AC 4 AB 2 求证 MN 平面 BDE 求二面角 C EM N 的正弦值 第 9 页 共 43 页 已知点 H 在棱 PA 上 且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 求线 段 AH 的长 8 如图 几何体是圆柱的一部分 它是由矩形 ABCD 及其内部 以 AB 边所 在直线为旋转轴旋转 120 得到的 G 是的中点 设 P 是上的一点 且 AP BE 求 CBP 的大小 当 AB 3 AD 2 时 求二面角 E AG C 的大小 第 10 页 共 43 页 2017 年高考数学空间几何高考真题年高考数学空间几何高考真题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 7 小题 小题 1 如图 在下列四个正方体中 A B 为正方体的两个顶点 M N Q 为所在 棱的中点 则在这四个正方体中 直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 A B C D 解答 解 对于选项 B 由于 AB MQ 结合线面平行判定定理可知 B 不满 足题意 对于选项 C 由于 AB MQ 结合线面平行判定定理可知 C 不满足题意 对于选项 D 由于 AB NQ 结合线面平行判定定理可知 D 不满足题意 所以选项 A 满足题意 故选 A 2 已知圆柱的高为 1 它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上 则该圆柱的体积为 A B C D 解答 解 圆柱的高为 1 它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的 球面上 该圆柱底面圆周半径 r 第 11 页 共 43 页 该圆柱的体积 V Sh 故选 B 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 为棱 CD 的中点 则 A A1E DC1B A1E BDC A1E BC1D A1E AC 解答 解 法一 连 B1C 由题意得 BC1 B1C A1B1 平面 B1BCC1 且 BC1 平面 B1BCC1 A1B1 BC1 A1B1 B1C B1 BC1 平面 A1ECB1 A1E 平面 A1ECB1 A1E BC1 故选 C 法二 以 D 为原点 DA 为 x 轴 DC 为 y 轴 DD1为 z 轴 建立空间直角坐标系 设正方体 ABCD A1B1C1D1中棱长为 2 则 A1 2 0 2 E 0 1 0 B 2 2 0 D 0 0 0 C1 0 2 2 A 2 0 0 C 0 2 0 2 1 2 0 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 2 0 6 A1E BC1 第 12 页 共 43 页 故选 C 4 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积为 A 60B 30C 20D 10 解答 解 由三视图可知 该几何体为三棱锥 该三棱锥的体积 10 故选 D 5 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体积 单位 第 13 页 共 43 页 cm2 是 A 1B 3C 1D 3 解答 解 由几何的三视图可知 该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成 圆锥的底面圆的半径为 1 三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形 圆锥 的高和棱锥的高相等均为 3 故该几何体的体积为 12 3 3 1 故选 A 6 如图 已知正四面体 D ABC 所有棱长均相等的三棱锥 P Q R 分别为 AB BC CA 上的点 AP PB 2 分别记二面角 D PR Q D PQ R D QR P 的平面角为 则 第 14 页 共 43 页 A B C D 解答 解法一 如图所示 建立空间直角坐标系 设底面 ABC 的中心为 O 不妨设 OP 3 则 O 0 0 0 P 0 3 0 C 0 6 0 D 0 0 6 Q R 0 3 6 5 0 设平面 PDR 的法向量为 x y z 则 可得 可得 取平面 ABC 的法向量 0 0 1 则 cos 取 arccos 同理可得 arccos arccos 解法二 如图所示 连接 OP OQ OR 过点 O 分别作垂线 OE PR OF PQ OG QR 垂足分别为 E F G 连接 DE DF DG 设 OD h 则 tan 同理可得 tan tan 第 15 页 共 43 页 由已知可得 OE OG OF tan tan tan 为锐角 故选 B 7 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某几何体的三视图 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得 则该几何体的体积为 第 16 页 共 43 页 A 90 B 63 C 42 D 36 解答 解 由三视图可得 直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱 的一半 V 32 10 32 6 63 故选 B 1 某多面体的三视图如图所示 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角 三角形组成 正方形的边长为 2 俯视图为等腰直角三角形 该多面体的各个 面中有若干个是梯形 这些梯形的面积之和为 A 10B 12C 14D 16 第 17 页 共 43 页 解答 解 由三视图可画出直观图 该立体图中只有两个相同的梯形的面 S梯形 2 2 4 6 这些梯形的面积之和为 6 2 12 故选 B 2 已知直三棱柱 ABC A1B1C1中 ABC 120 AB 2 BC CC1 1 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 A B C D 解答 解 解法一 如图所示 设 M N P 分别为 AB BB1和 B1C1的中 点 则 AB1 BC1夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角 因异面直线所成角为 0 可知 MN AB1 NP BC1 作 BC 中点 Q 则 PQM 为直角三角形 PQ 1 MQ AC ABC 中 由余弦定理得 AC2 AB2 BC2 2AB BC cos ABC 4 1 2 2 1 7 第 18 页 共 43 页 AC MQ 在 MQP 中 MP 在 PMN 中 由余弦定理得 cos MNP 又异面直线所成角的范围是 0 AB1与 BC1所成角的余弦值为 解法二 如图所示 补成四棱柱 ABCD A1B1C1D1 求 BC1D 即可 BC1 BD C1D BD2 DBC1 90 cos BC1D 第 19 页 共 43 页 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 小题 8 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上 SC 是球 O 的直径 若平 面 SCA 平面 SCB SA AC SB BC 三棱锥 S ABC 的体积为 9 则球 O 的表面积 为 36 解答 解 三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上 SC 是球 O 的直径 若平面 SCA 平面 SCB SA AC SB BC 三棱锥 S ABC 的体积为 9 可知三角形 SBC 与三角形 SAC 都是等腰直角三角形 设球的半径为 r 可得 解得 r 3 球 O 的表面积为 4 r2 36 故答案为 36 9 长方体的长 宽 高分别为 3 2 1 其顶点都在球 O 的球面上 则球 O 的 表面积为 14 解答 解 长方体的长 宽 高分别为 3 2 1 其顶点都在球 O 的球面上 可知长方体的对角线的长就是球的直径 所以球的半径为 则球 O 的表面积为 4 14 故答案为 14 第 20 页 共 43 页 10 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 若这个正方体的表面积为 18 则这个球的体积为 解答 解 设正方体的棱长为 a 这个正方体的表面积为 18 6a2 18 则 a2 3 即 a 一个正方体的所有顶点在一个球面上 正方体的体对角线等于球的直径 即a 2R 即 R 则球的体积 V 3 故答案为 11 由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图 则该几何体的 体积为 2 解答 解 由长方体长为 2 宽为 1 高为 1 则长方体的体积 V1 2 1 1 2 圆柱的底面半径为 1 高为 1 则圆柱的体积 V2 12 1 则该几何体的体积 V V1 2V1 2 故答案为 2 第 21 页 共 43 页 12 如图 在圆柱 O1O2内有一个球 O 该球与圆柱的上 下底面及母线均相切 记圆柱 O1O2的体积为 V1 球 O 的体积为 V2 则的值是 解答 解 设球的半径为 R 则球的体积为 R3 圆柱的体积为 R2 2R 2 R3 则 故答案为 三 解答题 共三 解答题 共 9 小题 小题 13 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AB CD 且 BAP CDP 90 1 证明 平面 PAB 平面 PAD 2 若 PA PD AB DC APD 90 且四棱锥 P ABCD 的体积为 求该四棱 锥的侧面积 解答 证明 1 在四棱锥 P ABCD 中 BAP CDP 90 AB PA CD PD 第 22 页 共 43 页 又 AB CD AB PD PA PD P AB 平面 PAD AB 平面 PAB 平面 PAB 平面 PAD 解 2 设 PA PD AB DC a 取 AD 中点 O 连结 PO PA PD AB DC APD 90 平面 PAB 平面 PAD PO 底面 ABCD 且 AD PO 四棱锥 P ABCD 的体积为 VP ABCD 解得 a 2 PA PD AB DC 2 AD BC 2 PO PB PC 2 该四棱锥的侧面积 S侧 S PAD S PAB S PDC S PBC 6 2 14 如图 四棱锥 P ABCD 中 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD AB BC AD BAD ABC 90 1 证明 直线 BC 平面 PAD 2 若 PCD 面积为 2 求四棱锥 P ABCD 的体积 第 23 页 共 43 页 解答 1 证明 四棱锥 P ABCD 中 BAD ABC 90 BC AD AD 平面 PAD BC 平面 PAD 直线 BC 平面 PAD 2 解 四棱锥 P ABCD 中 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD AB BC AD BAD ABC 90 设 AD 2x 则 AB BC x CD O 是 AD 的中点 连接 PO OC CD 的中点为 E 连接 OE 则 OE PO PE PCD 面积为 2 可得 2 即 解得 x 2 PE 2 则 V P ABCD BC AD AB PO 4 15 如图四面体 ABCD 中 ABC 是正三角形 AD CD 1 证明 AC BD 2 已知 ACD 是直角三角形 AB BD 若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点 且 AE EC 求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比 第 24 页 共 43 页 解答 证明 1 取 AC 中点 O 连结 DO BO ABC 是正三角形 AD CD DO AC BO AC DO BO O AC 平面 BDO BD 平面 BDO AC BD 解 2 法一 连结 OE 由 1 知 AC 平面 OBD OE 平面 OBD OE AC 设 AD CD 则 OC OA 1 E 是线段 AC 垂直平分线上的点 EC EA CD 由余弦定理得 cos CBD 即 解得 BE 1 或 BE 2 BE BD 2 BE 1 BE ED 四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h BE ED S DCE S BCE 四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1 法二 设 AD CD 则 AC AB BC BD 2 AO CO DO 1 BO BO2 DO2 BD2 BO DO 以 O 为原点 OA 为 x 轴 OB 为 y 轴 OD 为 z 轴 建立空间直角坐标系 则 C 1 0 0 D 0 0 1 B 0 0 A 1 0 0 第 25 页 共 43 页 设 E a b c 0 1 则 a b c 1 0 1 解 得 E 0 1 1 1 AE EC 1 3 2 1 2 0 由 0 1 解得 DE BE 四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h DE BE S DCE S BCE 四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1 16 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1的底面为直角三角形 两直角边 AB 和 AC 的长 分别为 4 和 2 侧棱 AA1的长为 5 1 求三棱柱 ABC A1B1C1的体积 2 设 M 是 BC 中点 求直线 A1M 与平面 ABC 所成角的大小 第 26 页 共 43 页 解答 解 1 直三棱柱 ABC A1B1C1的底面为直角三角形 两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2 侧棱 AA1的长为 5 三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V S ABC AA1 20 2 连结 AM 直三棱柱 ABC A1B1C1的底面为直角三角形 两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2 侧棱 AA1的长为 5 M 是 BC 中点 AA1 底面 ABC AM A1MA 是直线 A1M 与平面 ABC 所成角 tan A1MA 直线 A1M 与平面 ABC 所成角的大小为 arctan 17 如图 在三棱锥 P ABC 中 PA AB PA BC AB BC PA AB BC 2 D 为线段 AC 的中点 E 为线段 PC 上一点 1 求证 PA BD 2 求证 平面 BDE 平面 PAC 3 当 PA 平面 BDE 时 求三棱锥 E BCD 的体积 第 27 页 共 43 页 解答 解 1 证明 由 PA AB PA BC AB 平面 ABC BC 平面 ABC 且 AB BC B 可得 PA 平面 ABC 由 BD 平面 ABC 可得 PA BD 2 证明 由 AB BC D 为线段 AC 的中点 可得 BD AC 由 PA 平面 ABC PA 平面 PAC 可得平面 PAC 平面 ABC 又平面 ABC 平面 ABC AC BD 平面 ABC 且 BD AC 即有 BD 平面 PAC BD 平面 BDE 可得平面 BDE 平面 PAC 3 PA 平面 BDE PA 平面 PAC 且平面 PAC 平面 BDE DE 可得 PA DE 又 D 为 AC 的中点 可得 E 为 PC 的中点 且 DE PA 1 由 PA 平面 ABC 可得 DE 平面 ABC 可得 S BDC S ABC 2 2 1 则三棱锥 E BCD 的体积为DE S BDC 1 1 第 28 页 共 43 页 18 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AD 平面 PDC AD BC PD PB AD 1 BC 3 CD 4 PD 2 求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值 求证 PD 平面 PBC 求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 解答 解 如图 由已知 AD BC 故 DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角 因为 AD 平面 PDC 所以 AD PD 在 Rt PDA 中 由已知 得 故 所以 异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 证明 因为 AD 平面 PDC 直线 PD 平面 PDC 所以 AD PD 又因为 BC AD 所以 PD BC 又 PD PB 所以 PD 平面 PBC 解 过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F 连结 PF 第 29 页 共 43 页 则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角 因为 PD 平面 PBC 故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影 所以 DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角 由于 AD BC DF AB 故 BF AD 1 由已知 得 CF BC BF 2 又 AD DC 故 BC DC 在 Rt DCF 中 可得 所以 直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 19 如图 已知四棱锥 P ABCD PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形 BC AD CD AD PC AD 2DC 2CB E 为 PD 的中点 证明 CE 平面 PAB 求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值 解答 证明 取 AD 的中点 F 连结 EF CF E 为 PD 的中点 EF PA 在四边形 ABCD 中 BC AD AD 2DC 2CB F 为中点 CF AB 平面 EFC 平面 ABP EC 平面 EFC 第 30 页 共 43 页 EC 平面 PAB 解 连结 BF 过 F 作 FM PB 于 M 连结 PF PA PD PF AD 推导出四边形 BCDF 为矩形 BF AD AD 平面 PBF 又 AD BC BC 平面 PBF BC PB 设 DC CB 1 则 AD PC 2 PB BF PF 1 MF 又 BC 平面 PBF BC MF MF 平面 PBC 即点 F 到平面 PBC 的距离为 MF D 到平面 PBC 的距离应该和 MF 平行且相等 为 E 为 PD 中点 E 到平面 PBC 的垂足也为垂足所在线段的中点 即中位线 E 到平面 PBC 的距离为 在 由余弦定理得 CE 设直线 CE 与平面 PBC 所成角为 则 sin 20 由四棱柱 ABCD A1B1C1D1截去三棱锥 C1 B1CD1后得到的几何体如图所示 四 边形 ABCD 为正方形 O 为 AC 与 BD 的交点 E 为 AD 的中点 A1E 平面 第 31 页 共 43 页 ABCD 证明 A1O 平面 B1CD1 设 M 是 OD 的中点 证明 平面 A1EM 平面 B1CD1 解答 证明 取 B1D1中点 G 连结 A1G CG 四边形 ABCD 为正方形 O 为 AC 与 BD 的交点 四棱柱 ABCD A1B1C1D1截去三棱锥 C1 B1CD1后 A1GOC 四边形 OCGA1是平行四边形 A1O CG A1O 平面 B1CD1 CG 平面 B1CD1 A1O 平面 B1CD1 四棱柱 ABCD A1B1C1D1截去三棱锥 C1 B1CD1后 BDB1D1 M 是 OD 的中点 O 为 AC 与 BD 的交点 E 为 AD 的中点 A1E 平面 ABCD 又 BD 平面 ABCD BD A1E 四边形 ABCD 为正方形 O 为 AC 与 BD 的交点 AO BD M 是 OD 的中点 E 为 AD 的中点 EM BD A1E EM E BD 平面 A1EM BD B1D1 B1D1 平面 A1EM B1D1 平面 B1CD1 平面 A1EM 平面 B1CD1 第 32 页 共 43 页 21 如图 在三棱锥 A BCD 中 AB AD BC BD 平面 ABD 平面 BCD 点 E F E 与 A D 不重合 分别在棱 AD BD 上 且 EF AD 求证 1 EF 平面 ABC 2 AD AC 解答 证明 1 因为 AB AD EF AD 且 A B E F 四点共面 所以 AB EF 又因为 EF 平面 ABC AB 平面 ABC 所以由线面平行判定定理可知 EF 平面 ABC 2 在线段 CD 上取点 G 连结 FG EG 使得 FG BC 则 EG AC 因为 BC BD FG BC 所以 FG BD 又因为平面 ABD 平面 BCD 所以 FG 平面 ABD 所以 FG AD 又因为 AD EF 且 EF FG F 所以 AD 平面 EFG 所以 AD EG 故 AD AC 第 33 页 共 43 页 3 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AB CD 且 BAP CDP 90 1 证明 平面 PAB 平面 PAD 2 若 PA PD AB DC APD 90 求二面角 A PB C 的余弦值 解答 1 证明 BAP CDP 90 PA AB PD CD AB CD AB PD 又 PA PD P 且 PA 平面 PAD PD 平面 PAD AB 平面 PAD 又 AB 平面 PAB 平面 PAB 平面 PAD 2 解 AB CD AB CD 四边形 ABCD 为平行四边形 由 1 知 AB 平面 PAD AB AD 则四边形 ABCD 为矩形 在 APD 中 由 PA PD APD 90 可得 PAD 为等腰直角三角形 设 PA AB 2a 则 AD 取 AD 中点 O BC 中点 E 连接 PO OE 以 O 为坐标原点 分别以 OA OE OP 所在直线为 x y z 轴建立空间直角坐 标系 则 D B P 0 0 C 设平面 PBC 的一个法向量为 第 34 页 共 43 页 由 得 取 y 1 得 AB 平面 PAD AD 平面 PAD AB PD 又 PD PA PA AB A PD 平面 PAB 则为平面 PAB 的一个法向量 cos 由图可知 二面角 A PB C 为钝角 二面角 A PB C 的余弦值为 4 如图 四棱锥 P ABCD 中 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD AB BC AD BAD ABC 90 E 是 PD 的中点 1 证明 直线 CE 平面 PAB 2 点 M 在棱 PC 上 且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45 求二面角 M AB D 的余弦值 解答 1 证明 取 PA 的中点 F 连接 EF BF 因为 E 是 PD 的中点 第 35 页 共 43 页 所以 EFAD AB BC AD BAD ABC 90 BC AD BCEF 是平行四边形 可得 CE BF BF 平面 PAB CE 平面 PAB 直线 CE 平面 PAB 2 解 四棱锥 P ABCD 中 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD AB BC AD BAD ABC 90 E 是 PD 的中点 取 AD 的中点 O M 在底面 ABCD 上的射影 N 在 OC 上 设 AD 2 则 AB BC 1 OP PCO 60 直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45 可得 BN MN CN MN BC 1 可得 1 BN2 BN2 BN MN 作 NQ AB 于 Q 连接 MQ 所以 MQN 就是二面角 M AB D 的平面角 MQ 二面角 M AB D 的余弦值为 第 36 页 共 43 页 5 如图 四面体 ABCD 中 ABC 是正三角形 ACD 是直角三角形 ABD CBD AB BD 1 证明 平面 ACD 平面 ABC 2 过 AC 的平面交 BD 于点 E 若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两 部分 求二面角 D AE C 的余弦值 解答 1 证明 如图所示 取 AC 的中点 O 连接 BO OD ABC 是等边三角形 OB AC ABD 与 CBD 中 AB BD BC ABD CBD ABD CBD AD CD ACD 是直角三角形 AC 是斜边 ADC 90 DO AC DO2 BO2 AB2 BD2 BOD 90 OB OD 又 DO AC O OB 平面 ACD 又 OB 平面 ABC 平面 ACD 平面 ABC 2 解 设点 D B 到平面 ACE 的距离分别为 hD hE 则 第 37 页 共 43 页 平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分 1 点 E 是 BD 的中点 建立如图所示的空间直角坐标系 不妨取 AB 2 则 O 0 0 0 A 1 0 0 C 1 0 0 D 0 0 1 B 0 0 E 1 0 1 2 0 0 设平面 ADE 的法向量为 x y z 则 即 取 同理可得 平面 ACE 的法向量为 0 1 cos 二面角 D AE C 的余弦值为 6 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为正方形 平面 PAD 平面 ABCD 点 M 在线段 PB 上 PD 平面 MAC PA PD AB 4 1 求证 M 为 PB 的中点 2 求二面角 B PD A 的大小 第 38 页 共 43 页 3 求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值 解答 1 证明 如图 设 AC BD O ABCD 为正方形 O 为 BD 的中点 连接 OM PD 平面 MAC PD 平面 PBD 平面 PBD 平面 AMC OM PD OM 则 即 M 为 PB 的中点 2 解 取 AD 中点 G PA PD PG AD 平面 PAD 平面 ABCD 且平面 PAD 平面 ABCD AD PG 平面 ABCD 则 PG AD 连接 OG 则 PG OG 由 G 是 AD 的中点 O 是 AC 的中点 可得 OG DC 则 OG AD 以 G 为坐标原点 分别以 GD GO GP 所在直线为 x y z 轴距离空间直角坐 标系 由 PA PD AB 4 得 D 2 0