二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

函数解题思路方法总结 函数解题思路方法总结 求二次函数的图象与求二次函数的图象与x x轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 求二次函数的最大 小 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式 求二次函数的最大 小 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式 根据图象的位置判断二次函数根据图象的位置判断二次函数 ax bx c 0ax bx c 0 中中a b c a b c的符号 或由二次函数中 的符号 或由二次函数中a b c a b c的符号判 的符号判 断图象的位置 要数形结合 断图象的位置 要数形结合 二次函数的图象关于对称轴对称 可利用这一性质 求和已知一点对称的点坐标 或已知与二次函数的图象关于对称轴对称 可利用这一性质 求和已知一点对称的点坐标 或已知与x x 轴的一个交点坐标 可由对称性求出另一个交点坐标轴的一个交点坐标 可由对称性求出另一个交点坐标 与二次函数有关的还有二次三项式 二次三项式与二次函数有关的还有二次三项式 二次三项式 ax bx c a 0 ax bx c a 0 本身就是所含字母 本身就是所含字母x x的二次的二次 函数 下面以函数 下面以a a 0 0时为例 揭示二次函数 二次三项式和一元二次方程之间的内在联系 时为例 揭示二次函数 二次三项式和一元二次方程之间的内在联系 动点问题题型方法归纳总结动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点动态几何特点 问题背景是特殊图形 考查问题也是特殊图形 所以要把握好一般与特殊的关系 问题背景是特殊图形 考查问题也是特殊图形 所以要把握好一般与特殊的关系 分析过程中 特别要关注图形的特性 特殊角 特殊图形的性质 图形的特殊位置 分析过程中 特别要关注图形的特性 特殊角 特殊图形的性质 图形的特殊位置 动点问题一直是中考热点 近几年考查探究运动中的特殊性 等腰三角形 直角三角形 动点问题一直是中考热点 近几年考查探究运动中的特殊性 等腰三角形 直角三角形 相似三角形 平行四边形 梯形 特殊角或相似三角形 平行四边形 梯形 特殊角或 其三角函数 线段或面积的最值 其三角函数 线段或面积的最值 下面就此问题的常见题型作简单介绍 解题方法 关键给以点拨 下面就此问题的常见题型作简单介绍 解题方法 关键给以点拨 二 二 抛物线上动点抛物线上动点 5 湖北十堰市 如图 已知抛物线3 2 bxaxy a 0 与x轴交于点 A 1 0 和点 B 3 0 与 y 轴 交于点 C 1 求抛物线的解析式 2 设抛物线的对称轴与x轴交于点 M 问在对称轴上是否存在点 P 使 CMP 为等腰三角形 若存在 请直接 写出所有符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 若点 E 为第二象限抛物线上一动点 连接 BE CE 求四边形 BOCE 面积的最大值 并求此时 E 点 的坐标 注意 第 注意 第 2 2 问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P P 坐标坐标 C C 为顶点时 以为顶点时 以 C C 为圆心为圆心 CMCM 为半径画弧 与对称轴交点即为所求点为半径画弧 与对称轴交点即为所求点 P P M M 为顶点时 以为顶点时 以 M M 为圆心为圆心 MCMC 为半径画弧 与对称轴交点即为所求点为半径画弧 与对称轴交点即为所求点 P P P P 为顶点时 线段为顶点时 线段 MCMC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P P 第 第 3 3 问方法一 先写出面积函数关系式 再求最大值 涉及二次函数最值 问方法一 先写出面积函数关系式 再求最大值 涉及二次函数最值 方法二 先求与方法二 先求与 BCBC 平行平行 且与抛物线相切点的坐标 涉及简单二元二次方程组 且与抛物线相切点的坐标 涉及简单二元二次方程组 再求面积 再求面积 070809 动点个数两个 一个两个 问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边 上移动 抛物线中特殊直角梯形底 边上移动 考查难点探究相似三角形探究三角形面积函 数关系式 探究等腰三角形 考 点 菱形性质 特殊角三角函数 求直线 抛物线解析式 相似三角形 不等式 求直线解析式 四边形面积的表 示 动三角形面积函 数 矩形性质 求抛物线顶点坐标 探究平行四边形 探究动三角形面积是定 值 探究等腰三角形存在性 共同点 共同点 探究存在性问题时 先画出图形 再根据图形性质探 究答案 二次函数的动态问题 动点 1 如图 已知抛物线与坐标轴的交点依次是 1 C 4 0 A 2 0 B 0 8 E 1 求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式 1 C 2 C 特 点 菱形是含 60 的特殊菱形 AOB 是底角为 30 的等腰三 角形 一个动点速度是参数字母 探究相似三角形时 按对应 角不同分类讨论 先画图 再 探究 通过相似三角形过度 转化 相似比得出方程 利用 a t 范围 运用不等式 求出 a t 的值 观察图形构造特 征适当割补表示面 积 动点按到拐点时 间分段分类 画出矩形必备条 件的图形探究其存 在性 直角梯形是特殊的 一 底角是 45 点动带动线动 线动中的特殊性 两个 交点 D E 是定点 动线段 PF 长度是定值 PF OA 通过相似三角形过度 转化相似比得出方程 探究等腰三角形时 先 画图 再探究 按边相等 分类讨论 特殊四边形为背景 点动带线动得出动三角形 探究动三角形问题 相似 等腰三角形 面积函数关系式 求直线 抛物线解析式 2 设抛物线的顶点为 抛物线与轴分别交于两点 点在点的左侧 顶点为 四边 1 CM 2 CxCD CDN 形的面积为 若点 点同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右 向左运动 与此同时 MDNASAD 点 点同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下 向上运动 直到点与点重合为止 求出四边MNAD 形的面积与运动时间 之间的关系式 并写出自变量 的取值范围 MDNAStt 3 当 为何值时 四边形的面积有最大值 并求出此最大值 tMDNAS 4 在运动过程中 四边形能否形成矩形 若能 求出此时 的值 若不能 请说明理由 MDNAt 解 1 点 点 点关于原点的对称点分别为 4 0 A 2 0 B 0 8 E 4 0 D 2 0 C 08 F 设抛物线的解析式是 2 C 2 0 yaxbxc a 则 1640 420 8 abc abc c 解得 1 6 8 a b c 所以所求抛物线的解析式是 2 68yxx 2 由 1 可计算得点 31 31 MN 过点作 垂足为 NNHAD H 当运动到时刻 时 t282ADODt 12NHt 根据中心对称的性质 所以四边形是平行四边形 OAODOMON MDNA 所以 2 ADN SS 所以 四边形的面积 MDNA 2 82 12 4148Stttt 因为运动至点与点重合为止 据题意可知 AD04t 所以 所求关系式是 的取值范围是 2 4148Stt t04t 3 781 4 44 St 04t 所以时 有最大值 7 4 t S 81 4 提示 也可用顶点坐标公式来求 4 在运动过程中四边形能形成矩形 MDNA 由 2 知四边形是平行四边形 对角线是 所以当时四边形是矩形 MDNAADMN ADMN MDNA 所以 所以 ODON 2222 ODONOHNH 所以 解之得 舍 22 420tt 12 6262tt 所以在运动过程中四边形可以形成矩形 此时 MDNA62t 点评 本题以二次函数为背景 结合动态问题 存在性问题 最值问题 是一道较传统的压轴题 能力要求较高 2 06 福建龙岩卷 如图 已知抛物线与坐标轴交于三点 点的横坐标为 2 3 4 yxbxc ABC A1 过点的直线与轴交于点 点是线段上的一个动点 于点 若 0 3 C 3 3 4 yx t xQPBCPHOB H 且 5PBt 01t 1 确定的值 bc bc 2 写出点的坐标 其中用含 的式子表示 BQP QP t BQP 3 依点的变化 是否存在 的值 使为等腰三角形 若存在 求出所有 的值 若不存在 说明理PtPQB t 由 解 1 9 4 b 3c 2 4 0 B 4 0 Qt 44 3 Pt t 3 存在 的值 有以下三种情况t 当时PQPB 则PHOB GHHB 4444ttt 1 3 t 当时PBQB 得445tt 4 9 t 当时 如图PQQB 解法一 过作 又QQDBP PQQB y C AOQHB P x C O P Q D B 则 5 22 BP BDt 又BDQBOC BDBQ BOBC 5 44 2 45 t t 32 57 t 解法二 作斜边中线RtOBC OE 则 5 22 BC OEBEBE 此时OEBPQB BEOB BQPB 5 4 2 445tt 32 57 t 解法三 在中有RtPHQ 222 QHPHPQ 222 84 3 44 ttt 2 57320tt 舍去 32 0 57 tt 又01t 当或或时 为等腰三角形 1 3 t 4 9 32 57 PQB 解法四 数学往往有两个思考方向 代数和几何 有时可以独立思考 有时需要综合运用 代数讨论 计算出 PQB 三边长度 均用 t 表示 再讨论分析 Rt PHQ 中用勾股定理计算 PQ 长度 而 PB BQ 长度都可以直接直接用 t 表示 进行 分组讨论即可计算 点评 此题综合性较强 涉及函数 相似性等代数 几何知识 1 2 小题不难 第 3 小题是比较常规的关于等腰 三角形的分类讨论 需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验 在本题中若求出的t值与题目中的 矛盾 应舍去01t 3 如图 1 已知直线与抛物线交于两点 1 2 yx 2 1 6 4 yx AB 1 求两点的坐标 AB 2 求线段的垂直平分线的解析式 AB 3 如图 2 取与线段等长的一根橡皮筋 端点分别固定在两处 用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在ABAB P C O P Q E B C O P Q H B 直线上方的抛物线上移动 动点将与构成无数个三角形 这些三角形中是否存在一个面积最大的三角ABPAB 形 如果存在 求出最大面积 并指出此时点的坐标 如果不存在 请简要说明理由 P 解 1 解 依题意得解之得 2 1 6 4 1 2 yx yx 12 12 64 32 xx yy 63 4 2 AB 2 作的垂直平分线交轴 轴于两点 交于 如图 1 ABxyCD ABM 由 1 可知 3 52 5OAOB 5 5AB 15 22 OMABOB 过作轴 为垂足BBEx E 由 得 BEOOCM 5 4 OCOM OC OBOE 同理 555 00 242 ODCD 设的解析式为CD 0 ykxb k 5 20 4 5 5 2 2 kkb b b 的垂直平分线的解析式为 AB 5 2 2 yx 3 若存在点使的面积最大 则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线PAPB PAB 上 并设该直线与轴 轴交于两点 如图 2 1 2 yxm xyGH y xO y xO P A 图 2图 1 B B A y xO 图 1 D MA C B 第 26 题 2 1 2 1 6 4 yxm yx 2 11 60 42 xxm 抛物线与直线只有一个交点 2 11 4 6 0 24 m 2523 1 44 mP 在直线中 125 24 GHyx 2525 00 24 GH 25 5 4 GH 设到的距离为 OGHd 11 22 125 512525 24224 5 5 2 GH dOG OH d d ABGH AAA 到的距离等于到的距离 P ABOGHd 另解 过 P 做 PC y 轴 PC 交 AB 于 C 当 PC 最大时 PBA 在 AB 边上的高 h 最大 h 与 PC 夹角固定 则 S PBA最大 问题转化为求 PC 最大值 设 P x C x 从而可以表示 PC 长度 进行极 值求取 最后 以 PC 为底边 分别计算 S PBC和 S PAC即可 点评 这是一道涉及二次函数 方程 几何知识的综合压轴题 有一定的能力要求 第 3 小题是一个最值问题 解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题 4 如图 正方形的顶点的坐标分别为 顶点在第一象限 点从点出发 ABCDAB 0108 4 CD PA 沿正方形按逆时针方向匀速运动 同时 点从点出发 沿轴正方向以相同速度运动 当点到达点Q 4 0E xP 时 两点同时停止运动 设运动的时间为 秒 CPQ t 1 求正方形的边长 ABCD y xO P A 图 2 H G B 2 当点在边上运动时 的面积 平方单位 与时间 秒 之间的函数图象为抛物线的一部PABOPQ St 分 如图 所示 求两点的运动速度 PQ 3 求 2 中面积 平方单位 与时间 秒 的函数关系式及面积取最大值时点的坐标 StSP 4 若点保持 2 中的速度不变 则点沿着边运动时 的大小随着时间 的增大而增大 PQ PABOPQ t 沿着边运动时 的大小随着时间 的增大而减小 当点沿着这两边运动时 使的点BCOPQ tP90OPQ 有 个 P 抛物线的顶点坐标是 2 0yaxbxc a 2 4 24 bacb aa 解 1 作轴于 BFy F 0108 4AB 86FBFA 10AB 2 由图 可知 点从点运动到点用了 10 秒 PAB 又 1010 101AB 两点的运动速度均为每秒 1 个单位 PQ 3 方法一 作轴于 则 PGy GPGBF 即 GAAP FAAB 610 GAt 3 5 GAt 3 10 5 OGt 4OQt 113 410 225 SOQ OGtt 即 2 319 20 105 Stt 图 y D A C P B OE Q x 图 O10 t 20 28 s 且 19 19 5 323 2 10 b a 19 010 3 当时 有最大值 19 3 t S 此时 476331 10 51555 GPtOGt 点的坐标为 8 分 P 76 31 155 方法二 当时 5t 163 79 22 OGOQSOG OQ A 设所求函数关系式为 2 20Satbt 抛物线过点 63 10 285 2 100102028 63 25520 2 ab ab 3 10 19 5 a b 2 319 20 105 Stt 且 19 19 5 323 2 10 b a 19 010 3 当时 有最大值 19 3 t S 此时 7631 155 GPOG 点的坐标为 P 76 31 155 4 2 点评 本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识 是近年来较为流行的试题 解题的关键在于结合题目的要 求动中取静 相信解决这种问题不会非常难 5 如图 中 它的顶点的坐标为 顶点的坐标为 RtABC 90B 30CAB A 10 0 B 5 5 3 点从点出发 沿的方向匀速运动 同时点从点出发 沿轴正方向以相同10AB PAABC Q 0 2 D y 速度运动 当点到达点时 两点同时停止运动 设运动的时间为 秒 PCt 1 求的度数 BAO 2 当点在上运动时 的面积 平方单位 与时间 秒 之间的函数图象为抛物线的一部分 PABOPQ St 如图 求点的运动速度 P 3 求 2 中面积与时间 之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标 StSP 4 如果点保持 2 中的速度不变 那么点沿边运动时 的大小随着时间 的增大而增大 PQ PABOPQ t 沿着边运动时 的大小随着时间 的增大而减小 当点沿这两边运动时 使的点有BCOPQ tP90OPQ P 几个 请说明理由 第 29 题图 A C B Q D O P x y 30 10 O5 t S 第 29 题图 解 1 60BAO 2 点的运动速度为 2 个单位 秒 P 3 103 Ptt 05t 1 22 10 2 Stt 2 9121 24 t 当时 有最大值为 9 2 t S 121 4 此时 11 9 3 22 P 4 当点沿这两边运动时 的点有 2 个 P90OPQ P 当点与点重合时 PA90OPQ 当点运动到与点重合时 的长是 12 单位长度 PBOQ 作交轴于点 作轴于点 90OPM yMPHy H 由得 OPHOPM 20 3 11 5 3 OM 所以 从而 OQOM 90OPQ 所以当点在边上运动时 的点有 1 个 PAB90OPQ P 同理当点在边上运动时 可算得 PBC 10 3 1217 8 3 OQ 而构成直角时交轴于 y 35 3 0 3 35 3 20 217 8 3 所以 从而的点也有 1 个 90OCQ 90OPQ P 所以当点沿这两边运动时 的点有 2 个 P90OPQ P 6 本题满分 14 分 如图 直线与轴交于点 与轴交于点 已知二次函数的图象经过124 3 4 xyxAyC 点 和点 AC 0 1 B 1 求该二次函数的关系式 2 设该二次函数的图象的顶点为 求四边形的面积 MAOCM 3 有两动点 同时从点出发 其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按 的路线DEOD 2 3 OACOAC 运动 点以每秒个单位长度的速度沿折线按 的路线运动 当 两点相遇时 它们E4OCAOCADE 都停止运动 设 同时从点出发 秒时 的面积为 S DEOtODE 请问 两点在运动过程中 是否存在 若存在 请求出此时 的值 若不存在 请说明理由 DEDEOCt 请求出 S 关于 的函数关系式 并写出自变量 的取值范围 tt 设是 中函数 S 的最大值 那么 0 S 0 S 解 1 令 则 0 x4 y 令则 0 y3 x 3 0A 0 4C 二次函数的图象过点 0 4C 可设二次函数的关系式为 第 29 题图 y Q M H D O Ax C B P E C A y O B F x M D 4 2 bxaxy 又 该函数图象过点 3 0A 1 0B 0934 04 ab ab 解之 得 3 4 a 3 8 b 所求二次函数的关系式为 4 3 8 3 4 2 xxy 2 4 3 8 3 4 2 xxy 3 16 1 3 4 2 x 顶点 M 的坐标为 16 1 3 过点 M 作 MF轴于 Fx AFMAOCMFOCM SSS 四边形梯形 101 3 16 4 2 1 3 16 13 2 1 四边形 AOCM 的面积为 10 3 不存在 DE OC 若 DE OC 则点 D E 应分别在线段 OA CA 上 此时 在中 12t RtAOC 5AC 设点 E 的坐标为 11 xy 5 44 3 1 t x 5 1212 1 t xDEOC t t 2 3 5 1212 3 8 t 2 不满足 3 8 t12t 不存在 DEOC 根据题意得 D E 两点相遇的时间为 秒 11 24 4 2 3 543 现分情况讨论如下 当时 01t 2 13 43 22 Sttt A 当时 设点 E 的坐标为12t 22 xy 5 445 4 2 t y 5 1636 2 t y tt t tS 5 27 5 12 5 1636 2 3 2 1 2 E C A y O B x M D 当 2 时 设点 E 的坐标为 类似 可得t 11 24 33 xy 5 1636 3 t y 设点 D 的坐标为 44 yx 5 3 2 3 4 4 t y 5 126 4 t y AOEAOD SSS 5 126 3 2 1 5 1636 3 2 1 tt 5 72 5 33 t 80 243 0 S 7 关于的二次函数以轴为对称轴 且与轴的交点在轴上方 x 22 4 22yxkxk yyx 1 求此抛物线的解析式 并在下面的直角坐标系中画出函数的草图 2 设是轴右侧抛物线上的一个动点 过点作垂直于轴于点 再过点作轴的平行线交抛物AyAABxBAx 线于点 过点作垂直于轴于点 得到矩形 设矩形的周长为 点的横坐标为 DDDCxCABCDABCDlAx 试求 关于的函数关系式 lx 3 当点在轴右侧的抛物线上运动时 矩形能否成为正方形 若能 请求出此时正方形的周长 若AyABCD 不能 请说明理由 参考资料 抛物线的顶点坐标是 对称轴是直线 2 0 yaxbxc a 2 4 24 bacb aa 2 b x a 解 1 据题意得 2 40k 2k 当时 2k 2220k 当时 2k 2260k 又抛物线与轴的交点在轴上方 yx2k 抛物线的解析式为 2 2yx 函数的草图如图所示 只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形 状正确即可 2 解 令 得 2 20 x 2x 不时 02x 11 2ADx 2 11 2ABx 2 1111 2 244lABADxx 当时 2x 22 2A Dx 22 22 2 2A Bxx 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 1 234 1 D 1 A 1 B 1 C2 C 2 B 2 A 2 D x y 第 26 题 2 2222 2 244lA DA Bxx 关于的函数关系是 l x 当时 02x 2 244lxx 当时 2x 2 244lxx 3 解法一 当时 令 02x 1111 ABAD 得 2 220 xx 解得 舍 或 13x 13x 将代入 13x 2 244lxx 得 8 38l 当时 令 得 2x 2222 A BA D 2 220 xx 解得 舍 或 13x 13x 将代入 得 13x 2 244lxx 8 38l 综上 矩形能成为正方形 且当时正方形的周长为 当时 正方形的周长为ABCD31x 8 38 31x 8 38 解法二 当时 同 解法一 可得 02x 13x 正方形的周长 11 488 38lADx 当时 同 解法一 可得 2x 13x 正方形的周长 22 488 38lA Dx 综上 矩形能成为正方形 且当时正方形的周长为 当时 正方形的周长为ABCD31x 8 38 31x 8 38 解法三 点在轴右侧的抛物线上 Ay 且点的坐标为 0 x A 2 2 xx 令 则 ABAD 2 22xx 或 2 22xx 2 22xx 由 解得 舍 或 13x 13x 由 解得 舍 或 13x 13x 又 8lx 当时 13x 8 38l 当时 13x 8 38l 综上 矩形能成为正方形 且当时正方形的周长为 当时 正方形的周长为ABCD31x 8 38 31x 8 38 8 已知抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 其中点 B 在 x 轴的正半轴上 点 C 在 y 轴 的正半轴上 线段 OB OC 的长 OB0 则 N R 1 R 代入抛物线的表达式 解得 2 171 R 6 分 当直线 MN 在x轴下方时 设圆的半径为 r r 0 则 N r 1 r 代入抛物线的表达式 解得 2 171 r 7 分 圆的半径为 2 171 或 2 171 7 分 4 过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q 易得 G 2 3 直线 AG 为1 xy 8 分 设 P x 32 2 xx 则 Q x x 1 PQ2 2 xx R R r r 1 1 N N M M AB D Ox y 3 2 2 1 2 xxSSS GPQAPQAPG 9 分 当 2 1 x时 APG 的面积最大 此时 P 点的坐标为 4 15 2 1 8 27 的最大值为 APG S 10 分 11 本小题 12 分 解 1 解方程 x2 10 x 16 0 得 x1 2 x2 8 点 B 在 x 轴的正半轴上 点 C 在 y 轴的正半轴上 且 OB OC 点 B 的坐标为 2 0 点 C 的坐标为 0 8 又 抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x 2 由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为 6 0 A B C 三点的坐标分别是 A 6 0 B 2 0 C 0 8 2 点 C 0 8 在抛物线 y ax2 bx c 的图象上 c 8 将 A 6 0 B 2 0 代入表达式 y ax2 bx 8 得 Error 解得Error 所求抛物