五年级奥数.数论.因数与倍数(A级答案

MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 数论 因数与倍数 A 级 教师版Page 1 of 13 课前预习课前预习 因数与倍数 一天 因数和倍数走到了一起 倍数傲慢地对因数说 哎 哥们 见了我怎么也不下拜呀 我为什么要拜你 你算老几呀 因数气愤地回答 我是老大呀 你是老大 为什么 你说 一个数的倍数有多少个呀 这我知道 一个数的倍数有无数个 只见倍数慢条斯理地说 这就对嘛 一个数的因数的个数就那么可怜的几个 而一个数的倍数有 无数个 你的家庭成员这么少 而我的家庭是这样的庞大 你说 你不应该拜我吗 是的 你的家庭是庞大的 可是 你知道吗 因为你的家庭的庞大 你知道你是老几吗 我们的 家庭成员是有限的 可是 我们都知道我们自己的位置 再说 离开我们这些因数 你们这些倍数还成 立吗 因数理直气壮地回答 只见倍数挠着耳朵 想了想 说 对 其实我们是密不可分的好伙伴 我们谁都离不开谁 刚才 是我不对 我向你道歉了 没有关系 没有关系 你知道自己错了就好 在自然数中 我们谁离开了谁都是不存在的 没有 倍数 我是谁的因数呢 同样 没有因数 你们又是谁的倍数呢 让我们共同携手 紧密团结在一起 永远做好兄弟 因数诚恳地说 因数和倍数两位好伙伴的手紧紧地握在了一起 因数与倍数因数与倍数 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 数论 因数与倍数 A 级 教师版Page 2 of 13 知识框架知识框架 一 约数的概念与最大公约数 0 被排除在约数与倍数之外 1 求最大公约数的方法 分解质因数法分解质因数法 先分解质因数 然后把相同的因数连乘起来 例如 所以 2313 7 11 22 252237 231 252 3 721 短除法 短除法 先找出所有共有的约数 然后相乘 例如 所以 21812 396 32 12 18 236 辗转相除法 辗转相除法 每一次都用除数和余数相除 能够整除的那个余数 就是所求的最大公约数 用辗 转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下 先用小的一个数除大的一个数 得第一个余数 再用第一 个余数除小的一个数 得第二个余数 又用第二个余数除第一个余数 得第三个余数 这样逐次用后一 个余数去除前一个余数 直到余数是 0 为止 那么 最后一个除数就是所求的最大公约数 如果最后的 除数是 1 那么原来的两个数是互质的 例如 求 600 和 1515 的最大公约数 所6003151285 315285130 28530915 301520 1515 和 600 的最大公约数是 15 2 最大公约数的性质 几个数都除以它们的最大公约数 所得的几个商是互质数 几个数的公约数 都是这几个数的最大公约数的约数 几个数都乘以一个自然数 所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 nn 3 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数 其他分数不变 求出各个分数的分母的最小公倍数 a 求出各个分数的分子 的最大公约数 b 即为所求 b a 二 倍数的概念与最小公倍数 1 求最小公倍数的方法 分解质因数的方法 例如 所以 2313 7 11 22 252237 22 231 252237 112772 短除法求最小公倍数 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 数论 因数与倍数 A 级 教师版Page 3 of 13 例如 所以 21812 396 32 18 1223 3236 ab a b a b 2 最小公倍数的性质 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数 两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积 两个数具有倍数关系 则它们的最大公约数是其中较小的数 最小公倍数是较大的数 3 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数 求出各个分数分子的最小公倍数 求出各个分数分母的最大公约数 ab 即为所求 例如 b a 3 5 3 5 15 4 12 4 12 4 注意 两个最简分数的最大公约数不能是整数 最小公倍数可以是整数 例如 1 4 1 4 4 2 32 3 三 最大公约数与最小公倍数的常用性质 1 两个自然数分别除以它们的最大公约数 所得的商互质 两个自然数分别除以它们的最大公约数 所得的商互质 如果为 的最大公约数 且 那么互质 所以 的最小公倍数为mABAma Bmb ab AB 所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系 mab 即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积 ABmambmmab 最大公约数是 及最小公倍数的约数 ABAB AB 2 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积 即 此性质比较简单 学生比较容易掌握 a ba bab 3 对于任意对于任意 3 个连续的自然数 如果三个连续数的奇偶性为个连续的自然数 如果三个连续数的奇偶性为 a 奇偶奇 那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数奇偶奇 那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如 210 就是 567 的最小公倍数567210 b 偶奇偶 那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的偶奇偶 那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍倍 例如 而 6 7 8 的最小公倍数为678336 3362168 性质 3 不是一个常见考点 但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系 即 几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大 四 求约数个数与所有约数的和 1 求任一整数约数的个数 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 数论 因数与倍数 A 级 教师版Page 4 of 13 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后 将每个质因数的指数 次数 加 1 后所得的乘积 如 1400 严格分解质因数之后为 所以它的约数有 3 1 2 1 1 1 4 3 2 24 个 32 257 包括 1 和 1400 本身 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点 授课时应重点讲解 公式的推导过程是建立在开篇 讲过的数字 唯一分解定理 形式基础之上 结合乘法原理推导出来的 不是很复杂 建议给学生推导 并要求其掌握 难点在于公式的逆推 有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用 即 先告诉一个数有多少个约数 然后再结合其他几个条件将原数 还原构造 出来 或者是 构造出可能 的最值 2 求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后 将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数 的最高次幂求和 然后再将这些得到的和相乘 乘积便是这个合数的所有约数的和 如 所以 21000 所有约数的和为 33 2100023 57 2323 1222 13 1555 17 74880 此公式没有第一个公式常用 推导过程相对复杂 需要许多步提取公因式 建议帮助学生找规律性 的记忆即可 重难点重难点 重点 重点 分解质因数法是一个数论重点方法 本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并 且灵活运用 难点 难点 在对质数和合数的基本认识 在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用 例题精讲例题精讲 例 1 用一个数去除 30 60 75 都能整除 这个数最大是多少 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 数论 因数与倍数 A 级 教师版Page 5 of 13 巩固 一个数用 3 4 5 除都能整除 这个数最小是多少 例 2 有三根铁丝 长度分别是 120 厘米 180 厘米和 300 厘米 现在要把它们截成相等的小段 每根 都不能有剩余 每小段最长多少厘米 一共可以截成多少段 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 数论 因数与倍数 A 级 教师版Page 6 of 13 巩固 加工某种机器零件 要经过三道工序 第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零件 第二道工序 每个工人每小时可完成 10 个 第三道工序每个工人每小时可完成 5 个 要使加工生产均衡 三道工序至 少各分配几个工人 例 3 一次会餐供有三种饮料 餐后统计 三种饮料共用了 65 瓶 平均每 2 个人饮用一瓶 A 饮料 每 3 人饮用一瓶 B 饮料 每 4 人饮用一瓶 C 饮料 问参加会餐的人数是多少人 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 数论 因数与倍数 A 级 教师版Page 7 of 13 巩固 一张长方形纸 长 2703 厘米 宽 1113 厘米 要把它截成若干个同样大小的正方形 纸张不能有 剩余且正方形的边长要尽可能大 问 这样的正方形的边长是多少厘米 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 数论 因数与倍数 A 级 教师版Page 8 of 13 例 4 用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数 巩固 求 1008 1260 882 和 1134 四个数的最大公约数是多少 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 数论 因数与倍数 A 级 教师版Page 9 of 13 例 5 求 21672 和 11352 的最小公倍数 例 5 把一张长 1 米 3 分米 5 厘米 宽 1 米 5 厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块 而没有剩余 问 能裁成最大的正方形纸块的边长是多少 共可裁成几块 巩固 一个房间长 450 厘米 宽 330 厘米 现计划用方砖铺地 问需要用边长最大为多少厘米的方砖 多少块 整块 才能正好把房间地面铺满 例 7 现有三个自然数 它们的和是 1111 这样的三个自然数的公约数中 最大的可以是多少 巩固 用这九个数码可以组成个没有重复数字的九位数 求这些数的最大公约数 19 例 8 两个自然数的和是 50 它们的最大公约数是 5 试求这两个数的差 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 数论 因数与倍数 A 级 教师版Page 10 of 13 巩固 一次考试 参加的学生中有得优 得良 得中 其余的得差 已知参加考试的学生不满 1 7 1 3 1 2 50 人 那么得差的学生有多少人 例 9 甲 乙两数的最小公倍数是 90 乙 丙两数的最小公倍数是 105 甲 丙两数的最小公倍数是 126 那么甲数是多少 例 10 已知两个自然数的积为 240 最小公倍数为 60 求这两个数 巩固 已知两数的最大公约数是 21 最小公倍数是 126 求这两个数的和是多少 课堂检测课堂检测 1 教师节那天 某校工会买了 320 个苹果 240 个桔子 200 个鸭梨 用来慰问退休的教职工 问用这 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 数论 因数与倍数 A 级 教师版Page 11 of 13 些果品 最多可以分成多少份同样的礼物 同样的礼物指的是每份礼物中苹果 桔子 鸭梨的个数彼此相 等 在每份礼物中 苹果 桔子 鸭梨各多少个 2 用 2 3 4 5 6 7 这六个数码组成两个三位数 A 和 B 那么 A B 540 这三个数的最大公约数最 大可能是 3 一个两位数有 6 个约数 且这个数最小的 3 个约数之和为 10 那么此数为几 4 一次考试 参加的学生中有得优 得良 得中 其余的得差 已知参加考试的学生不满 100 人 1 7 1 4 1 3 那么得差的学生有多少人 5 有甲 乙 丙三个人在操场跑道上步行 甲每分钟走 80 米 乙每分钟走 120 米 丙每分钟走 70 米 已知操场跑道周长为 400 米 如果三个人同时同向从同一地点出发 问几分钟后 三个人可以首次 相聚 MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 数论 因数与倍数 A 级 教师版Page 12 of 13 6 已知两个自然数的最大公约数为 4 最小公倍数为 120 求这两个数 复习总结复习总结 1 质数与合数 一个数除了 1 和它本身 不再有别的约数 这个数叫做质数 也叫做素数 一个数 除了 1 和它本身 还有别的约数 这个数叫做合数 要特别记住 1 不是质数 也不是合数 2 质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数 那么就说这个质数是这个数的质因数 把一 个合数用质因数相乘的形式表示出来 叫做分解质因数 家庭作业家庭作业 1 有 336 个苹果 252 个桔子 210 个梨 用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物 在每份礼物中 三样水果各多少 2 把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友 分完后梨剩下 2 个 而苹果还缺 2 个