例说二项式定理的常见题型及解法

例说二项式定理的常见题型及解法例说二项式定理的常见题型及解法 二项式定理的问题相对较独立 题型繁多 解法灵活且比较难掌握 二项式定理既是排列组合的直 接应用 又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系 二项式定理在每年的高考中 基本上都有考到 题型多为选择题 填空题 偶尔也会有大题出现 本文将针对高考试题中常见的二 项式定理题目类型一一分析如下 希望能够起到抛砖引玉的作用 一 求二项展开式一 求二项展开式 1 1 型的展开式型的展开式 n ba 例 1 求的展开式 4 1 3 x x 解 原式 4 13 x x 2 4 13 x x 3 3 3 3 14 4 3 4 2 2 4 3 1 4 4 0 42CCCCC xxxx x 112548481 1 234 2 xxxx x 54 112 8481 2 2 xx xx 小结 这类题目一般为容易题目 高考一般不会考到 但是题目解决过程中的这种 先化简在展 开 的思想在高考题目中会有体现的 2 2 型的展开式型的展开式 n ba 例 2 求的展开式 4 1 3 x x 分析 解决此题 只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式 4 1 3 x x 4 1 3 x x 展开即可 本题主要考察了学生的 问题转化 能力 3 3 二项式展开式的 二项式展开式的 逆用逆用 例 3 计算 cCCC n n nn nnn 3 1 27931 321 解 原式 nnn nnnnnCCCCC 2 31 3 3 3 3 3 3 3 2 2 1 10 小结 公式的变形应用 正逆应用 有利于深刻理解数学公式 把握公式本质 二 通项公式的应用二 通项公式的应用 1 1 确定二项式中的有关元素 确定二项式中的有关元素 例 4 已知的展开式中的系数为 常数的值为 9 2 x x a 3 x 4 9 a 解 9 2 3 9 2 9 9 91 2 1 2 r r r rrrrr r xaC x x a CT 令 即39 2 3 r8 r 依题意 得 解得 4 9 2 1 89488 9 aC1 a 2 2 确定二项展开式的常数项 确定二项展开式的常数项 例 5 展开式中的常数项是 10 3 1 x x 解 r rrrrr r xC x xCT 6 5 5 10 3 10 101 1 1 令 即 0 6 5 5 r6 r 所以常数项是210 1 6 10 6 C 3 3 求单一二项式指定幂的系数 求单一二项式指定幂的系数 例 6 03 全国 展开式中的系数是 92 2 1 x x 9 x 解 rr r r x xT C 2 1 92 9 1 rrr r x x C 1 2 1 218 9 xr r x C 318 9 2 1 令则 从而可以得到的系数为 填 9318 x3 r 9 x 2 21 2 1 3 3 9 C 2 21 三 求几个二项式的和 积 的展开式中的条件项的系数三 求几个二项式的和 积 的展开式中的条件项的系数 例 7 的展开式中 的系数等于 5432 1 1 1 1 1 xxxxx 2 x 解 的系数是四个二项展开式中 4 个含的 则有 2 x 2 x 20 1 1 1 1 3 5 2 4 1 3 0 2 33 5 22 4 11 3 00 2 CCCCCCCC 例 8 02 全国 的展开式中 项的系数是 72 2 1 xx 3 x 解 在展开式中 的来源有 3 x 第一个因式中取出 则第二个因式必出 其系数为 2 xx 6 6 7 2 C 第一个因式中取出 1 则第二个因式中必出 其系数为 3 x 4 4 7 2 C 的系数应为 填 3 x 1008 2 2 4 4 7 6 6 7CC 1008 四 利用二项式定理的性质解题四 利用二项式定理的性质解题 1 1 求中间项求中间项 例 9 求 的展开式的中间项 10 3 1 x x 解 展开式的中间项为 1 3 10 10 1 rr r r x xT C 5 3 5 5 10 1 x x C 即 6 5 252x 当为奇数时 的展开式的中间项是和 n n ba 2 1 2 1 2 1 nn n n ba C 2 1 2 1 2 1 nn n n ba C 当为偶数时 的展开式的中间项是 n n ba 22 2 nn n n ba C 2 2 求有理项求有理项 例 10 求的展开式中有理项共有 项 10 3 1 x x 解 3 4 10 10 3 10 10 1 1 1 r r r rr r r x x rT CC 当时 所对应的项是有理项 故展开式中有理项有 4 项 9 6 3 0 r 当一个代数式各个字母的指数都是整数时 那么这个代数式是有理式 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数 或说是不可约分数 时 那么这个代数式是 无理式 3 3 求系数最大或最小项求系数最大或最小项 1 1 特殊的系数最大或最小问题特殊的系数最大或最小问题 例 11 00 上海 在二项式的展开式中 系数最小的项的系数是 11 1 x 解 rr r r xT C 1 11 11 1 要使项的系数最小 则 必为奇数 且使为最大 由此得 从而可知最小项 r C r 11 5 r 的系数为462 1 5 5 11 C 2 2 一般的系数最大或最小问题一般的系数最大或最小问题 例 12 求展开式中系数最大的项 8 4 2 1 x x 解 记第 项系数为 设第项系数最大 则有r r Tk 又 那么有 1 1 kk kk TT TT 1 1 8 2 r r rC T k k k k k k k k CC CC 2 2 2 2 8 1 1 8 2 2 8 1 1 8 即 8 8 2 9 1 8 2 10 2 8 9 1 8 KKKK KKKk KK KK 1 9 2 2 2 1 1 解得 43 k 系数最大的项为第 3 项和第 4 项 2 5 3 7xT 2 7 4 7xT 3 3 系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项 例 13 在 的展开式中 系数绝对值最大项是 7 yx 解 求系数绝对最大问题都可以将 型转化为型来处理 n ba n ba 故此答案为第 4 项 和第 5 项 43 4 7 yx C 52 5 7 yx C 五 利用五 利用 赋值法赋值法 求部分项系数 二项式系数和求部分项系数 二项式系数和 例 14 若 4 4 3 3 2 210 4 32 xaxaxaxaax 则的值为 2 31 2 420 aaaaa 解 4 4 3 3 2 210 4 32 xaxaxaxaax 令 有 1 x 43210 4 32 aaaaa 令 有1 x 32 31420 4 aaaaa 故原式 3142043210 aaaaaaaaaa 44 32 32 1 1 4 在用 赋值法 求值时 要找准待求代数式与已知条件的联系 一般而言 特殊值在解题过0 1 1 程中考虑的比较多 例 15 设 01 5 5 6 6 6 12 axaxaxax 则 6210 aaaa 分析 解题过程分两步走 第一步确定所给绝对值符号内的数的符号 第二步是用赋值法求的化 简后的代数式的值 解 rr r r xT C 1 2 6 6 1 65432106210 aaaaaaaaaaa 5316420 aaaaaaa 0 六 利用二项式定理求近似值 例 16 求的近似值 使误差小于 6 998 0 001 0 分析 因为 故可以用二项式定理展开计算 6 998 0 6 002 0 1 解 6 998 0 6 002 0 1 621 002 0 002 0 15 002 0 61 001 0 00006 0 002 0 15 002 0 22 2 6 3 CT 且第 3 项以后的绝对值都小于 001 0 从第 3 项起 以后的项都可以忽略不计 6 998 0 6 002 0 1 002 0 61 988 0 012 0 1 小结 由 当的绝对值与 1 相比很小且很大时 n n nnn n xxxx CCC 1 1 2 21 xn 等项的绝对值都很小 因此在精确度允许的范围内可以忽略不计 因此可以用近似计算 n xxx 32 公式 在使用这个公式时 要注意按问题对精确度的要求 来确定对展开式中各nxx n 1 1 项的取舍 若精确度要求较高 则可以使用更精确的公式 2 2 1 1 1 x nn nxx n 利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目 但是按照新课标要求 对高中学生 的计算能力是有一定的要求 其中比较重要的一个能力就是估算能力 所以有必要掌握利用二项式 定理来求近似值 七 利用二项式定理证明整除问题七 利用二项式定理证明整除问题 例 17 求证 能被 7 整除 15151 证明 15151 1 249 51 1 2 2 49 2 49 2 49 49 51 51 51 50 50 51 249 2 51 50 1 51 51 0