南京、盐城2018届高三一模数学试卷及答案

高三数学试题第 1 页 共 4 页 南京市 盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试 数 学 试 题 总分总分 160 分 考试时间分 考试时间 120 分钟分钟 注意事项 注意事项 1 本试卷考试时间为 120 分钟 试卷满分 160 分 考试形式闭卷 2 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置 否则不给分 3 答题前 务必将自己的姓名 准考证号用 0 5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答 题卡上 参考公式 柱体体积公式 柱体体积公式 其中 其中为底面积为底面积 为高为高 VSh Sh 一一 填填空空题题 本大题共14 小题 每小题5 分 计 70 分 不需写出解答过程 请把答案写在答 题纸的指定位置上 1 已知集合 则 4 0Ax x x 0 1 5B AB I 2 设复数为虚数单位 若为纯虚数 则的值为 zai aR i 1 iz a 3 为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间 现从该县小学六年级 4000 名学生 中随机抽取 100 名学生进行问卷调查 所得数据均在区间 50 100 上 其频率分布直方图 如图所示 则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在 单位 分钟 内 70 80 的学生人数为 4 执行如图所示的伪代码 若 则输出的的值为 0 x y 5 口袋中有形状和大小完全相同的 4 个球 球的编号分别为 1 2 3 4 若从袋中一次随 机摸出 2 个球 则摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率为 6 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合 则实数的值为 2 2ypx 22 1 45 xy p 时间 单位 分钟 频率 组距 50 60 70 80 90 100 0 035 a 0 020 0 010 0 005 第 3 题图 Read x If Then0 x lnyx Else x ye End If Print y 第 4 题图 高三数学试题第 2 页 共 4 页 7 设函数的值域为 若 则实数的取值范围是 1 x x yea e A 0 A a 8 已知锐角满足 则的值为 tan1tan12 9 若函数在区间上单调递增 则实数的取值范围是 sinyx 0 2 10 设为等差数列的前项和 若的前 2017 项中的奇数项和为 2018 n S n an n a 则的值为 2017 S 11 设函数是偶函数 当 x 0 时 若函数 f x f x 3 03 3 1 3 xxx x x 有四个不同的零点 则实数 m 的取值范围是 yf xm 12 在平面直角坐标系中 若直线上存在一点 圆xOy 3 3 yk x P 上存在一点 满足 则实数的最小 22 1 1xy Q3OPOQ k 值为 13 如图是蜂巢结构图的一部分 正六边形的边长均为 1 正六边形的 顶点称为 晶格点 若四点均位于图中的 晶格点 处 A B C D 且的位置所图所示 则的最大值为 A BCDAB 14 若不等式对任意都成立 2 sinsinsin19sinsinkBACBC ABC 则实数的最小值为 k 二 解答题二 解答题 本大题共 6 小题 计 90 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 请把答案写在答题纸的指定区域内 15 本小题满分 14 分 如图所示 在直三棱柱中 点分别是的中点 111 ABCABC CACB M N 11 AB AB 1 求证 平面 BN 1 AMC 2 若 求证 11 AMAB 11 ABAC 16 本小题满分 14 分 在中 角的对边分别为 已知 ABC A B C a b c 5 2 cb 1 若 求的值 2CB cosB A B 第 13 题图 A B C A1 B1 C1 M N 第 15 题图 高三数学试题第 3 页 共 4 页 2 若 求的值 AB ACCA CB cos 4 B 17 本小题满分 14 分 有一矩形硬纸板材料 厚度忽略不计 一边长为 6 分米 另一边足够长 现从中AB 截 取矩形 如图甲所示 再剪去图中阴影部分 用剩下的部分恰好能折卷成一个ABCD 底面是弓形的柱体包装盒 如图乙所示 重叠部分忽略不计 其中是以为OEMFO 圆心 的扇形 且弧 分别与边 相切于点 120EOF EF GHBCADMN 1 当长为 1 分米时 求折卷成的包装盒的容积 BE 2 当的长是多少分米时 折卷成的包装盒的容积最大 BE 18 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系中 椭圆的下顶点为 点xOy 22 22 1 0 xy Cab ab B 是椭圆上异于点的动点 直线分别与轴交于点 且点是线 M NB BM BNx P QQ 段的中点 当点运动到点处时 点的坐标为 OPN 3 3 2 Q 2 3 0 3 1 求椭圆的标准方程 C 2 设直线交轴于点 当点均在轴右侧 且时 求直MNyD M Ny2DNNM 线的方程 BM x y O B N M P Q D 第 18 题图 A D C B E G F O MN H 第 17 题 图甲 N EF G H 第 17 题 图乙 M N 高三数学试题第 4 页 共 4 页 19 本小题满分 16 分 设数列满足 其中 且 为常数 n a 22 1121 nnn aaaaa 2n nN 1 若是等差数列 且公差 求的值 n a0d 2 若 且存在 使得对任意的都 123 1 2 4aaa 3 7 r n m anr m nN 成立 求的最小值 m m 3 若 且数列不是常数列 如果存在正整数 使得对任意的0 n aT n Tn aa 均成立 求所有满足条件的数列中的最小值 nN n aT 20 本小题满分 16 分 设函数 lnf xx b g xaxc x a b cR 1 当时 若函数与的图象在处有相同的切线 求的值 0c f x g x1x a b 2 当时 若对任意和任意 总存在不相等的正实数3ba 0 1 x 0 3 a 使得 求的最小值 12 x x 120 g xg xf x c 3 当时 设函数与的图象交于1a yf x yg x 11 A x y 两点 求证 2212 B xyxx 122121 x xxbx xx 高三数学试题第 5 页 共 4 页 南京市 盐城市南京市 盐城市 20182018 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案数学参考答案 一 填空题一 填空题 本大题共本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 计分 计 7070 分分 1 2 1 3 1200 4 1 5 6 6 1 2 3 7 2 8 9 10 4034 11 12 13 24 3 4 1 0 4 9 1 4 3 14 100 高三数学试题第 6 页 共 4 页 高三数学试题第 7 页 共 4 页 高三数学试题第 8 页 共 4 页 高三数学试题第 9 页 共 4 页 高三数学试题第 10 页 共 4 页 高三数学试题第 11 页 共 4 页 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 计小题 计 90 分分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 请把答案写在答题纸的指定区域内请把答案写在答题纸的指定区域内 15 证明 1 因为是直三棱柱 所以 且 111 ABCABC 11 ABAB 11 ABAB 又点分别是的中点 所以 且 M N 11 AB AB 1 MBA N 1 MBA N 所以四边形是平行四边形 从而 1 A NBM 1 AMBN 4 分 又平面 平面 所以 面 BN 1 AMC 1 AM 1 AMCBN 1 AMC 6 分 2 因为是直三棱柱 所以底面 而侧面 111 ABCABC 1 AA ABC 1 AA 11 ABB A 所以侧面底面 11 ABB A ABC 又 且是的中点 所以 CACB MABCMAB 则由侧面底面 侧面底面 11 ABB A ABC 11 ABB A ABCAB 且底面 得侧面 CMAB CM ABCCM 11 ABB A 8 分 又侧面 所以 1 AB 11 ABB A 1 ABCM 10 分 又 平面 且 11 ABAM 1 AM MC 1 AMC 1 AMMCM 所以平面 1 AB 1 AMC 12 分 又平面 所以 1 AC 1 AMC 11 ABAC 14 分 16 解 1 因为 则由正弦定理 得 5 2 cb 5 sinsin 2 CB 2 分 又 所以 即 2CB 5 sin2sin 2 BB 4sincos5sinBBB 4 分 又是的内角 所以 故 BABC sin0B 5 cos 4 B 6 分 2 因为 所以 则由余弦定理 AB ACCA CB coscoscbAbaC 得 得 222222 bcabac ac 10 分 从而 222 222 2 2 3 5 cos 225 ccc acb B acc 高三数学试题第 12 页 共 4 页 12 分 又 所以 0B 2 4 sin1 cos 5 BB 从而 32422 cos coscossinsin 444525210 BBB 14 分 17 解 1 在图甲中 连接交于点 设 MOEFTOEOFOMR 在中 因为 所以 则Rt OET 1 60 2 EOTEOF 2 R OT 2 R MTOMOT 从而 即 2 R BEMT 22RBE 2 分 故所得柱体的底面积 OEFOEF SSS 扇形 4 分 22 114 sin1203 323 RR 又所得柱体的高 4EG 所以 VSEG 16 4 3 3 答 当长为 1 分米时 折卷成的包装盒的容积BE 为立方分米 6 分 16 4 3 3 2 设 则 所以所得柱体的底面积BEx 2Rx OEFOEF SSS 扇形 222 114 sin120 3 323 RRx 又所得柱体的高 62EGx 所以 其中 VSEG 32 8 2 3 3 3 xx 03x 10 分 令 则由 32 3 0 3 f xxxx 2 363 2 0fxxxx x 解得 2x 12 分 列表如下 x 0 2 2 2 3 fx 0 f x增极大值减 所以当时 取得最大值 2x f x A D C B E G F O MN H T 高三数学试题第 13 页 共 4 页 答 当的长为 2 分米时 折卷成的包装盒的容积最大 BE 14 分 18 解 1 由 得直线的方程为 32 3 3 0 23 NQNQ 3 3 2 yx 2 分 令 得点的坐标为 0 x B 0 3 所以椭圆的方程为 22 2 1 3 xy a 4 分 将点的坐标代入 得 解得 N 3 3 2 2 2 2 3 3 2 1 3a 2 4a 所以椭圆的标准方程为 C 22 1 43 xy 8 分 2 方法一 设直线的斜率为 则直线的方程为 BM 0 k k BM3ykx 在中 令 得 而点是线段的中点 所3ykx 0y 3 P x k QOP 以 3 2 Q x k 所以直线的斜率 BN 0 3 2 3 0 2 BNBQ kkk k 10 分 联立 消去 得 解得 22 3 1 43 ykx xy y 22 34 8 30kxkx 2 8 3 34 M k x k 用代 得 2kk 2 16 3 3 16 N k x k 12 分 又 所以 得 2DNNM 2 NMN xxx 23 MN xx 14 分 故 又 解得 22 8 316 3 23 343 16 kk kk 0k 6 2 k 所以直线的方程为 BM 6 3 2 yx 高三数学试题第 14 页 共 4 页 16 分 方法二 设点的坐标分别为 M N 1122 x yxy 由 得直线的方程为 令 0 3 B BN 1 1 3 3 y yx x 0y 得 1 1 3 3 P x x y 同理 得 2 2 3 3 Q x x y 而点是线段的中点 所以 故 QOP2 PQ xx 12 12 32 3 33 xx yy 10 分 又 所以 得 从而 2DNNM 212 2 xxx 21 2 0 3 xx 12 4 1 3 33yy 解得 21 43 33 yy 12 分 将代入到椭圆 C 的方程中 得 21 21 2 3 43 33 xx yy 22 11 43 1 927 xy 又 所以 即 2 2 1 1 4 1 3 y x 2 1 2 1 4 1 43 3 1 927 y y 2 11 3230yy 解得 舍 或 又 所以点的坐标 1 3y 1 3 3 y 1 0 x M 为 14 分 4 23 33 M 故直线的方程为 BM 6 3 2 yx 16 分 19 解 1 由题意 可得 22 nnn aad add 化简得 又 所以 2 1 0d 0d 1 4 分 2 将代入条件 可得 解得 123 1 2 4aaa 41 4 0 高三数学试题第 15 页 共 4 页 所以 所以数列是首项为 1 公比的等比数列 所以 2 11nnn aaa n a2q 1 2n n a 6 分 欲存在 使得 即对任意都成立 3 7 r 1 2nmnr 1 2nr nm nN 则 所以对任意都成立 1 72nnm 1 7 2n n m nN 8 分 令 则 1 7 2 n n n b 1 1 678 222 nn nnn nnn bb 所以当时 当时 当时 8n 1nn bb 8n 98 bb 8n 1nn bb 所以的最大值为 所以的最小值为 n b 98 1 128 bb m 1 128 10 分 3 因为数列不是常数列 所以 n a2T 若 则恒成立 从而 所以2T 2nn aa 31 aa 42 aa 222 2121 222 1221 aaaa aaaa 所以 又 所以 可得是常数列 矛盾 2 21 0aa 0 21 aa n a 所以不合题意 2T 12 分 若 取 满足恒成立 3T 1 32 2 31 3 3 n nk ankkN nk 3nn aa 14 分 由 得 22 21321 aa aaa 7 则条件式变为 2 11 7 nnn aaa 由 知 2 21 3 7 22 3132321 kkk aaaaa 由 知 2 3 2 1 7 22 3313121 kkk aaaaa 由 知 2 1 3 27 22 3133221 kkk aa aaa 所以 数列 适合题意 所以的最小值为 T3 16 分 20 解 1 由 得 又 所以 lnf xx 1 0f 1 fx x 1 1 f 当时 所以 所以 0c b g xax x 2 b g xa x 1 gab 高三数学试题第 16 页 共 4 页 2 分 因为函数与的图象在处有相同的切线 f x g x1x 所以 即 解得 1 1 1 1 fg fg 1 0 ab ab 1 2 1 2 a b 4 分 2 当时 则 又 设 0 1x 0 0f x 3ba 0 tf x 则题意可转化为方程在上有相异两实根 3 0 a axct t x 0 12 x x 6 分 即关于的方程在上有相异两实根 x 2 3 0 0 axct xat 0 12 x x 所以 得 2 12 12 03 4 3 0 0 3 0 a ctaa ct xx a a x x a 2 03 4 3 0 a ctaa ct 所以对恒成立 2 3 caat 0 0 3 ta 8 分 因为 所以 当且仅当时取等号 03a 2 3 2 3 2 3 2 aa aa 2 3 2 a 又 所以的取值范围是 所以 0t 2 3 aat 3 3c 故的最小值为 c3 10 分 3 当时 因为函数与的图象交于两点 1a f x g x A B 所以 两式相减 得 11 1 22 2 ln ln b xxc x b xxc x 21 12 21 lnln 1 xx bx x xx 12 分 要证明 即证 122121 x xxbx xx 21 12212121 21 lnln 1 xx x xxx xx xx xx 即证 即证 21 2211 lnln11xx xxxx 122 211 1ln1 xxx xxx 高三数学试题第 17 页 共 4 页 14 分 令 则 此时即证 2 1 x t x 1t 1 1ln1tt t 令 所以 所以当时 函数单调递 1 ln1tt t 22 111 0 t t ttt 1t t 增 又 所以 即成立 1 0 1 ln10tt t 1 1lnt t 再令 所以 所以当时 函数单调 ln1m ttt 11 10 t m t tt 1t m t 递减 又 所以 即也成立 1 0m ln10m ttt ln1tt 综上所述 实数满足 12 x x 122121 x xxbx xx 16 分 附加题答案 21 A 解 如图 连接 AEOE 因为直线与 相切于点 所以 DEOEDEOE 又因为垂直于 所以 所以 ADDED ADOEDAEOEA 在 中 所以 5 分OOEOA OEAOAE 由 得 即 DAE OAE DAE FAE 又 ADEAFE AEAE 所以 所以 又 所以 ADEAFE DEFE 4DE 4FE 即到直径的距离为 4 10 分EAB B 解 设是圆上任意一点 则 00 P xy 22 1xy 22 00 1xy 设点在矩阵对应的变换下所得的点为 则 00 P xyM Q x y 0 0 2 0 0 1 xx yy 即 解得 0 0 2xx yy 0 0 1 2 xx yy 5 分 代入 得 即为所求的曲线方程 22 00 1xy 2 2 1 4 x y 10 分 C 解 以极点 O 为原点 极轴为轴建立平面直角坐标系 Oxx 由 得 cos 1 3 coscossinsin 1 33 AB E D FO 第 21 A 图 高三数学试题第 18 页 共 4 页 得直线的直角坐标方程为 320 xy 5 分 曲线 即圆 r 222 xyr 所以圆心到直线的距离为 0302 1 1 3 d 因为直线与曲线 相切 所以 即 cos 1 3 r 0r rd 1r 10 分 D 解 由柯西不等式 得 22222 33 3 1 13 33 xyxy 即 222 4 3 3 xyxy 而 所以 所以 22 31xy 2 4 3 xy 22 33 33 xy 5 分 由 得 所以当且仅当时 3 13 3 2 3 3 xy xy 3 2 3 6 x y 33 26 xy max 2 3 3 xy 所以当取最大值时的值为 xy x 3 2 x 10 分 22 解 1 因为是菱形 所以 又底面 以为原点 直ABCDACBD OP ABCDO 线 分别为轴 轴 轴 建立如图所示空间直角坐标系 OA OB OPxyz 则 2 0 0 A 0 1 0 B 0 0 4 P 2 0 0 C 1 0 2 M 所以 2 0 4 AP 1 1 2 BM 10AP BM 2 5AP 6BM 则 1030 cos 6 2 56 AP BM AP BM APBM 故直线与所成角的余弦值为 5 分APBM 30 6 2 2 1 0 AB 1 1 2 BM M AB C D O P 第 22 题图 x y z 高三数学试题第 19 页 共 4 页 设平面的一个法向量为 ABM nx y z 则 得 令 得 0 0 n AB n BM 20 20 xy xyz 2x 4y 3z 得平面的一个法向量为 ABM 2 4 3 n 又平面的一个法向量为 所以 PAC 0 1 0 OB n 4OB 29n 1OB 则 44 cos 29 29 29 n OB n OB n OB 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ABMPAC 4 29 29 10 分 23 解 1 由条件 011211 2 rrnn nnnnnnnn nf nC CC CrCCnCC 在 中令 得 1n 01 11 11fC C 1 分 在 中令 得 得 2n 0112 2222 2226fC CC C 23f 2 分 在 中令 得 得 3n 011223 333333 332330fC CC CC C 310f 3 分 2 猜想 或 f n 21 n n C f n 1 21 n n C 5 分 欲证猜想成立 只要证等式成立 011211 21 2 nrrnn nnnnnnnnn nCC CC CrCCnCC 方法一 当时 等式显然成立 1n 当时 因为 2n 1 1 1 1 1 rr nn rnnn rCnnC r nrrnrrnr 故 1111 1 rrrrrr nnnnnn rCCrC CnCC 故只需证明 00111111 211111 nrrnn nnnnnnnnn nCnCCnCCnCCnCC 即证 00111111 211111 nrrnn nnnnnnnnn CC