初二数学--勾股定理讲义(经典)

第一章第一章 勾股定理勾股定理 知识点归纳知识点归纳 1 2 3 4 5 6 1 已知直角三角形的两边 求第三边 勾股定理2 求直角三角形周长 面积等问题 3 验证勾股定理成立 1 勾股数的应用 勾股定理勾股定理的逆定理2 判断三角形的形状 3 求最大 最小角的问题 面积问题 求长度问题 最短距离问题 勾股定理的应用 航海问题 网格问题 图形问题 考点一 勾股定理考点一 勾股定理 1 1 对于任意的直角三角形 如果它的两条直角边分别为 对于任意的直角三角形 如果它的两条直角边分别为 a a b b 斜边为 斜边为 c c 那么一定有 那么一定有 222 cba 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2 2 结论 结论 有一个角是有一个角是 30 30 的直角三角形 的直角三角形 30 30 角所对的直角边等于斜边的一半 角所对的直角边等于斜边的一半 有一个角是有一个角是 45 45 的直角三角形是等腰直角三角形 的直角三角形是等腰直角三角形 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 3 3 勾股定理的验证 勾股定理的验证 a b c a b c a b c a b c a b a b a b b a 例题 例题 例例 1 1 已知直角三角形的两边 利用勾股定理求第三边 已知直角三角形的两边 利用勾股定理求第三边 1 1 在 Rt ABC 中 C 90 若 a 5 b 12 则 c 若 a 15 c 25 则 b 若 c 61 b 60 则 a 若 a b 3 4 c 10 则 Rt ABC 的面积是 2 2 如果直角三角形的两直角边长分别为 2n n 1 那么它的斜边长是 1n 2 A 2nB n 1C n2 1D 1n 2 3 3 在 Rt ABC 中 a b c 为三边长 则下列关系中正确的是 A B 222 abc 222 acb C D 以上都有可能 222 cba 4 4 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4 则第三边长的平方是 A 25B 14C 7D 7 或 25 例例 2 2 已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长 面积等问题 已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长 面积等问题 1 1 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12 则它斜边上的高为 2 2 已知 Rt ABC 中 C 90 若 a b 14cm c 10cm 则 Rt ABC 的面积是 A 24B 36 C 48D 60 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 3 3 已知 x y 为正数 且 x2 4 y2 3 2 0 如果以 x y 的长为直角边作一个直角三角形 那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 A 5B 25 C 7D 15 例例 3 3 探索勾股定理的证明 探索勾股定理的证明 有四个斜边为 c 两直角边长为 a b 的全等三角形 拼成如图所示的五边形 利用这个图形 证明勾股定理 A B C M D G H F E 考点二 勾股定理的逆定理考点二 勾股定理的逆定理 1 1 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b ca b c 有关系 有关系 那么这个三角形是 那么这个三角形是 222 cba 直角三角形 直角三角形 2 2 常见的勾股数 常见的勾股数 3n 4n 5n3n 4n 5n 5n 12n 13n 5n 12n 13n 8n 15n 17n 8n 15n 17n 7n 24n 25n 7n 24n 25n 9n 40n 41n 9n 40n 41n n n 为正整数 为正整数 3 3 直角三角形的判定方法 直角三角形的判定方法 如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a b ca b c 有关系 有关系 那么这个三角形是直角三角形 那么这个三角形是直角三角形 222 cba 有一个角是直角的三角形是直角三角形 有一个角是直角的三角形是直角三角形 两内角互余的三角形是直角三角形 两内角互余的三角形是直角三角形 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是直角三角形 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是直角三角形 例题 例题 例例 1 1 勾股数的应用 勾股数的应用 1 1 下列各组数据中的三个数 可作为三边长构成直角三角形的是 A 4 5 6 B 2 3 4 C 11 12 13 D 8 15 17 2 2 若线段 a b c 组成直角三角形 则它们的比为 A 2 3 4 B 3 4 6 C 5 12 13 D 4 6 7 例例 2 2 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 1 1 下面的三角形中 ABC 中 C A B ABC 中 A B C 1 2 3 ABC 中 a b c 3 4 5 ABC 中 三边长分别为 8 15 17 其中是直角三角形的个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 2 若三角形的三边之比为 则这个三角形一定是 21 1 22 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 不等边三角形 3 3 已知 a b c 为 ABC 三边 且满足 a2 b2 a2 b2 c2 0 则它的形状为 A 直角三角形B 等腰三角形 C 等腰直角三角形D 等腰三角形或直角三角形 4 4 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 得到的三角形是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 5 5 若 ABC 的三边长 a b c 满足试判断 ABC 的形状 222 abc20012a16b20c 6 6 ABC 的两边分别为 5 12 另一边为奇数 且 a b c 是 3 的倍数 则 c 应为 此三角形为 例例 3 3 求最大 最小角的问题 求最大 最小角的问题 1 1 若三角形三条边的长分别是 7 24 25 则这个三角形的最大内角是 度 2 2 已知三角形三边的比为 1 2 则其最小角为 3 考点三 勾股定理的应用例题 考点三 勾股定理的应用例题 例例 1 1 面积问题 面积问题 1 1 下图是一株美丽的勾股树 其中所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 若正方形 A B C D 的边长分别是 3 5 2 3 则最大正方形 E 的面积是 A 13 B 26 C 47 D 94 A B C D E S2 S3 S1 A B C S3 S2 S1 图 1 图 2 图 3 3 3 如图 ABC 为直角三角形 分别以 AB BC AC 为直径向外作半圆 用勾股定理说明三个 半圆的面积关系 可得 A S1 S2 S3 B S1 S2 S3 C S2 S3 S1 D 以上都不是 2 2 如图所示 分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形 其面积分别是 S1 S2 S3 则它 们之间的关系是 A S1 S2 S3 B S1 S2 S3 C S2 S3 S1 D S2 S3 S1 例例 2 2 求长度问题 求长度问题 1 小明想知道学校旗杆的高 他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米 当他把绳子的下端拉 开 5 米后 发现下端刚好接触地面 求旗杆的高度 2 2 在一棵树 10m 高的 B 处 有两只猴子 一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处 另外一只 爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外 距离以直线计算 如果两只猴子所经过的距离相等 试问这棵树 有多高 C A D B 例例 3 3 最短路程问题 最短路程问题 1 1 如图 1 已知圆柱体底面圆的半径为 高为 2 AB CD 分别是两底面的直径 AD BC 是母 2 线 若一只小虫从 A 点出发 从侧面爬行到 C 点 则小虫爬行的最短路线的长度是 结果保留根式 AB C D 图 1 2 2 如图 2 有一个长 宽 高为 3 米的封闭的正方体纸盒 一只昆虫从顶点 A 要爬到顶点 B 那么这只昆虫爬行的最短距离为 B A 图 2 例例 4 4 航海问题 航海问题 1 1 一轮船以 16 海里 时的速度从 A 港向东北方向航行 另一艘船同时以 12 海里 时的速度从 A 港向西北方向航行 经过 1 5 小时后 它们相距 海里 2 2 如图 1 某货船以 24 海里 时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处 在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60 的方向上 该货船航行 30 分钟到达 B 处 此时又测得该岛在北偏东 30 的方向上 已知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁 若继续向正东方向航行 该货船有无暗 礁危险 试说明理由 东 东 30 60 BA C M D D B C A 图 1 图 2 3 如图 2 某沿海开放城市 A 接到台风警报 在该市正南方向 260km 的 B 处有一台风中心 沿 BC 方向以 15km h 的速度向 D 移动 已知城市 A 到 BC 的距离 AD 100km 那么台风中心经过多长时 间从 B 点移到 D 点 如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险 正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险 例例 5 5 网格问题 网格问题 1 1 如图 正方形网格中 每个小正方形的边长为 1 则网格上的三角形 ABC 中 边长为无理数 的边数是 A 0 B 1 C 2 D 3 2 2 如图 正方形网格中的 ABC 若小方格边长为 1 则 ABC 是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 以上答案都不对 3 3 如图 小方格都是边长为 1 的正方形 则四边形 ABCD 的面积是 A 25 B 12 5 C 9 D 8 5 B C A A B C D C B A 图 1 图 2 图 3 例例 6 6 图形问题 图形问题 1 1 如图 1 求该四边形的面积 2 2 20102010 四川宜宾 四川宜宾 如图 2 已知 在 ABC中 A 45 AC AB 1 则边 BC 2 3 的长为 4 3 12 13 B C D A 图 1 图 2 3 3 某公司的大门如图所示 其中四边形 是长方形 上部是以 为直径的半圆 其中 2 3 2 现有一辆装满货物的卡车 高 为 2 5 宽为 1 6 问这辆卡车能否通过公司的大门 并说明你的理由 4 4 将一根长 24 的筷子置于地面直径为 5 高为 12 的圆柱形水杯中 设筷子露在杯子外 面的长为 h 则 h 的取值范围 培优提高培优提高 1 1 如图是一张直角三角形的纸片 两直角边AC 6 cm BC 8 cm 现将 ABC折叠 使点B与点A重合 折痕为DE 则BE的长为 A 4 cm B 5 cm C 6 cm D 10 cm A B C D 2 如图所示 在 Rt ABC中 C 90 A 30 BD是 ABC的平分线 CD 5 求AB的 长 3 3 3 如图 正方形网格中的每个小正方形边长都是 1 每个小格的顶点叫格点 以格点为顶点分别 按下列要求画三角形 使三角形的三边长分别为 3 在图甲中画一个即可 85 使三角形为钝角三角形且面积为 4 在图乙中画一个即可 甲 乙 4 4 下列四组线段中 可以构成直角三角形的是 A 1 2 3 B 2 3 4 C 3 4 5 D 4 5 6 5 5 在 ABC 中 AB 6 AC 8 BC 10 则该三角形为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰直角三角形 6 6 已知 ABC是边长为 1 的等腰直角三角形 以 Rt ABC的斜边AC为直角边 画第二个等腰 Rt ACD 再以 Rt ACD的斜边AD为直角边 画第三个等腰 Rt ADE 依此类推 第n个等腰 直角三角形的斜边长是 A B C D EF G 7 7 如图 每个小正方形的边长为 1 的三边的大小关系式 ABC cba A B C D bca cba bac abc 8 本题满分 10 分 问题情境 勾股定理是一条古老的数学定理 它有很多种证明方法 我国汉代数学家赵爽根据