合情推理与演绎推理

第 1 页 共 22 页 合情推理与演绎推理 目标要求 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行 简单的推理 了解合情推理在数学发展中的作用 2 了解演绎推理的 重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推 理 3 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 考查角度 合情推理 1 2014 课标全国卷 甲 乙 丙三位同学被问到是否去过 A B C 三个城市时 甲说 我去过的城市比乙多 但没去过 B 城市 乙说 我没去过 C 城市 丙说 我们三人去过同一城市 由此可判断乙去过的城市为 解 由题意可推断 甲没去过 B 城市 但比乙去的城市多 而 丙说 三人去过同一城市 说明甲去过 A C 城市 而乙没去过 C 城市 说明乙去过城市 A 由此可知 乙去过的城市为 A 答案 A 2 2013 陕西高考 观察下列等式 1 1 2 1 2 1 2 2 22 1 3 3 1 3 2 3 3 23 1 3 5 照此规律 第 n 个等式可为 解 从给出的规律可看出 左边的连乘式中 连乘式个数以及 第 2 页 共 22 页 每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持 一致 其中左边连乘式中第二个加数从 1 开始 逐项加 1 递增 右 边连乘式中从第二个乘数开始 组成以 1 为首项 2 为公差的等差 数列 项数与第几等式保持一致 则照此规律 第 n 个等式可为 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 答案 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 3 2013 湖北高考 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种 多边形数 如三角形数 1 3 6 10 第 n 个三角形数为 n2 n 记第 n 个 k 边形数为 N n k k 3 以下列出了 n n 1 2 1 2 1 2 部分 k 边形数中第 n 个数的表达式 三角形数 N n 3 n2 n 1 2 1 2 正方形数 N n 4 n2 五边形数 N n 5 n2 n 3 2 1 2 六边形数 N n 6 2n2 n 可以推测 N n k 的表达式 由此计算 N 10 24 解 由 N n 4 n2 N n 6 2n2 n 可以推测 当 k 为偶 数时 N n k n2 n 于是 N n 24 11n2 10n 故 k 2 1 k 2 2 N 10 24 11 102 10 10 1 000 答案 1 000 第 3 页 共 22 页 命题规律预测 命题规律 从近几年的高考试题看 对本节内容的考查主要体现在以下两个 方面 1 对归纳推理的考查是命题的热点 对类比推理的考查相对较 弱 2 题型主要以填空题的形式出现 难度中高档 考向预测 预测 2016 年高考仍将以考查归纳推理和类比推理为主 估计试题 难度稍大 对学生的数学能力的考查是重点考查方向 考向一 归纳推理 例 1 2014 陕西高考 已知 f x x 0 若 f1 x f x x 1 x fn 1 x f fn x n N 则 f2 014 x 的表达式为 由 fn 1 x f fn x 分别求出 f2 x f3 x 然后观察 f1 x f2 x f3 x 中等式的分子与分母系数间的关系 猜想 f2 014 x 的表达式 解 f1 x f2 x f3 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 2x 由数学归纳法得 f2 014 x x 1 2x 1 x 1 2x x 1 3x x 1 2 014x 第 4 页 共 22 页 答案 f2 014 x x 1 2 014x 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 1 数的归纳包括数字归纳和式子归纳 解决此类问题时 需要 细心观察 寻求相邻项及项与序号之间的关系 同时还要联系相关 的知识 如等差数列 等比数列等 2 形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳 对点练习 如图 11 2 1 所示 一个质点在第一象限和坐标轴上运动 在 第一秒钟内它由原点运动到点 0 1 然后按图中所示在与 x 轴 y 轴 平行的方向上运动 且每秒移动一个单位长度 那么 2 000 秒后 这个质点所处位置的坐标是 图 11 2 1 A 44 25 B 45 25 C 25 45 D 24 44 解析 质点到达点 1 1 处 走过的单位长度是 2 接下来 质点运动的方向与 y 轴方向相反 第 5 页 共 22 页 质点到达点 2 2 处 走过的单位长度是 6 2 4 接下来质点 运动的方向与 x 轴方向相反 质点到达点 3 3 处 走过的单位长度是 12 2 4 6 接下来 质点运动的方向与 y 轴方向相反 质点到达点 4 4 处 走过的单位长度是 20 2 4 6 8 接下 来质点运动的方向与 x 轴方向相反 猜想 质点到达点 n n 处 走过的单位长度是 2 4 6 2n n n 1 且 n 为偶数时 接下来质点运动的方 向与 x 轴方向相反 n 为奇数时 接下来质点运动的方向与 y 轴方向 相反 所以 2 000 秒后是指该质点到达点 44 44 后 继续移动了 20 个单位 由图中规律可得该质点沿与 x 轴相反的方向前进了 20 个单 位 即该质点所处位置的坐标是 24 44 答案 D 考向二 类比推理 例 2 1 2014 郑州模拟 已知数列 an 为等差数列 若 am a an b n m 1 m n N 则 am n 类比等差数 nb ma n m 列 an 的上述结论 对于等比数列 bn bn 0 n N 若 bm c bn d n m 2 m n N 则可以得到 bm n 第 6 页 共 22 页 2 2014 南昌模拟 在平面上 若两个正三角形的边长为 1 2 则它们的面积比为 1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱 长比为 1 2 则它们的体积比为 1 类比等差和等比数列的性质求解 2 类比平面图形与空间图形的内在联系求解 解 法一 设数列 an 的公差为 d1 则 d1 an am n m b a n m 所以 am n am nd1 a n b a n m bn am n m 类比推导方法可知 设数列 bn 的公比为 q 由 bn bmqn m可知 d cqn m 所以 q 所以 bm n bmqn c n m d c n m d c n n m dn cm 法二 设数列 an 的公差为 d1 数列 bn 的公比为 q 在等差数列中 an a1 n 1 d1 在等比数列中 bn b1qn 1 因为 am n 所以 bm n nb ma n m n m dn cm 2 两个正三角形是相似三角形 它们的面积比是相似比的平 方 同理 两个正四面体是两个相似几何体 体积比为相似比的立 方 它们的体积比为 1 8 答案 1 2 1 8 n m dn cm 类比推理的分类及处理方法 第 7 页 共 22 页 类比推理的应用一般为类比定义 类比性质和类比方法 1 类比定义 在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题 时 可以借助原定义来求解 2 类比性质 从一个特殊式子的性质 一个特殊图形的性质入 手 提出类比推理型问题 求解时要认真分析两者之间的联系与区 别 深入思考两者的转化过程是求解的关键 3 类比方法 有一些处理问题的方法具有类比性 我们可以把 这种方法类比应用到其他问题的求解中 注意知识的迁移 对点练习 在平面上 设 ha hb hc是三角形 ABC 三条边上的高 P 为 三角形内任一点 P 到相应三边的距离分别为 Pa Pb Pc 我们可 以得到结论 1 把它类比到空间 则三棱锥中的类似 Pa ha Pb hb Pc hc 结论为 解 设 ha hb hc hd分别是三棱锥 A BCD 四个面上的高 P 为三棱锥 A BCD 内任一点 P 到相应四个面的距离分别为 Pa Pb Pc Pd 于是我们可以得到结论 1 Pa ha Pb hb Pc hc Pd hd 答案 1 Pa ha Pb hb Pc hc Pd hd 考向三 演绎推理 例 3 数列 an 的前 n 项和记为 Sn 已知 a1 1 an 1 第 8 页 共 22 页 Sn n N 证明 n 2 n 1 数列是等比数列 Sn n 2 Sn 1 4an 按照 三段论 的模式给予求解 证明 1 an 1 Sn 1 Sn an 1 Sn n 2 n n 2 Sn n Sn 1 Sn 即 nSn 1 2 n 1 Sn 故 2 小前提 Sn 1 n 1 Sn n 故是以 2 为公比 1 为首项的等比数列 结论 Sn n 大前提是等比数列的定义 这里省略了 2 由 1 可知 4 n 2 Sn 1 n 1 Sn 1 n 1 Sn 1 4 n 1 4 Sn 1 4an n 2 小前提 Sn 1 n 1 n 1 2 n 1 又 a2 3S1 3 S2 a1 a2 1 3 4 4a1 小前提 对于任意正整数 n 都有 Sn 1 4an 结论 演绎推理的结构特点 1 演绎推理是由一般到特殊的推理 其最常见的形式是三段论 它是由大前提 小前提 结论三部分组成的 三段论推理中包含三 个判断 第一个判断称为大前提 它提供了一个一般的原理 第二 第 9 页 共 22 页 个判断叫小前提 它指出了一个特殊情况 这两个判断联合起来 揭示了一般原理和特殊情况的内在联系 从而产生了第三个判断 结论 2 演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系 解题时要找 准正确的大前提 一般地 若大前提不明确时 一般可找一个使结 论成立的充分条件作为大前提 对点练习 如图 11 2 2 所示 D E F 分别是 BC CA AB 上的点 BFD A 且 DE BA 求证 ED AF 要求注明每一步推理的大 前提 小前提和结论 并最终把推理过程用简略的形式表示出来 图 11 2 2 证明 1 同位角相等 两条直线平行 大前提 BFD 与 A 是同位角 且 BFD A 小前提 所以 DF EA 结论 2 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 大前提 DE BA 且 DF EA 小前提 所以四边形 AFDE 为平行四边形 结论 第 10 页 共 22 页 3 平行四边形的对边相等 大前提 ED 和 AF 为平行四边形的对边 小前提 所以 ED AF 结论 上面的证明可简略地写成 Error Error 四边形 AFDE 是平行四边形 ED AF 例 2014 临沂模拟 如图 11 2 3 所示 坐标纸上的每个单 元格的边长为 1 由下往上的六个点 1 2 3 4 5 6 的横 纵坐标分别 对应数列 an n N 的前 12 项 即横坐标为奇数项 纵坐标为偶数 项 按如此规律下去 则 a2 013 a2 014 a2 015等于 图 11 2 3 A 1 005 B 1 006 C 1 007 D 2 015 解 观察点坐标的规律可知 偶数项的值等于其序号的一半 奇数项的值有正负之分 则 a4n 3 n a4n 1 n a2n n 第 11 页 共 22 页 此处在求解时常因找不出 a4n 3与 a4n 1的关系 导致结论错 误 又 2 013 4 504 3 2 015 4 504 1 a2 013 504 a2 015 504 a2 014 1 007 a2 013 a2 014 a2 015 1007 答案 C 1 正确书写数列 an 的前 n 项 为归纳探索项与项间的关系作 出铺垫 2 仔细观察数列 an 中各项的特征 明确 a2n n a4n 3 a4n 1 0 是解题的关键所在 对点练习 2014 荆州模拟 如图 11 2 4 是网络工作者经常用来解释网络 运作的蛇形模型 数字 1 出现在第 1 行 数字 2 3 出现在第 2 行 数字 6 5 4 从左至右 出现在第 3 行 数字 7 8 9 10 出现在第 4 行 依次类推 则 1 按网络运作顺序第 n 行第 1 个数字 如第 2 行第 1 个 数字为 2 第 3 行第 1 个数字为 4 是 2 第 63 行从左 至右的第 3 个数字应是 第 12 页 共 22 页 图 11 2 4 解 设第 n 行的第 1 个数字构成数列 an 则 an 1 an n 且 a1 1 an 而偶数行的顺序从左到右 奇数行的顺序 n2 n 2 2 从右到左 第 63 行的第 1 个数字为 1 954 从左至右的第 3 个数字 是从右至左的第 61 个数字 从而所求数字为 1 954 60 2 014 答案 2 014 n2 n 2 2 1 下面几种推理过程是演绎推理的是 A 某校高三有 8 个班 1 班有 51 人 2 班有 53 人 3 班有 52 人 由此推测各班人数都超过 50 人 B 由三角形的性质 推测空间四面体的性质 C 平行四边形的对角线互相平分 菱形是平行四边形 所以 菱形的对角线互相平分 D 在数列 an 中 a1 1 an an 1 由此归纳出 an 的 1 2 1 an 1 第 13 页 共 22 页 通项公式 解 A D 是归纳推理 B 是类比推理 C 运用了 三段论 是 演绎推理 答案 C 2 观察 x2 2x x4 4x3 cos x sin x 由归纳推 理可得 若定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 记 g x 为 f x 的 导函数 则 g x A f x B f x C g x D g x 解 由所给等式知 偶函数的导数是奇函数 f x f x f x 是偶函数 从而 g x 是奇函数 g x g x 答案 D 3 正弦函数是奇函数 f x sin x2 1 是正弦函数 因此 f x sin x2 1 是奇函数 以上推理 A 结论正确 B 大前提不正确 C 小前提不正确 D 全不正确 解 f x sin x2 1 不是正弦函数 上述推理过程中小前提 不正确 答案 C 4 通过圆与球的类比 由 半径为 R 的圆的内接矩形中 以正 方形的面积为最大 最大值为 2R2 猜想关于球的相应命题为 第 14 页 共 22 页 A 半径为 R 的球的内接六面体中 以正方体的体积为最大 最大值为 2R2 B 半径为 R 的球的内接六面体中 以正方体的体积为最大 最大值为 3R3 C 半径为 R 的球的内接六面体中 以正方体的体积为最大 最大值为 4 3R3 9 D 半径为 R 的球的内接六面体中 以正方体的体积为最大 最大值为 8 3R3 9 解 正方形类比到空间的正方体 即半径为 R 的球的内接六面 体中 以正方体的体积为最大 此时正方体的棱长 a 故其体 2R 3 积是 3 故选 D 2R 3 8 3R3 9 答案 D 合情推理与演绎推理练习 一 选择题 1 如图 11 2 5 是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪 烁所成的三个图形 照此规律闪烁 下一个呈现出来的图形是 图 11 2 5 第 15 页 共 22 页 解 该五角星对角上的两盏花灯依次按顺时针方向亮两盏 故 下一个呈现出来的图形是 A 答案 A 2 数列 2 5 11 20 32 x 中的 x 等于 A 28 B 32 C 33 D 47 解 由数与数间的关系 我们发现相邻两数间依次相差 3 6 9 12 15 故 x 32 15 47 答案 D 3 观察下列各式 1 12 2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 72 可以得出的一般结论是 A n n 1 n 2 3n 2 n2 B n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 C n n 1 n 2 3n 1 n2 D n n 1 n 2 3n 1 2n 1 2 解 由前四个等式我们发现第 n 个等式左边共有 2n 1 项 故 为 n n 1 3n 2 2n 1 2 答案 B 4 定义一种运算 对于自然数 n 满足以下运算性质 1 1 第 16 页 共 22 页 A n B n 1 C n 1 D n2 解 由 n 1 1 n 1 1 得 n 1 n 1 1 1 n 2 1 2 1 答案 A 5 2014 银川模拟 当 x 0 时可得到不等式 x 2 x 2 3 由此可以推广为 x n 1 取 1 x 4 x2 x 2 x 2 2 x p xn 值 p 等于 A nn B n2 C n D n 1 解 x 0 时可得到不等式 x 2 x 2 3 在 p 位置出现的数恰好是不等式 1 x 4 x2 x 2 x 2 2 x 左边分母 xn的指数 n 的指数次方 即 p nn 答案 A 6 2014 长春模拟 类比 两角和与差的正弦公式 的形式 对 于给定的两个函数 S x ax a x C x ax a x 其中 a 0 且 a 1 下面正确 的运算公式是 S x y S x C y C x S y S x y S x C y C x S y 2S x y S x C y C x S y 2S x y S x C y C x S y A B C D 解 经验证易知 错误 依题意 注意到 2S x y 第 17 页 共 22 页 2 ax y a x y S x C y C x S y 2 ax y a x y 因此有 2S x y S x C y C x S y 同理有 2S x y S x C y C x S y 综上所述 选 B 答案 B 二 填空题 7 2014 陕西高考 观察分析下表中的数据 多面体面数 F 顶点数 V 棱数 E 三棱柱569 五棱锥6610 立方体6812 猜想一般凸多面体中 F V E 所满足的等式是 解 观察分析 归纳推理 观察 F V E 的变化得 F V E 2 答案 F V E 2 8 2014 安徽高考 如图 11 2 6 在等腰直角三角形 ABC 中 斜边 BC 2 过点 A 作 BC 的 2 垂线 垂足为 A1 过点 A1作 AC 的垂线 垂足为 A2 过点 A2作 A1C 的垂线 垂足为 A3 依此类推 设 BA a1 AA1 a2 A1A2 a3 A5A6 a7 则 a7 图 11 2 6 解 根据题意易得 a1 2 a2 a3 1 2 第 18 页 共 22 页 an 构成以 a1 2 q 的等比数列 2 2 a7 a1q6 2 6 2 2 1 4 答案 1 4 9 二维空间中圆的一维测度 周长 l 2 r 二维测度 面积 S r2 观察发现 S l 三维空间中球的二维测度 表面积 S 4 r2 三维测度 体积 V r3 观察发现 V S 则四维空间中 4 3 超球 的四维测度 W 2 r4 猜想其三维测度 V 解 由已知 可得圆的一维测度为二维测度的导函数 球的二 维测度是三维测度的导函数 类比上述结论 超球 的三维测度是 四维测度的导函数 即 V W 2 r4 8 r3 答案 8 r3 三 解答题 10 2012 福建高考 某同学在一次研究性学习中发现 以下五 个式子的值都等于同一个常数 sin213 cos217 sin 13 cos 17 sin215 cos215 sin 15 cos 15 sin218 cos212 sin 18 cos 12 sin2 18 cos248 sin 18 cos 48 sin2 25 cos255 sin 25 cos 55 1 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 2 根据 1 的计算结果 将该同学的发现推广为三角恒等式 并 第 19 页 共 22 页 证明你的结论 解 1 选择 式 计算如下 sin215 cos215 sin 15 cos 15 1 sin 30 1 2 3 4 2 归纳三角恒等式 sin2 cos2 30 sin cos 30 3 4 证明如下 sin2 cos2 30 sin cos 30 sin cos 30 cos sin 30 sin 1 cos 2 2 1 cos 60 2 2 cos 2 cos 60 cos 2 sin 60 sin 2 sin cos 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 sin2 1 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1 cos 2 1 2 1 2 1 2 1 4 3 4 3 4 1 4 1 cos 2 cos 2 1 4 1 4 1 4 3 4 11 2014 阜阳模拟 在 Rt ABC 中 AB AC AD BC 于 D 求证 那么在四面体 ABCD 中 类比上述结 1 AD2 1 AB2 1 AC2 论 你能得到怎样的猜想 并说明理由 证明 如图所示 由射影定理 AD2 BD DC AB2 BD BC 第 20 页 共 22 页 AC2 BC DC 1 AD2 1 BD DC BC2 BD BC DC BC BC2 AB2 AC2 又 BC2 AB2 AC2 1 AD2 AB2 AC2 AB2 AC2 1 AB2 1 AC2 猜想 四面体 ABCD 中 AB AC