随机信号课后习题答案2

2 1 随机过程 其中为常数 A B 是两个相互独立tBtAtX sincos 的高斯变量 并且 求 X t 的数学期望和0 BEAE 222 BEAE 自相关函数 解 sin cos sincos tBEtAEtBtAEtXE tBEtAE sin cos 0 0 BEAE sincos sincos 22112121 tBtAtBtAEtXtXEttRX sinsincossinsincoscoscos 21 2 212121 2 ttBttABttABttAE 21 2 212121 2 sinsin cossin sincos coscos ttBEttBEAEttBEAEttAE 21 2 21 2 sinsin coscos ttBEttAE 22 XEXDXE cos 12 2 tt cos 2 12 tt 2 2 若随机过程 X t 在均方意义下连续 证明它的数学期望也必然连续 证 由均方连续的定义 0 lim 2 0 tXttXE t 展开左式为 lim 22 0 tXtXttXtXttXttXE t 0 lim 0 tXttXtXEtXttXttXE t 固有 证得数学期望连续 0 lim 0 tXEttXE t 2 3 证明随机过程存在均方导数的充分条件是 自相关函数在他的自变量相等 时存在二阶偏导数 21 21 21 2 tt tt ttR 证 1 21211 0 1 21211 0 1 21 lim lim 11t tXtXEtXttXE t ttRtttR t ttR t X t 1 1112 0 1 21211 0 lim lim 11t tXttXtXE t tXtXtXttXE tt 21 111211122 0 0 21 21 2 lim 21tt tXttXtXEtXttXttXE tt ttR tt 在时存在 lim 21 111222 0 0 21tt tXttXtXttX E tt 21 tt 也就是存在 lim 2 0 t tXttX E t 2 4 判断随机过程是否平稳 其中为常数 A 分别为 cos tAtX 均匀分布和瑞利分布的随机变量 且相互独立 20 2 1 f0 2 2 2 2 ae a af a A 解 0 2 1 cos cos 2 0 d t tE 0 cos cos tEAE tAEtXE cos 22 cos 2 1 cos cos 22 tEAE t tAEttRX 与时间的起点无关 且 cos 2 1 2 AE 2 tXE 因此 是广义平稳的随机过程 2 5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量 A B 构成的随机过程 tBtAtX 00 sincos 是宽平稳而不一定是严平稳的 其中为常数 A B 的数学期望为零 方差t 0 相同 2 证 0sin cos 00 tBEtAEtXE sin cos sincos 0000 tBtAtBtAEttRX sinsin cossin sincos coscos 00 2 000000 2 ttBttABttABttAE 200 2 000000 2 sinsin cossin sincos coscos ttBE ttBEAEttBEAEttAE sinsin coscos 00 2 00 2 ttBEttAE 22 XEXDXE 0 2 cos 2 tXE 因此 是广义平稳的随机过程 sincos sincos sincos 303020201010321 tBtAtBtAtBtAEtttRX sincos sinsincossinsincoscoscos 30302010 2 201020102010 2 tBtAttBttABttABttAE sin sinsincossinsincoscoscos cos sinsincossinsincoscoscos 302010 3 2010 2 2010 2 2010 2 302010 2 2010 2 2010 2 2010 3 tttBttABttABttBAE tttABttBAttBAttAE sinsinsin coscoscos 302010 3 302010 3 tttBEtttAE 可见 该随机过程构不成三阶平稳 因此不符合严平稳过程的要求 第六次作业 练习二之 6 7 8 9 10 题 2 6 有三个样本函数组成的随机过程 ttxttxtxsin3 cos2 2 321 tX 每个样本函数发生的概率相等 是否满足严平稳或宽平稳的条件 解 sin3 cos2 2 321 tttxtxtxtX 3 1 321 PPP 3 1 sin3cos22 3 1 i ii ttPtxtXE 由于数学期望与时间相关 不为常数 因此不满足一阶平稳 也就不满足 严平稳或宽平稳的条件 2 7 已知随机过程 为在 内均匀分布的随机变量 cos tAtX 2 0 A 可能是常数 时间函数或随机变量 A 满足什么条件时 是各态历经过 tX 程 解 1 考查为平稳过程的条件 tX 在 A 为常数或与不相关的随机变量时 满足 cos cos 0 2 t tAEtXtXEttR tXE X cos 22 cos 2 1 2 E tEAE cos 2 1 2 AE X R 2 考查为各态历经过程的条件 tX 在 A 为常数或与不相关的随机变量时 满足 coslim cos 2 1 lim 2 1 lim tXE0T sin T A dt tA T dttX T tX T T T T T T T 而 T T T T T T dt t tA T dttXtX T tXtX cos cos 2 1 lim 2 1 lim 2 T T T dt t A T cos 22 cos 22 1 lim 2 cos 2 2 A 只有在 A 为常数时 满足 tXtX X R 欲使是各态历经过程 A 必为常数 tX 2 8 设和是相互独立的平稳随机过程 他们的乘积是否平稳 tX tY 解 令 tYtXtZ YXm mtYEtXEtYtXEtZE ZYX Z RRRtYtYEtXtXE tYtXtYtXEttR 又 222 tYtXEtZE 和的乘积是平稳的 tX tY 2 9 求用自相关函数及功率谱密度表示的的自相关 tX cos 0 ttXtY 函数及功率谱密度 其中 为在 内均匀分布的随机变量 是与 2 0 tX 相互独立的随机过程 解 cos cos 00 ttX ttXEtYtYEttRY cos cos 00 t tEtXtXE 0 cos 2 1 X R Y R 4 1 4 1 4 1 cos 2 1 00 0 00 00 XX jj X jjj X j X j YY SS deeR deeeR deRdeRS 2 10 平稳高斯过程的自相关函数为 求的一维和二维 tX eRX 2 1 tX 概率密度 解 0 2 1 lim lim 2 eRRm XXX 0 X m 2 1 0 2 XXX RR 1 的一维概率密度 tX 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x X eetxf 2 平稳高斯过程 n 维概率密度等于 n 个以为概率密度的乘积 2 2 2121 1 x X ettxxf 2 11 对于两个零均值联合平稳随机过程和 已知 说 tX tY10 5 22 YX 明下列函数是否可能为他们的自相关函数 并说明原因 3 3 5 5 46 3 6cos 1 2 euR eR eR X Y Y eR R R X X Y 5 6 5sin 5 4 3 3sin 5 2 2 解 a 自相关函数是偶函数 仅有 1 2 3 6 满足 b a 中仅有 2 3 6 满足 0 XX RR c 对于非周期平稳过程有 b 中仅有 6 满足 0 2 XXX RR 因此 6 是自相关函数 2 12 求随机相位正弦信号的功率谱密度 为在 内均 cos 0 ttX 2 0 匀分布的随机变量 是常数 0 解 0 00 cos 2 1 cos cos t tEtXtXEttRX 2 cos 2 1 00 0 dedeRS jj XX 2 13 已知随机过程 式中是常数 是平稳过程 并且 n i ii tXatX 1 i a tXi 相互之间是正交的 若表示的功率普密度 证明功率谱密度为 Xi S tXi tX 1 2 Xi n i iX SaS 证 因是平稳过程 并且相互之间是正交的 tXijiRij 0 11 n i ii n i iiX tXatXaEtXtXER 1 2 1 2 Xi n i iii n i i RatXtXEa 1 2 1 2 Xi n i i j Xi n i i j XX SadeRadeRS 2 14 由和联合平稳过程定义了一个随机过程 tX tY ttYttXtV 00 sin cos 1 和的数学期望和自相关函数满足那些条件可使是平稳过程 tX tY tV 2 将 1 的结果用到 求以和的功率谱密度和互谱密度表示 tV tX tY 的的功率谱密度 tV 3 如果和不相关 那么的功率谱密度是什么 tX tY tV 解 1 ttYEttXEttYttXEtVE 0000 sin cos sin cos 欲使与时间无关 不随时间函数 t 变化 和 tVEt 0 cos 0 sin tX 的数学期望必须是 tY0 0 tYEtXE sinsin cossin sincos coscos sinsin cossin sincos coscos sin cos sin cos 0000 0000 0000 0000 0000 ttRttR ttRttR tttYtYEtttXtYE tttYtXEtttXtXE ttYttXttYttXE tVtVEttR YYX XYX V 在时 上式可写作与时间起点无关的表达式 YXXYYX RRRR 00 sin cos XYXV RRR 因此 当 时 0 0 tYEtXE YXXYYX RRRR 是平稳过程 tV 2 对两边同时作傅氏变换 00 sin cos XYXV RRR 2 1 2 1 sin cos 0000 00 XYXYXX j XYX j VV SSSS deRRdeRS 3 和不相关 的互功率谱密度为零 tX tY tV 2 1 00 XX