《二次根式》培优专题一

1 二次根式培优专题二次根式培优专题 一 一 基础知识精讲基础知识精讲 1 1 二次根式 二次根式 形如 其中 的式子叫做二次根式 aa 2 2 最简二次根式 最简二次根式 必须同时满足下列条件 被开方数中不含开方开得尽的不含开方开得尽的 被开方数中不含不含 分母中不含不含 3 3 同类二次根式 同类二次根式 二次根式化成 后 若 相同 则这几个二次根式就是同类二次根式 4 4 二次根式的性质 二次根式的性质 1 2 其中 2 其中 aa 2 aa 5 5 二次根式的运算 二次根式的运算 1 因式的外移和内移 一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数 式的符号 如果被开方数是代数和的形式 则先分解因式 变形为积的形式 再移因式到根号外面 2 二次根式的加减法 先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式 3 二次根式的乘除法 二次根式相乘 除 将被开方数相乘 除 所得的积 商 仍作积 商 的被开方数 ab 其中 其中 ab b a ab 4 分母有理化 把分母中的根号化去 就叫分母有理化 方法是分子分母都乘以分母的有理化 因式 两个根式相乘后不再含有根式 这样的两个根式就叫互为有理化因式 如的有理化因式就是3 3 的有理化因式可以是也可以是 的有理化因式就是 882ba ba 5 有理数的加法交换律 结合律 乘法交换律及结合律 乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式 都适用于二次根式的运算 6 二次根式的加减乘除运算 最后的结果都要化为最简二次根式 6 6 双重二次根式的化简 双重二次根式的化简 二次根号里又含有二次根式 称之为双重二次根式 双重二次根式化简的方法是 设 且 则0 0 0 0 yayxbxyayx 222 2 2 2yxyxyxxyyxba 2 yxba 2 如 要化简 625 632532 2332625 2 但要注意最后的结果是正数 所以不能是32 二 二 例题精讲例题精讲 类型一 考查二次根式的概念 求自变量取值范围 类型一 考查二次根式的概念 求自变量取值范围 1 下列各式中 不是二次根式的是 A B C D 453 14 1 2 2 二次根式有意义时的的取值范围是 4 12 2 x x x 3 已知 则 122 xxy 2001 yx 类型二 考查二次根式的性质 非负性 化简 类型二 考查二次根式的性质 非负性 化简 1 1 实数在数轴上的位置如图 1 所示 化简 a 1 2 2 a 2 把的根号外的因式移到根号内得 34 3 化简 x x 1 4 化简 222 72 57 2 73 5 化简 627 6 代数式的最大值是 2 43x 类型三 考查同类二次根式与最简二次根式 化简 类型三 考查同类二次根式与最简二次根式 化简 把 按由大到小的顺序排列为 3 1 33227 2 1 75 2 1 类型四 考查二次根式的运算 加减乘除混合运算 分母有理化 类型四 考查二次根式的运算 加减乘除混合运算 分母有理化 1 若 则 a 与 b 的关系是 32 a32 b A 互为相反数 B 互为倒数 C 互为负倒数 D 以上均不对 2 计算 10099 1 43 1 32 1 21 1 图 1 3 同步练习同步练习 一 选择题 每小题 3 分 共 30 分 1 下列说法正确的是 A 若 则a0 D 0 b a 5 2005 湖北武汉 已知 a b 化简二次根式的正确结果是 ba3 A B C D aba aba abaaba 6 把根号外的因式移到根号内 得 m m 1 A B C D mm m m 7 下列各式中 一定能成立的是 A B 22 5 2 5 2 22 aa C D 1 x12 2 xx339 2 xxx 8 若 x y 0 则下列各式不成立的是 A B C D 0 22 yx0 3 3 yx0 22 yx0 yx 9 当时 二次根式的值为 则 m 等于 3 x752 2 xxm5 A B C D 2 2 2 5 5 5 10 已知 则 x 等于 1018 2 2 2 x x x x A 4 B 2 C 2 D 4 二 填空题 每小题 3 分 共 30 分 11 若不是二次根式 则 x 的取值范围是 5 x 12 2005 江西 已知 a 2 2 2 a 13 当 x 时 二次根式取最小值 其最小值为 1 x 14 计算 182712 32274483 15 若一个正方体的长为 宽为 高为 则它的体积为 cm62cm3cm2 3 cm 16 若 则 433 xxy yx 17 若的整数部分是 a 小数部分是 b 则 3 ba3 4 18 若 则 m 的取值范围是 3 3 mmmm 19 若 yx y x则 4 3 2 3 1 1 13 2 20 已知 a b c 为三角形的三边 则 222 acbacbcba 三 化简 前 5 题每小题 6 分 后两题每题 7 分 共 44 分 21 22 2 1 418 12 2 3 154276485 23 24 x x x x 3 1 2 4 6 21 2 12 18 25 已知 求的值 13 2 x1 2 xx 26 已知 22 2 1 1881 x y y x x y y x xxy 27 阅读下面问题 12 12 12 12 1 21 1 23 23 23 23 23 1 25 25 25 25 25 1 试求 的值 的值 n 为正整数 的值 67 1 1723 1 nn 1 1 5 培优练习培优练习 一 二次根式的非负性一 二次根式的非负性 1 若 则 20042005aaa 2 2004a 2 代数式的最小值是 13432 xx 3 已知 求代数式的值 1888 xxy xyyx xy yx yx 2 4 若适合关系式 求的值 m35223199199xymxymxyxy m 二 二次根式的化简技巧二 二次根式的化简技巧 一 构造完全平方 1 2 222222 2 22 22 22 1 1 1 1 21 1 1 1 1 2n n 1 1 122 1 1 1 1 1 11 1 nnnnnnnnnn nn nn nn nn 由 化简得 1 11 1 22 nn 拓展 计算 22222222 2004 1 2003 1 1 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 化简 5225232 yyyy 3 化简 241286 4 化简 23 246623 6 二 分母有理化 1 计算 的值 49474749 1 7557 1 5335 1 33 1 2 分母有理化 532 62 3 计算 321 2 32 三 二次根式的应用三 二次根式的应用 一 无理数的分割 1 设为的小数部分 为的小数部分 则a5353 b336336 的值为 A B C D ab 12 126 4 1 1 2 8 32 2 设的整数部分为 小数部分为 试求的值 51 51 xy 22 1 2 xxyy 3 设的整数部分为 小数部分为 试求的值198 3 ab 1 ab b 二 性质的应用 1 设 均为正整数 且 则 mxy yxm 28 myx 2 设 则 222x 222 y A B C D 不能确定yx yx yx 7 三 有二次根式的代数式化简 1 已知 求的值 56 2 yxyyxx yx